Zeige, dass das Flächenstück, das der Graph von $ff$ mit der x-Achse einschließt, den Inhalt $\frac{4}{3}{a}^3\backslash frac\{4\}\{3\}\; a^\{3\}$ hat

Bekannt ist: Die Nullstellen von $ff$ sind $00$ und $2a2\; a$.

Berechne das Integral ${\displaystyle {\int }_0^{2a}f(x)\mathrm{d}x={[-\frac{1}{3}{x}^3+a{x}^2]}_0^{2a}=-\frac{8}{3}{a}^3+4a^3=\frac{4}{3}{a}^3}\backslash displaystyle\backslash int\_\{0\}^\{2\; a\}\; f(x)\; \backslash mathrm\{d\}\; x=\backslash left[-\backslash frac\{1\}\{3\}\; x^\{3\}+a\; x^\{2\}\backslash right]\_\{0\}^\{2\; a\}=-\backslash frac\{8\}\{3\}\; a^\{3\}+4\; a^\{3\}=\backslash frac\{4\}\{3\}\; a^\{3\}$.

Damit hat das Flächenstück, das der Graph von $ff$ mit der x-Achse einschließt, den Inhalt $\frac{4}{3}{a}^3\backslash frac\{4\}\{3\}\; a^\{3\}$.

Bestimmen Sie den Wert von $aa$

Das Flächenstück, das der Graph von $ff$ mit der x-Achse einschließt, hat den Inhalt $\frac{4}{3}{a}^3\backslash frac\{4\}\{3\}\; a^\{3\}$.

Weiterhin ist $f(x)=-x^2+2axf(x)=-x^\{2\}+2\; a\; x$ und die Nullstellen von $ff$ sind $00$ und $2a2\; a$.

Aufgrund der Symmetrie einer Parabel liegt die Maximalstelle von $ff$ genau in der Mitte zwischen den Nullstellen, d.h. an der Stelle $x=ax=a$.

Berechne $y_{HP}=f(a)=-a^2+2\cdot a\cdot a=a^{2}y\_\{HP\}=f(a)=-a^2+2\backslash cdot\; a\backslash cdot\; a=a^2$ $\Rightarrow \backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;$ $HP(a\mid a^2)HP\backslash left(a\; \backslash mid\; a^\{2\}\backslash right)$ ist der Hochpunkt des Graphen von $ff$.

Eine Quadratseite hat also die Länge $a^{2}a^2$ und der Flächeninhalt des Quadrates ist dann $(a^2{)}^2(a^2)^2$.

Demnach gilt für $a>1a>1$:

$\frac{4}{3}{a}^3=(a^2{)}^2=a^4\Rightarrow a={\displaystyle \frac{4}{3}}\backslash frac\{4\}\{3\}\; a^\{3\}=(a^2)^2=a^4\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;a=\backslash dfrac\{4\}\{3\}$

Der Wert von $aa$ ist ${\displaystyle \frac{4}{3}}\backslash dfrac\{4\}\{3\}$.