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Aufgabe 1
Der in Abbildung 1 dargestellte Körper mit den Eckpunkten und hat folgende Eigenschaften:
ist ein Rechteck in der -Ebene, ist ein Rechteck in einer zur -Ebene parallelen Ebene. Die Vierecke und liegen in Ebenen, die parallel zur -Ebene verlaufen.
Sechs der Eckpunkte sind gegeben durch
, , , , , .
Geben Sie die Koordinaten des Punktes an. (1 P)
BegrĂŒnden Sie, dass die SeitenflĂ€che ein Trapez ist, und berechnen Sie das Volumen des Körpers .
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Aufgabe 2
Die Aufgabe 2 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.
Gegeben sind und .
Der Körper ist Teil eines mathematischen Modells eines ArchitekturbĂŒros zur Planung eines neuen Hotels. Das Hotel soll zehn Stockwerke gleicher Höhe besitzen. FĂŒr die an die SchrĂ€gen angrenzenden Hotelzimmer sind von der 1. bis zur 9. Etage Balkone geplant. Als Beispiel ist in Abbildung 2 der Boden des Balkons fĂŒr die 3. Etage dargestellt.
Eine LÀngeneinheit im Modell entspricht einem Meter in der RealitÀt.
Abbildung 2
Durch , ist eine Schar paralleler Ebenen gegeben. Der Boden jedes Balkons wird im Folgenden als FlĂ€che innerhalb einer geeigneten Ebene der Schar modelliert. Der Boden des Balkons fĂŒr die 3. Etage liegt z. B. in der Ebene .
Zeigen Sie: FĂŒr jeden Wert von a mit liegt der Punkt auf der Strecke . (4 P)
Die Menge aller Punkte der BodenflĂ€che des Balkons fĂŒr die 3. Etage wird durch die Parametergleichung
beschrieben.
Der Balkon ist wie in Abbildung 3 dargestellt auf zwei vertikalen StĂŒtzen und gelagert.
Berechnen Sie die LĂ€nge der StĂŒtze . (4 P)
Abbildung 3
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Aufgabe 3
Die Aufgabe 3 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1 und 2.
Das Hotel soll aus drei GebĂ€uden bestehen, die jeweils die gleiche Form besitzen. Durch den Körper wird GebĂ€ude I modelliert, die GebĂ€ude II und III sind gegenĂŒber GebĂ€ude I jeweils um gedreht (siehe Abbildung 4). Alle drei GebĂ€ude stehen so aneinander, dass sie einen dreieckigen Innenhof bilden. In der Modellierung liegt dieser Innenhof in der -Ebene.
Abbildung 4
Die nebenstehende Abbildung 5 zeigt das Modell des Hotels von oben.
Abbildung 5
Der Innenhof hat die Form eines gleichseitigen Dreiecks.
Ermitteln Sie rechnerisch die Koordinaten des Punktes .
[Zur Kontrolle: (3 P)
Berechnen Sie den Abstand von zum Koordinatenursprung . (2 P)
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Aufgabe 4
Die Aufgabe 4 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1 (Abbildung 1) und Aufgabe 3 (Abbildung 5).
Stellen Sie eine Koordinatengleichung der Ebene auf, in der die FlÀche liegt. (4 P)
[Zur Kontrolle: .]
In der Mitte des Innenhofs steht ein Mast, dessen Spitze im Punkt liegt.
Zu einem bestimmten Zeitpunkt steht die Sonne so, dass die Sonnenstrahlen die Richtung besitzen.
Untersuchen Sie, ob der Schatten der Spitze des Masts zu diesem Zeitpunkt innerhalb der FlÀche liegt. (4 P)
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