B3 - lernen mit Serlo!

Aufgabe 4

Die Aufgabe 4 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1 (Abbildung 1) und Aufgabe 3 (Abbildung 5).

Stellen Sie eine Koordinatengleichung der Ebene $F$ auf, in der die Fläche $A_{1} A_{2} B_{2} B_{1}$ liegt. (4 P)
[Zur Kontrolle: $F : 3 \cdot x_{1} + 4 \cdot x_{3} = 150$ .]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
Stelle eine Koordinatengleichung der Ebene $F$ auf, in der die Fläche $A_{1} A_{2} B_{2} B_{1}$ liegt
Eine Parametergleichung von $F$ ist $F : \vec{x} = \vec{O A_{1}} + v \cdot \vec{A_{1} A_{2}} + w \cdot \vec{A_{1} B_{2}}$
$\vec{x} = (\begin{array}{c} 50 \\ - 5 \\ 0 \end{array}) + v \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 10 \\ 0 \end{array}) + w \cdot (\begin{array}{c} - 40 \\ 10 \\ 30 \end{array}), v, w \in ℝ$ .
Die Orthogonalitätsbedingungen $(\begin{array}{l} n_{1} \\ n_{2} \\ n_{3} \end{array}) \cdot (\begin{array}{l} 0 \\ 10 \\ 0 \end{array}) = 0$ und $(\begin{array}{l} n_{1} \\ n_{2} \\ n_{3} \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} - 40 \\ 10 \\ 30 \end{array}) = 0$ liefern das Gleichungssystem
$\begin{array}{rccccccc} I & 10 n_{2} & = & 0 \\ II & - 40 n_{1} & + & 10 n_{2} & + & 30 n_{3} & = & 0 \end{array}$
Aus Gleichung $I$ folgt $n_{2} = 0$ .
Dann lautet Gleichung $II$ : $- 40 n_{1} + 30 n_{3} = 0 \Rightarrow n_{1} = \frac{3}{4} n_{3}$ .
Die Wahl von $n_{3} = 4$ liefert als möglichen Normalenvektor von $F : \vec{n_{F}} = (\begin{array}{l} 3 \\ 0 \\ 4 \end{array})$ .
Mit $\vec{O A_{1}} = (\begin{array}{c} 50 \\ - 5 \\ 0 \end{array})$ folgt dann $\vec{n_{F}} \circ \vec{O A_{1}} = (\begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ 4 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 50 \\ - 5 \\ 0 \end{array}) = 150$ und die Ebenengleichung ergibt sich zu $F : 3 \cdot x_{1} + 4 \cdot x_{3} = 150$ .
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Eine Parametergleichung von $F$ ist $F : \vec{x} = \vec{O A_{1}} + v \cdot \vec{A_{1} A_{2}} + w \cdot \vec{A_{1} B_{2}}$ .
Die Orthogonalitätsbedingungen $\vec{n} \circ \vec{A_{1} A_{2}} = 0$ und $\vec{n} \circ \vec{A_{1} B_{2}} = 0$ liefert ein Gleichungssystem, dessen Lösung ein möglicher Normalenvektor $\vec{n_{F}}$ von $F$ ist.
Mit $\vec{n_{F}}$ und $\vec{O A_{1}}$ kann dann die Ebenengleichung von $F$ berechnet werden.
In der Mitte des Innenhofs steht ein Mast, dessen Spitze im Punkt $S (0 | 0 | 35)$ liegt.
Zu einem bestimmten Zeitpunkt steht die Sonne so, dass die Sonnenstrahlen die Richtung $\vec{r} = (\begin{array}{c} 6 \\ 0 \\ - 2 \end{array})$ besitzen.
Untersuchen Sie, ob der Schatten der Spitze des Masts zu diesem Zeitpunkt innerhalb der Fläche $A_{1} A_{2} B_{2} B_{1}$ liegt. (4 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen
Untersuche, ob der Schatten der Spitze des Masts zu diesem Zeitpunkt innerhalb der Fläche $A_{1} A_{2} B_{2} B_{1}$ liegt
Gerade $h$ durch den Punkt $S$ mit dem Richtungsvektor $\vec{r}$ :
$h : \vec{x} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 35 \end{array}) + q \cdot (\begin{array}{c} 6 \\ 0 \\ - 2 \end{array}), q \in ℝ$ .
Außerdem ist $F : 3 \cdot x_{1} + 4 \cdot x_{3} = 150$ .
Berechnung des Schnittpunkts $Q$ von $F$ und $h$ :
$3 \cdot 6 \cdot q + 4 \cdot (35 - 2 \cdot q) = 150$
$\Rightarrow$ $18 \cdot q + 140 - 8 \cdot q = 150 \Rightarrow 10 \cdot q = 10 \Rightarrow q = 1$
Setze $q = 1$ in $h$ ein:
$\vec{O Q} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 35 \end{array}) + 1 \cdot (\begin{array}{c} 6 \\ 0 \\ - 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 6 \\ 0 \\ 33 \end{array}) \Rightarrow Q (6 | 0 | 33)$ .
Die $x_{3}$ -Koordinate von $Q$ ist größer als $30$ . Der Schatten der Spitze des Masts liegt also nicht innerhalb der Fläche $A_{1} A_{2} B_{2} B_{1}$ .
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Erstelle die Gleichung der Geraden $h$ durch den Punkt $S$ mit dem Richtungsvektor $\vec{r}$ .
Berechne den Schnittpunkt $Q$ von $F$ und $h$ $\Rightarrow \vec{O Q}$ .
Vergleiche die $x_{3}$ -Koordinate von $Q$ mit der $x_{3}$ -Koordinate von $B_{1}$ (bzw. $B_{2}$ ).

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das?

Aufgabe 4

Stelle eine Koordinatengleichung der Ebene F auf, in der die Fläche A1A2B2B1 liegt

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Untersuche, ob der Schatten der Spitze des Masts zu diesem Zeitpunkt innerhalb der Fläche A1A2B2B1 liegt

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Stelle eine Koordinatengleichung der Ebene $F$ auf, in der die Fläche $A_{1} A_{2} B_{2} B_{1}$ liegt

Untersuche, ob der Schatten der Spitze des Masts zu diesem Zeitpunkt innerhalb der Fläche $A_{1} A_{2} B_{2} B_{1}$ liegt