B II - lernen mit Serlo!

Im $\mathbb{R}^3$ sind die Punkte $A (3 ∣ 2 ∣ 4), B (3 ∣ – 2 ∣ 2)$ und die Gerade $g:\vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}+r\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ mit $r\in\mathbb{R}$ gegeben.

Die Gerade $h$ verläuft durch die Punkte $A$ und $B$ . Ermitteln Sie eine Gleichung der Geraden $h$ und geben Sie die besondere Lage der Geraden $g$ im Koordinatensystem an.
Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der Geraden $g$ und $h$ .
Die beiden Geraden $g$ und $h$ spannen die Ebene $E$ auf. Ermitteln Sie eine Gleichung dieser Ebene in Koordinatenform.
[ Mögliches Ergebnis: $E : x_{1} + x_{2} - 2 x_{3} + 3 = 0$ ]
Der Punkt $C (2 ∣ 1 ∣ 3)$ ist der Aufpunkt der Geraden $g$ . Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes $A$ *, der sich durch Spiegelung von $A$ an $C$ ergibt, und begründen Sie ohne weitere Rechnung, dass der Punkt $A$ * in der Ebene $E$ liegt.
Fertigen Sie eine aussagekräftige Skizze an, in der die gegenseitige Lage der Ebene $E$ , der Geraden $g$ und $h$ sowie der Punkte $A, A$ * und $C$ erkennbar ist. Verwenden Sie kein Koordinatensystem.
Gegeben ist die Ebenenschar $F_{a} : x_{1} + a^{2} x_{2} - 2 x_{3} + a + 2 = 0$ mit $a\in\mathbb{R}$ . Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der Ebenen $E$ und $F_{a}$ in Abhängigkeit von $a$ .