Die Punkte $AA$ und $BB$ legen die Gerade $gg$ fest, die Punkte $C_{k}C\_k$ liegen auf der Geraden $hh$. Geben Sie jeweils eine Gleichung der beiden Geraden an und untersuchen Sie die gegenseitige Lage der beiden Geraden.

Für die folgenden Teilaufgaben gilt $k=-3k=-3$. Es ergibt sich $C_{-3}-(\text{–}3\mathrm{\mid }\text{–}5\mathrm{\mid }3)C\_\{-3\}-(–3|\; –5|\; 3)$.

(1) Die Punkte $A,BA,\; B$ und $C_{-3}C\_\{-3\}$ legen die Ebene $EE$ fest. Bestimmen Sie je eine Gleichung der Ebene $EE$ in Parameter- und Koordinatenform.

[ mögliches Teilergebnis: $E:x_1+x_2+3x_3-1=0E:\; x\_1+x\_2+3x\_3-1=0$]

(2) Untersuchen Sie die Lagebeziehung der Ebene $EE$ mit der Ebene $F:\vec{x}=\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ -1\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-5\\ -7\\ 4\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ 6\end{array}\right)F:\backslash vec\{x\}\; =\; \backslash begin\{pmatrix\}\; 2\; \backslash \backslash \; 2\; \backslash \backslash \; -1\; \backslash end\{pmatrix\}+r\backslash cdot\backslash begin\{pmatrix\}\; -5\; \backslash \backslash \; -7\; \backslash \backslash \; 4\; \backslash end\{pmatrix\}+t\backslash cdot\backslash begin\{pmatrix\}\; 1\; \backslash \backslash \; 3\; \backslash \backslash \; 6\; \backslash end\{pmatrix\}$ mit $r,t\in \mathbb{R}r,t\backslash in\backslash mathbb\{R\}$ und bestimmen Sie gegebenenfalls eine Gleichung der Schnittgeraden.

(3) Die Punkte $A,B,C_{-3}A,\; B,\; C\_\{-3\}$ und $D(3\mathrm{\mid }5\mathrm{\mid }5)D(3|\; 5|\; 5)$ legen ein Tetraeder fest (siehe Skizze).

Spiegelt man den Punkt $C_{3}C\_3$ am Punkt $DD$, so erhält man den Punkt $C_{-3}^{\ast }C^*\_\{-3\}$. Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes $C_{-3}^{\ast }C^*\_\{-3\}$.

(4) Der Punkt $C_{-3}^{\ast }C^*\_\{-3\}$ liegt in der Ebene $FF$ (Nachweis nicht erforderlich). Eine der Seitenflächen des Tetraeders liegt ganz in der Ebene $FF$. Entscheiden Sie, welche der Flächen das ist und begründen Sie Ihre Entscheidung.

(5) Der Punkt $S(-{\displaystyle \frac{1}{3}}\mathrm{\mid }-{\displaystyle \frac{5}{3}}\mathrm{\mid }1)S(-\backslash dfrac\{1\}\{3\}|\; -\backslash dfrac\{5\}\{3\}|\; 1)$ ist Schwerpunkt des Dreiecks $AB{C}_{-3}ABC\_\{-3\}$, der Punkt $MM$ ist Mittelpunkt der Kante $\overline{AB}\backslash overline\{AB\}$und der Punkt $NN$ ist Mittelpunkt der Kante $\overline{D{C}_{-3}}\backslash overline\{DC\_\{-3\}\}$. Die Gerade $MNMN$ und die Gerade $DSDS$ schneiden sich im Punkt $PP$. Berechnen Sie Koordinaten des Punktes $PP$.