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Im Folgenden werden relative Häufigkeiten als Wahrscheinlichkeiten interpretiert.
Am Pausenstand einer Schule werden Kaltgetränke in Glasflaschen $(G)$ , Plastikflaschen $(P)$ und Tetrapaks $(T)$ angeboten. Innerhalb einer Woche werden insgesamt 2080 Kaltgetränke verkauft, darunter $624$ in Glasflaschen. Der Anteil der Plastikflaschen beträgt $55$ %. Die Bestimmung des wöchentlichen Kaufverhaltens eines zufällig herausgegriffenen Schülers, der zwei Kaltgetränke pro Woche keträgt $55$ %. Die Bestimmung des wöchentlichen Kaufverhaltens eines zauft, wird als Zufallsexperiment aufgefasst.
1. Erstellen Sie ein vollständiges Baumdiagramm und bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten aller 9 Elementarereignisse.
2. Gegeben seien folgende Ereignisse:
  $E_{1}$ : „Ein Schüler kauft zwei Kaltgetränke derselben Verpackungsart.“
  $E_{2}$ : „Ein Schüler kauft mindestens ein Kaltgetränk in der Glasflasche.“
  $E_{3} = E_{1} \cup E_{2}$
  Geben Sie diese Ereignisse in aufzählender Mengenschreibweise an. Beschreiben Sie $E_{3}$ möglichst einfach in Worten und berechnen Sie $P (E 3)$ .
3. Eine Glasflasche kostet $10$ Cent Pfand, eine Plastikflasche $15$ Cent und ein Tetrapak ist pfandfrei. Die Zufallsgröße $X$ gibt in Euro an, wie viel Pfand ein zufällig herausgegriffener Schüler in einer Woche gezahlt hat.
  1. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße $X$ in Tabellenform.
  2. Berechnen Sie, wie viel Pfand ein Schüler erwartungsgemäß in einem Schuljahr zahlt. Gehen Sie dabei von 38 Schulwochen aus.
  3. Berechnen Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit der gezahlte wöchentliche Pfandbetrag um maximal $10$ Cent vom Erwartungswert abweicht.
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Bei der Leerung der Müllkörbe wurde festgestellt, dass regelmäßig Pfandflaschen zu finden sind. Die nach $B (n; p)$ verteilte Zufallsgröße $Y$ beschreibt die Anzahl der weggeworfenen Flaschen. Von $n$ verkauften Flaschen werden im Mittel $40$ Flaschen nicht zurückgegeben. Die Varianz beträgt 24.
1. Berechnen Sie die Anzahl $n$ der verkauften Pfandflaschen und die Wahrscheinlichkeit $p$ , dass eine Pfandflasche in den Müll geworfen wird.
2. Setzen Sie nun $n = 100$ und $p = 0,4$ . Bestimmen Sie damit die Wahrscheinlichkeiten der beiden folgenden Ereignisse:
  $E_{4}$ : „Genau $65$ Pfandflaschen werden am Pausenverkauf zurückgegeben.“
  $E_{5}$ : „Mehr als 28 aber weniger als $45$ Flaschen werden nicht zurückgegeben.“
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Die SMV behauptet, dass sich nach Durchführung einer Umwelt-Kampagne die schlechte Retourquote von lediglich $60$ % der Pfandflaschen erhöht hat (Gegenhypothese). Um den Erfolg dieser Aktion zu überprüfen, werden $100$ markierte Flaschen in Hinblick auf ihre Rückgabe untersucht.
1. Geben Sie die Testgröße sowie die Nullhypothese an und bestimmen Sie den größtmöglichen Ablehnungsbereich der Nullhypothese auf dem $5$ %-Niveau.
2. Interpretieren Sie im Sachzusammenhang, welche Entscheidung der Test nahelegt, wenn $35$ % der Flaschen im Test nicht zurückgegeben werden.
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Betrachtet werden nun folgende Ereignisse:
$E_{6} :$ „Eine Pfandflasche wurde am Pausenverkauf zurückgegeben.“
$E_{7}$ : „Eine Pfandflasche enthielt Mineralwasser.“
$E_{8}$ : „Eine Pfandflasche wurde am Pausenverkauf zurückgegeben und enthielt kein Mineralwasser.“
Dabei gelte: $P (E_{6}) = 0,6; P (E_{7}) = 0,3; P (E_{8}) = 0,42$
Zeigen Sie, dass die beiden Ereignisse $E_{6}$ und $E_{7}$ vereinbar und stochastisch unabhängig sind.

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