Teil B: Vektorielle Geometrie - lernen mit Serlo!

Aufgabe 1

Gegeben sind das gerade Prisma $A B C D E F$ mit den Eckpunkten $C (0 ∣ 0 ∣ 0), D (6 ∣ 0 ∣ 5)$ , $E (0 ∣ 8 ∣ 5)$ und $F (0 ∣ 0 ∣ 5)$ sowie der Punkt $M (3 ∣ 4 ∣ 5)$ (vgl. Abbildung 1).

Geben Sie die Koordinaten des Punktes $A$ an. (1 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Koordinatengeometrie im Raum
Gib die Koordinaten des Punktes $A$ an
Der Punkt $A$ liegt auf der x-Achse, senkrecht unter dem Punkt $D (6 ∣ 0 ∣ 5)$ .
Demnach gilt: $A (6 ∣ 0 ∣ 0)$ .
Die Koordinaten des Punktes $A$ sind $(6 ∣ 0 ∣ 0)$ .
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Der Punkt $A$ liegt auf der x-Achse, senkrecht unter dem Punkt $D (6 ∣ 0 ∣ 5)$ .
Berechnen Sie die Größe des Innenwinkels des Dreiecks $D E F$ bei $D$ . (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Winkel zwischen zwei Vektoren
Berechne die Größe des Innenwinkels des Dreiecks $D E F$ bei $D$
Mit $\alpha$ wird der Innenwinkel des Dreiecks $D E F$ bei $D$ bezeichnet.
Dann gilt:
$\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned}& \cos (\alpha)=\frac{\overrightarrow{D E} \circ \overrightarrow{D F}}{|\overrightarrow{D E}| \cdot|\overrightarrow{D F}|}\end{aligned}$
Berechne die Vektoren und ihre Beträge:
$\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{OE}-\overrightarrow{OD}=\begin{pmatrix}0\\8\\5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}6\\0\\5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-6\\8\\0\end{pmatrix}$
$\Big\vert\overrightarrow{DE}\Big\vert=\sqrt{(-6)^2+8^2+0}=\sqrt{100}=10$
$\overrightarrow{DF}=\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OD}=\begin{pmatrix}0\\0\\5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}6\\0\\5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-6\\0\\0\end{pmatrix}$
$\Big\vert\overrightarrow{DF}\Big\vert=6$
Setze die berechneten Größen in den Kosinus ein:
$\cos(\alpha)=\dfrac{\begin{pmatrix}-6\\8\\0\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}-6\\0\\0\end{pmatrix}}{10\cdot 6}=\dfrac{36}{60}=0{,}6$
$\Rightarrow\;\alpha=\cos^{-1}(0{,}6)\approx53{,}13^{\circ}$
Die Größe des Innenwinkels des Dreiecks $D E F$ bei $D$ beträgt rund $53{,}13^{\circ}$ .
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Berechne die Vektoren $\overrightarrow{DE}$ , $\overrightarrow{DF}$ und ihre Beträge.
Setze in $\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned}& \cos (\alpha)=\frac{\overrightarrow{D E} \circ \overrightarrow{D F}}{|\overrightarrow{D E}| \cdot|\overrightarrow{D F}|}\end{aligned}$ ein.
Berechnen Sie den Inhalt der Oberfläche des Prismas. (4 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prisma
Berechne den Inhalt der Oberfläche des Prismas
Für die Oberflächenberechnung werden verschiedene Vektoren und ihre Beträge benötigt.
Aus Aufgabe a) folgt:
$\overrightarrow{DE}=\begin{pmatrix}-6\\8\\0\end{pmatrix}$ , $\Big\vert\overrightarrow{DE}\Big\vert=10$
$\overrightarrow{DF}=\begin{pmatrix}-6\\0\\0\end{pmatrix}$ , $\Big\vert\overrightarrow{DF}\Big\vert=6$
Berechne weiter:
$\overrightarrow{FE}=\overrightarrow{OE}-\overrightarrow{OF}=\begin{pmatrix}0\\8\\5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\8\\0\end{pmatrix}\\\Big\vert\overrightarrow{FE}\Big\vert=8$
Die Höhe des Prismas ist $h = 5$ .
