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B3

  1. 1

    Aufgabe 1

    Der in Abbildung 1 dargestellte Körper KK mit den Eckpunkten A1,A2,A3,A4,B1,B2,B3A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}, B_{1}, B_{2}, B_{3} und B4B_{4} hat folgende Eigenschaften:

    A1A2A3A4A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} ist ein Rechteck in der x1x2x_{1} x_{2}-Ebene, B1B2B3B4B_{1} B_{2} B_{3} B_{4} ist ein Rechteck in einer zur x1x2x_{1} x_{2}-Ebene parallelen Ebene. Die Vierecke A2A3B3B2A_{2} A_{3} B_{3} B_{2} und A1A4B4B1A_{1} A_{4} B_{4} B_{1} liegen in Ebenen, die parallel zur x1x3x_{1} x_{3}-Ebene verlaufen.

    Sechs der Eckpunkte sind gegeben durch

    A1(50∣−5∣0)A_{1}(50|-5| 0), A2(50∣5∣0)A_{2}(50|5| 0), A3(753∣5∣0)A_{3}\left(\frac{\sqrt{75}}{3}|5| 0\right), A4(753∣−5∣0)A_{4}\left(\frac{\sqrt{75}}{3}|-5| 0\right), B2(10∣5∣30)B_{2}(10|5| 30), B3(753∣5∣30)B_{3}\left(\frac{\sqrt{75}}{3}|5| 30\right).

    Abbildung 1
    1. Geben Sie die Koordinaten des Punktes B1B_{1} an. (1 P)

    2. BegrĂŒnden Sie, dass die SeitenflĂ€che A2A3B3B2A_{2} A_{3} B_{3} B_{2} ein Trapez ist, und berechnen Sie das Volumen des Körpers KK.

  2. 2

    Aufgabe 2

    Die Aufgabe 2 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.

    Gegeben sind A2(50∣5∣0)A_{2}(50|5| 0) und B2(10∣5∣30)B_{2}(10|5| 30).

    Der Körper KK ist Teil eines mathematischen Modells eines ArchitekturbĂŒros zur Planung eines neuen Hotels. Das Hotel soll zehn Stockwerke gleicher Höhe besitzen. FĂŒr die an die SchrĂ€gen angrenzenden Hotelzimmer sind von der 1. bis zur 9. Etage Balkone geplant. Als Beispiel ist in Abbildung 2 der Boden des Balkons fĂŒr die 3. Etage dargestellt.

    Eine LÀngeneinheit im Modell entspricht einem Meter in der RealitÀt.

    Abbildung 2

    Abbildung 2

    Durch Ea:x⃗=(50−a50,75⋅a)+r⋅(0−100)+s⋅(100),a∈R,r,s∈R\def\arraystretch{1.25} E_{a}: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}50-a \\ 5 \\ 0{,}75 \cdot a\end{array}\right)+r \cdot\left(\begin{array}{c}0 \\ -10 \\ 0\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right), a \in \mathbb{R}, r, s \in \mathbb{R}, ist eine Schar paralleler Ebenen gegeben. Der Boden jedes Balkons wird im Folgenden als FlĂ€che innerhalb einer geeigneten Ebene der Schar modelliert. Der Boden des Balkons fĂŒr die 3. Etage liegt z. B. in der Ebene E12E_{12}.

    1. Zeigen Sie: FĂŒr jeden Wert von a mit 0≀a≀400 \leq a \leq 40 liegt der Punkt (50−a∣5∣0,75⋅a)(50-a|5| 0{,}75 \cdot a) auf der Strecke A2B2‟\overline{A_{2} B_{2}}. (4 P)

    2. Die Menge aller Punkte der BodenflĂ€che des Balkons fĂŒr die 3. Etage wird durch die Parametergleichung

      x⃗=(3859)+r⋅(0−100)+s⋅(100),0≀r≀1,0≀s≀3\vec{x}=\begin{pmatrix}38 \\5 \\9\end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix}0 \\-10 \\0\end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix}1 \\0 \\0\end{pmatrix}, 0 \leq r \leq 1{,}0 \leq s \leq 3

      beschrieben.

      Der Balkon ist wie in Abbildung 3 dargestellt auf zwei vertikalen StĂŒtzen s1s_{1} und s2s_{2} gelagert.

      Berechnen Sie die LĂ€nge der StĂŒtze s1\mathrm{s}_{1}. (4 P)

      Abbildung 3

      Abbildung 3

  3. 3

    Aufgabe 3

    Die Aufgabe 3 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1 und 2.

    Das Hotel soll aus drei GebĂ€uden bestehen, die jeweils die gleiche Form besitzen. Durch den Körper KK wird GebĂ€ude I modelliert, die GebĂ€ude II und III sind gegenĂŒber GebĂ€ude I jeweils um 120∘120^{\circ} gedreht (siehe Abbildung 4). Alle drei GebĂ€ude stehen so aneinander, dass sie einen dreieckigen Innenhof bilden. In der Modellierung liegt dieser Innenhof in der x1x2x_{1} x_{2}-Ebene.

    Abbildung 4

    Abbildung 4

    Die nebenstehende Abbildung 5 zeigt das Modell des Hotels von oben.

    (A3(753∣5∣0),A4(753∣−5∣0))\left(A_{3}\left(\frac{\sqrt{75}}{3}|5| 0\right), A_{4}\left(\frac{\sqrt{75}}{3}|-5| 0\right) \right)

    Abbildung 5

    Abbildung 5

    1. Der Innenhof A4A3PA_{4} A_{3} P hat die Form eines gleichseitigen Dreiecks.

      Ermitteln Sie rechnerisch die Koordinaten des Punktes PP.

      [Zur Kontrolle: P(−2⋅753∣0∣0)≈P(−5,77∣0∣0).]\left.P\left(-\frac{2 \cdot \sqrt{75}}{3}|0| 0\right) \approx P(-5{,}77|0| 0).\right] (3 P)

    2. Berechnen Sie den Abstand von A4A_{4} zum Koordinatenursprung O(0∣0∣0)O(0|0| 0). (2 P)

  4. 4

    Aufgabe 4

    Die Aufgabe 4 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1 (Abbildung 1) und Aufgabe 3 (Abbildung 5).

    Bild
    1. Stellen Sie eine Koordinatengleichung der Ebene FF auf, in der die FlÀche A1A2B2B1A_{1} A_{2} B_{2} B_{1} liegt. (4 P)

      [Zur Kontrolle: F:3⋅x1+4⋅x3=150F: 3 \cdot x_{1}+4 \cdot x_{3}=150.]

    2. In der Mitte des Innenhofs steht ein Mast, dessen Spitze im Punkt S(0∣0∣35)S(0|0| 35) liegt.

      Zu einem bestimmten Zeitpunkt steht die Sonne so, dass die Sonnenstrahlen die Richtung r⃗=(60−2)\def\arraystretch{1.25} \vec{r}=\left(\begin{array}{c}6 \\ 0 \\ -2\end{array}\right) besitzen.

      Untersuchen Sie, ob der Schatten der Spitze des Masts zu diesem Zeitpunkt innerhalb der FlÀche A1A2B2B1A_{1} A_{2} B_{2} B_{1} liegt. (4 P)


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