Nullstellen einer Funktion

Kurs

1 Was heißt "Nullstelle"? (1/2)

Ein Beispiel

In einer Badewanne befinden sich 85 Liter Wasser. Tom hat den Stöpsel gezogen und jetzt läuft das Wasser ab. Pro Minute laufen 6 Liter den Abfluss runter.

Nach wie vielen (vollen) Minuten ist die Badewanne leer?

2 Was heißt "Nullstelle"? (2/2)

Lösung:

Man stellt eine Funktion auf, $x$ steht dabei für die Minuten, die vergangen sind, seit Tom den Stöpsel gezogen hat.

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$f(x)=85-6\cdot x$

$f (x)$ gibt jetzt an, wieviele Liter Wasser nach $x$ Minuten noch in der Wanne sind. Bei der Frage, wann die Wanne leer ist, braucht man also $f (x) = 0$ .

Nach wievielen vollen Minuten	ist die Badewanne	leer?
Für welches $x$	wird	$f (x) = 0$ ?

$\left(f(x)=\right)85-6\cdot x=0$

Setze den Funktionsterm gleich Null und löse die Gleichung nach $x$ auf!

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}85-6\cdot x&=&0&|-85\\-6\cdot x&=&-85&|:(-6)\\x&=&\frac{85}{6}\\x&=&14{,}1\overline{6}\end{array}$

Runde die Lösung auf volle Minuten. Nach 14 Minuten ist die Wanne noch nicht ganz leer, deswegen lautet der Antwortsatz:

Die Badewanne ist nach 15 Minuten leer.

$x=14{,}1\overline 6$ ist die Nullstelle der Funktion $f(x)=85-6\cdot x$

3 Definition

Die Nullstellen sind diejenigen $x$ -Werte aus der Definitionsmenge, für die die Funktion $f$ den Wert Null annimmt.

Man kann sie bestimmen, indem man diese Gleichung löst:

\displaystyle f(x)=0

4 Nullstelle am Graphen

Bei dem einführenden Beispiel konnte man die Lösung auch am Graphen ablesen:

Die Gerade steht für die Menge Wasser, die sich in der Wanne befinden, nachdem Tom den Stöpsel gezogen hat.

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