Dann folgt für den Oberflächeninhalt des Prismas:
$O_\text{Prisma}=\Big\vert\overrightarrow{DF}\Big\vert\cdot h+\Big\vert\overrightarrow{EF}\Big\vert\cdot h+\Big\vert\overrightarrow{DE}\Big\vert\cdot h+2\cdot \dfrac{1}{2}\cdot \Big\vert\overrightarrow{DF}\Big\vert\cdot \Big\vert\overrightarrow{EF}\Big\vert$
$O_\text{Prisma}=(6+8+10)\cdot 5+2\cdot \dfrac{1}{2}\cdot 6\cdot 8=168$
Der Inhalt der Oberfläche des Prismas beträgt $168\; \text{FE}$ .
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Berechne den Vektor $\overrightarrow{FE}$ und seinen Betrag.
Die Höhe des Prismas ist die z-Koordinate eines in der Deckfläche liegenden Punktes.
$O_\text{Prisma}=\Big\vert\overrightarrow{DF}\Big\vert\cdot h+\Big\vert\overrightarrow{EF}\Big\vert\cdot h+\Big\vert\overrightarrow{DE}\Big\vert\cdot h+2\cdot \dfrac{1}{2}\cdot \Big\vert\overrightarrow{DF}\Big\vert\cdot \Big\vert\overrightarrow{EF}\Big\vert$
Begründen Sie, dass die Punkte $D, E$ und $F$ auf einem Kreis mit dem Mittelpunkt $M$ liegen. (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Einführung zum Kreis
Begründe, dass die Punkte $D, E$ und $F$ auf einem Kreis mit dem Mittelpunkt $M$ liegen
Berechne die Vektoren $\overrightarrow{DM}, \overrightarrow{FM}$ und $\overrightarrow{EM}$ , sowie ihre Beträge.
$\overrightarrow{DM}=\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OD}=\begin{pmatrix}3\\4\\5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}6\\0\\5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3\\4\\0\end{pmatrix}$
$\Big\vert\overrightarrow{DM}\Big\vert=\sqrt{(-3)^2+4^2+0}=\sqrt{25}=5$
$\overrightarrow{FM}=\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OF}=\begin{pmatrix}3\\4\\5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\4\\0\end{pmatrix}$
$\Big\vert\overrightarrow{FM}\Big\vert=\sqrt{3^2+4^2+0}=\sqrt{25}=5$
$\overrightarrow{EM}=\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OE}=\begin{pmatrix}3\\4\\5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\8\\5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\-4\\0\end{pmatrix}$
$\Big\vert\overrightarrow{EM}\Big\vert=\sqrt{3^2+(-4)^2+0}=\sqrt{25}=5$
Es gilt: $\Big\vert\overrightarrow{DM}\Big\vert= \Big\vert\overrightarrow{FM}\Big\vert= \Big\vert\overrightarrow{EM}\Big\vert=5$
Alle Punkte liegen zusammen mit $M$ in einer Ebene und haben den gleichen Abstand $5$ vom Punkt $M$ und liegen deshalb auf einem Kreis um $M$ mit dem Radius $5$ .
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Berechne die Vektoren $\overrightarrow{DM}, \overrightarrow{FM}$ und $\overrightarrow{EM}$ , sowie ihre Beträge.

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das?

Aufgabe 1

Gib die Koordinaten des Punktes AAA an

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Berechne die Größe des Innenwinkels des Dreiecks DEFDEFDEF bei DDD

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Berechne den Inhalt der Oberfläche des Prismas

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Begründe, dass die Punkte D,ED, ED,E und FFF auf einem Kreis mit dem Mittelpunkt MMM liegen

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Gib die Koordinaten des Punktes $A$ an

Berechne die Größe des Innenwinkels des Dreiecks $D E F$ bei $D$

Begründe, dass die Punkte $D, E$ und $F$ auf einem Kreis mit dem Mittelpunkt $M$ liegen