B3 - lernen mit Serlo!

Aufgabe 4

Die Aufgabe 4 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1 (Abbildung 1) und Aufgabe 3 (Abbildung 5).

Stellen Sie eine Koordinatengleichung der Ebene $F$ auf, in der die Fläche $A_{1} A_{2} B_{2} B_{1}$ liegt. (4 P)
[Zur Kontrolle: $F: 3 \cdot x_{1}+4 \cdot x_{3}=150$ .]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
Stelle eine Koordinatengleichung der Ebene $F$ auf, in der die Fläche $A_{1} A_{2} B_{2} B_{1}$ liegt
Eine Parametergleichung von $F$ ist $F: \vec{x}=\overrightarrow{O A_{1}}+v \cdot \overrightarrow{A_{1} A_{2}}+w \cdot \overrightarrow{A_{1} B_{2}}$
$\def\arraystretch{1.25} \vec{x}=\left(\begin{array}{c}50 \\ -5 \\ 0\end{array}\right)+v \cdot\left(\begin{array}{c}0 \\ 10 \\ 0\end{array}\right)+w \cdot\left(\begin{array}{c}-40 \\ 10 \\ 30\end{array}\right), v, w \in \mathbb{R}$ .
Die Orthogonalitätsbedingungen $\def\arraystretch{1.25} \left(\begin{array}{l}n_{1} \\ n_{2} \\ n_{3}\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l}0 \\ 10 \\ 0\end{array}\right)=0$ und $\def\arraystretch{1.25} \left(\begin{array}{l}n_{1} \\ n_{2} \\ n_{3}\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{c}-40 \\ 10 \\ 30\end{array}\right)=0$ liefern das Gleichungssystem
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rccccccc}\mathrm{I} & & & 10n_2 & & & = & 0 \\\mathrm{II} & -40n_1 & + & 10n_2 & + & 30n_3 & = & 0 \end{array}$
Aus Gleichung $\mathrm{I}$ folgt $n_{2} = 0$ .
Dann lautet Gleichung $\mathrm{II}$ : $-40n_1+30n_3=0\;\Rightarrow\;n_1=\dfrac{3}{4}n_3$ .
Die Wahl von $n_{3}=4$ liefert als möglichen Normalenvektor von $\def\arraystretch{1.25} F: \overrightarrow{n_{F}}=\left(\begin{array}{l}3 \\ 0 \\ 4\end{array}\right)$ .
Mit $\overrightarrow{O A_{1}}=\begin{pmatrix}50\\-5\\0\end{pmatrix}$ folgt dann $\overrightarrow{n_{F}}\circ\overrightarrow{O A_{1}}=\begin{pmatrix}3\\0\\4\end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix}50\\-5\\0\end{pmatrix}=150$ und die Ebenengleichung ergibt sich zu $F: 3\cdot x_1+4\cdot x_3=150$ .
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Eine Parametergleichung von $F$ ist $F: \vec{x}=\overrightarrow{O A_{1}}+v \cdot \overrightarrow{A_{1} A_{2}}+w \cdot \overrightarrow{A_{1} B_{2}}$ .
Die Orthogonalitätsbedingungen $\vec n \circ \overrightarrow{A_{1} A_{2}}=0$ und $\vec n \circ \overrightarrow{A_{1} B_{2}}=0$ liefert ein Gleichungssystem, dessen Lösung ein möglicher Normalenvektor $\overrightarrow{n_{F}}$ von $F$ ist.
Mit $\overrightarrow{n_{F}}$ und $\overrightarrow{O A_{1}}$ kann dann die Ebenengleichung von $F$ berechnet werden.
In der Mitte des Innenhofs steht ein Mast, dessen Spitze im Punkt $S (0 ∣ 0 ∣ 35)$ liegt.
Zu einem bestimmten Zeitpunkt steht die Sonne so, dass die Sonnenstrahlen die Richtung $\def\arraystretch{1.25} \vec{r}=\left(\begin{array}{c}6 \\ 0 \\ -2\end{array}\right)$ besitzen.
Untersuchen Sie, ob der Schatten der Spitze des Masts zu diesem Zeitpunkt innerhalb der Fläche $A_{1} A_{2} B_{2} B_{1}$ liegt. (4 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen
Untersuche, ob der Schatten der Spitze des Masts zu diesem Zeitpunkt innerhalb der Fläche $A_{1} A_{2} B_{2} B_{1}$ liegt
Gerade $h$ durch den Punkt $S$ mit dem Richtungsvektor $\vec{r}$ :
$\def\arraystretch{1.25} h: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}0 \\0 \\35\end{array}\right)+q \cdot\left(\begin{array}{c}6 \\0 \\-2\end{array}\right), q \in \mathbb{R}$ .
Außerdem ist $F: 3\cdot x_1+4\cdot x_3=150$ .
Berechnung des Schnittpunkts $Q$ von $F$ und $h$ :
$3 \cdot 6 \cdot q+4 \cdot(35-2 \cdot q)=150$
$\Rightarrow\;$ $18\cdot q+140-8\cdot q=150\;\Rightarrow\;10\cdot q=10\;\Rightarrow\;q=1$
Setze $q = 1$ in $h$ ein:
$\def\arraystretch{1.25} \overrightarrow{O Q}=\left(\begin{array}{c}0 \\ 0 \\ 35\end{array}\right)+1 \cdot\left(\begin{array}{c}6 \\ 0 \\ -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6 \\ 0 \\ 33\end{array}\right) \Rightarrow Q(6|0| 33)$ .
Die $x_{3}$ -Koordinate von $Q$ ist größer als $30$ . Der Schatten der Spitze des Masts liegt also nicht innerhalb der Fläche $A_{1} A_{2} B_{2} B_{1}$ .
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Erstelle die Gleichung der Geraden $h$ durch den Punkt $S$ mit dem Richtungsvektor $\vec{r}$ .
Berechne den Schnittpunkt $Q$ von $F$ und $h$ $\;\Rightarrow\;\overrightarrow{O Q}$ .
Vergleiche die $x_{3}$ -Koordinate von $Q$ mit der $x_{3}$ -Koordinate von $B_{1}$ (bzw. $B_{2}$ ).

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das?

Aufgabe 4

Stelle eine Koordinatengleichung der Ebene FFF auf, in der die Fläche A1A2B2B1A_{1} A_{2} B_{2} B_{1}A1​A2​B2​B1​ liegt

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Untersuche, ob der Schatten der Spitze des Masts zu diesem Zeitpunkt innerhalb der Fläche A1A2B2B1A_{1} A_{2} B_{2} B_{1}A1​A2​B2​B1​ liegt

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Stelle eine Koordinatengleichung der Ebene $F$ auf, in der die Fläche $A_{1} A_{2} B_{2} B_{1}$ liegt

Untersuche, ob der Schatten der Spitze des Masts zu diesem Zeitpunkt innerhalb der Fläche $A_{1} A_{2} B_{2} B_{1}$ liegt