A1

Berechne die Stellen, an denen die Graphen von $f$ und $g$ gemeinsame Punkte besitzen

Gegeben sind die Funktionen $f$ und $g$ mit $f(x)=\frac{1}{2}\cdot x^3-3\cdot x^2+\frac{3}{2}\cdot x+5$ und $g(x)=-3\cdot x+5$.

Setze $f(x)=g(x)$ und löse die Gleichung.

Löse die Gleichung ${\displaystyle \frac{1}{2}}x\cdot (x^2-6x+9)=0$ mit dem Satz vom Nullprodukt.

$\Rightarrow x=0\vee x^2-6x+9=0$

Die quadratische Gleichung kann mit einer binomischen Formel geschrieben werden:

$x^2-6x+9=0\Rightarrow (x-3{)}^2=0\Rightarrow x=3$

Die Stellen, an denen die Graphen von $f$ und $g$ gemeinsame Punkte besitzen, sind $x=0$ oder $x=3$.

Zeige: Der Graph von $g$ ist die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $P$

Gegeben sind $P(3|f(3))$, $f(x)=\frac{1}{2}\cdot x^3-3\cdot x^2+\frac{3}{2}\cdot x+5$ und $g(x)=-3\cdot x+5$.

$f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{3}{2}}\cdot x^2-6\cdot x+{\displaystyle \frac{3}{2}}$

Berechne $f^{\prime }(3)={\displaystyle \frac{3}{2}}\cdot 3^2-6\cdot 3+{\displaystyle \frac{3}{2}}={\displaystyle \frac{27}{2}}-18+{\displaystyle \frac{3}{2}}=-3=m_g$

Der Graph von $g$ ist eine Gerade. Im gemeinsamen Punkt $P$ haben diese Gerade und der Graph von $f$ die gleiche Steigung. Daher ist der Graph von $g$ die Tangente an den Graphen von $f$ im Schnittpunkt $P$.

Gib die Wertemenge von $f$ an

Der kleinste Funktionswert ist $f(0)=e^0=1$.

$\Rightarrow$Wertemenge: $y\in ℝ,y\ge 1$.

Bestimme die Steigung des Graphen von $f$ in diesem Punkt

Bekannt ist: Für die erste Ableitungsfunktion $f^{\prime }$ von $f$ gilt $f^{\prime }(x)=2x\cdot f(x)$.

Die Graphen von $f$ und $f^{\prime }$ schneiden sich in einem Punkt.

Setze $f(x)=f^{\prime }(x)\Rightarrow f(x)=2x\cdot f(x)\stackrel{\stackrel{}{f(x)\ne 0}}{\to }1=2x\Rightarrow x={\displaystyle \frac{1}{2}}.$

Die Steigung des Graphen von $f$ in dem Punkt $\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right|f\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right))$ist dann:

$f^{\prime }(\frac{1}{2})=2\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot f(\frac{1}{2})=2\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\mathrm{e}}^{{\left(\frac{1}{2}\right)}^2}={\mathrm{e}}^{\frac{1}{4}}$.

Die Steigung im Schnittpunkt der Graphen von $f$ und $f^{\prime }$ ist ${\mathrm{e}}^{\frac{1}{4}}$.

Begründe, dass der Grad von $f$ mindestens $3$ ist

Da $f^{\prime }$ an der Stelle $x_3$ ein Minimum hat (und $f^{\prime }$ nicht konstant sein kann, da $f$ laut Aufgabenstellung keine lineare Funktion ist), ist der Grad von $f^{\prime }$ mindestens $2$ und damit der Grad von $f$ mindestens $3$.

Skizziere in Abbildung 1 einen möglichen Graphen von $f$

Bekannt ist:

• $f$ hat bei $x_1$ eine Nullstelle.$\Rightarrow$ der Graph von $f$ schneidet bei $x_1$ die $x$-Achse.

• Es gilt $f^{\prime }\left(x_2\right)=0$ und $f^{\prime \prime }\left(x_2\right)\ne 0$.$\Rightarrow$der Graph von $f$ hat bei $x_2$ ein Extremum.

• $f^{\prime }$ hat ein Minimum an der Stelle $x_3$.$\Rightarrow$der Graph von $f$ hat bei $x_3$ einen Wendepunkt.

Mögliche Lösung:

Zeige, dass das Flächenstück, das der Graph von $f$ mit der x-Achse einschließt, den Inhalt $\frac{4}{3}{a}^3$ hat

Bekannt ist: Die Nullstellen von $f$ sind $0$ und $2a$.

Berechne das Integral $${\displaystyle {\int }_0^{2a}f(x)\mathrm{d}x={[-\frac{1}{3}{x}^3+a{x}^2]}_0^{2a}=-\frac{8}{3}{a}^3+4a^3=\frac{4}{3}{a}^3}$$.

