B I - lernen mit Serlo!

Im $\mathbb{R}^3$ sind die Punkte $A (2 ∣ 2 ∣ – 1)$ , $B (0 ∣ – 2 ∣ 1)$ und $C_{k} (k ∣ – 2 + k ∣ – k)$ mit $k\in\mathbb{R}$ gegeben.

Die Punkte $A$ und $B$ legen die Gerade $g$ fest, die Punkte $C_{k}$ liegen auf der Geraden $h$ . Geben Sie jeweils eine Gleichung der beiden Geraden an und untersuchen Sie die gegenseitige Lage der beiden Geraden.
Für die folgenden Teilaufgaben gilt $k = - 3$ . Es ergibt sich $C_{-3}−(–3| –5| 3)$ .
(1) Die Punkte $A, B$ und $C_{- 3}$ legen die Ebene $E$ fest. Bestimmen Sie je eine Gleichung der Ebene $E$ in Parameter- und Koordinatenform.
[ mögliches Teilergebnis: $E : x_{1} + x_{2} + 3 x_{3} - 1 = 0$ ]
(2) Untersuchen Sie die Lagebeziehung der Ebene $E$ mit der Ebene $F:\vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix} -5 \\ -7 \\ 4 \end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 6 \end{pmatrix}$ mit $r,t\in\mathbb{R}$ und bestimmen Sie gegebenenfalls eine Gleichung der Schnittgeraden.
(3) Die Punkte $A, B, C_{-3}$ und $D (3 ∣ 5 ∣ 5)$ legen ein Tetraeder fest (siehe Skizze).
Spiegelt man den Punkt $C_{3}$ am Punkt $D$ , so erhält man den Punkt $C_{- 3}^{*}$ . Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes $C_{- 3}^{*}$ .
(4) Der Punkt $C_{- 3}^{*}$ liegt in der Ebene $F$ (Nachweis nicht erforderlich). Eine der Seitenflächen des Tetraeders liegt ganz in der Ebene $F$ . Entscheiden Sie, welche der Flächen das ist und begründen Sie Ihre Entscheidung.
(5) Der Punkt $S(-\dfrac{1}{3}| -\dfrac{5}{3}| 1)$ ist Schwerpunkt des Dreiecks $ABC_{-3}$ , der Punkt $M$ ist Mittelpunkt der Kante $\overline{AB}$ und der Punkt $N$ ist Mittelpunkt der Kante $\overline{DC_{-3}}$ . Die Gerade $M N$ und die Gerade $D S$ schneiden sich im Punkt $P$ . Berechnen Sie Koordinaten des Punktes $P$ .