Damit hat das Flächenstück, das der Graph von $f$ mit der x-Achse einschließt, den Inhalt $\frac{4}{3}{a}^3$.

Bestimmen Sie den Wert von $a$

Das Flächenstück, das der Graph von $f$ mit der x-Achse einschließt, hat den Inhalt $\frac{4}{3}{a}^3$.

Weiterhin ist $f(x)=-x^2+2ax$ und die Nullstellen von $f$ sind $0$ und $2a$.

Aufgrund der Symmetrie einer Parabel liegt die Maximalstelle von $f$ genau in der Mitte zwischen den Nullstellen, d.h. an der Stelle $x=a$.

Berechne $y_{HP}=f(a)=-a^2+2\cdot a\cdot a=a^2$ $\Rightarrow$ $HP(a|a^2)$ ist der Hochpunkt des Graphen von $f$.

Eine Quadratseite hat also die Länge $a^2$ und der Flächeninhalt des Quadrates ist dann $(a^2{)}^2$.

Demnach gilt für $a>1$:

$\frac{4}{3}{a}^3=(a^2{)}^2=a^4\Rightarrow a={\displaystyle \frac{4}{3}}$

Der Wert von $a$ ist ${\displaystyle \frac{4}{3}}$.

Zeige, dass $g$ in der Ebene mit der Gleichung $x+y+z=2$ liegt

Einsetzen der durch die Geradengleichung gegebenen Koordinaten in die Ebenengleichung:

$\lambda +1+1-\lambda =2✓$ liefert eine wahre Aussage.

Die Gerade $g$ liegt in der Ebene mit der Gleichung $x+y+z=2$.

Weise nach, dass $g$ und $h_a$ für jeden Wert von $a$ windschief sind

Setze $g=h_a$:

$\left(\begin{array}{l}0\\ 1\\ 1\end{array}\right)+\lambda \cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)+\mu \cdot \left(\begin{array}{l}1\\ a\\ 0\end{array}\right)$

Aus Gleichung $\mathrm{I}$ folgt: $\lambda =\mu$.

Aus Gleichung $\mathrm{II}$ folgt: $1=a\cdot \mu$.

Aus Gleichung $\mathrm{III}$ folgt: $1-\lambda =1\Rightarrow \lambda =0$

Wegen Gleichung $\mathrm{I}$ folgt dann auch, dass $\mu =0$ ist.

Für Gleichung $\mathrm{II}$ ergibt sich dann ein Widerspruch, da $1\ne a\cdot 0$ ist.

Da das Gleichungssystem einen Widerspruch liefert und damit nicht erfüllbar ist, besitzen $g$ und $h_a$ keinen Schnittpunkt.

Prüfe die Geraden $g$ und $h_a$ auf Parallelität: Es gibt keinen Wert von $a$, für den die Richtungsvektoren $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{l}1\\ a\\ 0\end{array}\right)$ kollinear sind. $g$ und $h_a$ sind daher nicht parallel.

Daher gilt: Die Geraden $g$ und $h_a$ sind für jeden Wert von $a$ windschief.

Berechne die Lösung des Gleichungssystems

$\begin{array}{cccccccl}\mathrm{I}2x& & & +& z& =& 0& \\ \mathrm{II}& & -2y& +& 4z& =& 0& \\ \mathrm{III}& & 2y& -& 5z& =& 1& \end{array}$

Addiere Gleichung $\mathrm{II}$ und $\mathrm{III}\Rightarrow -z=1\Rightarrow z=-1$

Aus Gleichung $\mathrm{I}$ folgt dann mit $z=-1$: $2x+(-1)=0\Rightarrow x={\displaystyle \frac{1}{2}}$

Aus Gleichung $\mathrm{II}$ folgt mit $z=-1$: $-2y+4\cdot (-1)=0\Rightarrow y=-2$

Die Lösung des Gleichungssystems lautet $x={\displaystyle \frac{1}{2}},y=-2$ und $z=-1$.

Ermittele diesen Wert

$\begin{array}{cccccccl}\mathrm{I}2x& & & +& z& =& 0& \\ \mathrm{II}& & -2y& +& 4z& =& 0& \\ \mathrm{III}& & 2y& -& rz& =& 1& \end{array}$

Addiere Gleichung $\mathrm{II}$ und $\mathrm{III}\Rightarrow 4z-rz=1\Rightarrow (4-r)\cdot z=1$

Die Gleichung $(4-r)\cdot z=1$ hat für $r=4$ keine Lösung, d.h. das Gleichungssystem hat für $r=4$ keine Lösung.