A1

Berechne die Stellen, an denen die Graphen von $ff$ und $gg$ gemeinsame Punkte besitzen

Gegeben sind die Funktionen $ff$ und $gg$ mit $f(x)=\frac{1}{2}\cdot x^3-3\cdot x^2+\frac{3}{2}\cdot x+5f(x)=\backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash cdot\; x^\{3\}-3\; \backslash cdot\; x^\{2\}+\backslash frac\{3\}\{2\}\; \backslash cdot\; x+5$ und $g(x)=-3\cdot x+5g(x)=-3\; \backslash cdot\; x+5$.

Setze $f(x)=g(x)f(x)=g(x)$ und löse die Gleichung.

Löse die Gleichung ${\displaystyle \frac{1}{2}}x\cdot (x^2-6x+9)=0\backslash dfrac\{1\}\{2\}x\backslash cdot(x^2-6x+9)=0$ mit dem Satz vom Nullprodukt.

$\Rightarrow x=0\vee x^2-6x+9=0\backslash Rightarrow\backslash ;x=0\; \backslash lor\; x^2-6x+9=0$

Die quadratische Gleichung kann mit einer binomischen Formel geschrieben werden:

$x^2-6x+9=0\Rightarrow (x-3{)}^2=0\Rightarrow x=3x^2-6x+9=0\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;(x-3)^2=0\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;x=3$

Die Stellen, an denen die Graphen von $ff$ und $gg$ gemeinsame Punkte besitzen, sind $x=0x=0$ oder $x=3x=3$.

Zeige: Der Graph von $gg$ ist die Tangente an den Graphen von $ff$ im Punkt $PP$

Gegeben sind $P(3\mid f(3))P(3\; \backslash mid\; f(3))$, $f(x)=\frac{1}{2}\cdot x^3-3\cdot x^2+\frac{3}{2}\cdot x+5f(x)=\backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash cdot\; x^\{3\}-3\; \backslash cdot\; x^\{2\}+\backslash frac\{3\}\{2\}\; \backslash cdot\; x+5$ und $g(x)=-3\cdot x+5g(x)=-3\; \backslash cdot\; x+5$.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{3}{2}}\cdot x^2-6\cdot x+{\displaystyle \frac{3}{2}}f\text{'}(x)=\backslash dfrac\{3\}\{2\}\backslash cdot\; x^2-6\backslash cdot\; x+\backslash dfrac\{3\}\{2\}$

Berechne $f^{\mathrm{\prime }}(3)={\displaystyle \frac{3}{2}}\cdot 3^2-6\cdot 3+{\displaystyle \frac{3}{2}}={\displaystyle \frac{27}{2}}-18+{\displaystyle \frac{3}{2}}=-3=m_{g}f\text{'}(3)=\backslash dfrac\{3\}\{2\}\backslash cdot\; 3^2-6\backslash cdot\; 3+\backslash dfrac\{3\}\{2\}=\backslash dfrac\{27\}\{2\}-18+\backslash dfrac\{3\}\{2\}=-3=m\_g$

Der Graph von $gg$ ist eine Gerade. Im gemeinsamen Punkt $PP$ haben diese Gerade und der Graph von $ff$ die gleiche Steigung. Daher ist der Graph von $gg$ die Tangente an den Graphen von $ff$ im Schnittpunkt $PP$.

Gib die Wertemenge von $ff$ an

Der kleinste Funktionswert ist $f(0)=e^0=1f(0)=e^0=1$.

$\Rightarrow \backslash Rightarrow\backslash ;$Wertemenge: $y\in \mathbb{R},y\ge 1y\; \backslash in\; \backslash mathbb\{R\},\; y\; \backslash geq\; 1$.

Bestimme die Steigung des Graphen von $ff$ in diesem Punkt

Bekannt ist: Für die erste Ableitungsfunktion $f^{\mathrm{\prime }}f^\{\backslash prime\}$ von $ff$ gilt $f^{\mathrm{\prime }}(x)=2x\cdot f(x)f^\{\backslash prime\}(x)=2\; x\; \backslash cdot\; f(x)$.

Die Graphen von $ff$ und $f^{\mathrm{\prime }}f^\{\backslash prime\}$ schneiden sich in einem Punkt.

Setze $f(x)=f^{\mathrm{\prime }}(x)\Rightarrow f(x)=2x\cdot f(x)\stackrel{f(x)\mathrm{\ne }0}{\to }1=2x\Rightarrow x={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}f(x)=f\text{'}(x)\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;f(x)=2x\backslash cdot\; f(x)\backslash xrightarrow\{f(x)\backslash neq\; 0\}1=2x\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;x=\backslash dfrac\{1\}\{2\}.$

Die Steigung des Graphen von $ff$ in dem Punkt $({\displaystyle \frac{1}{2}}\mid f\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right))\backslash left(\backslash dfrac\{1\}\{2\}\backslash Bigg|f\backslash left(\backslash dfrac\{1\}\{2\}\backslash right)\backslash right)$ist dann:

$f^{\mathrm{\prime }}(\frac{1}{2})=2\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot f(\frac{1}{2})=2\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\mathrm{e}}^{{\left(\frac{1}{2}\right)}^2}={\mathrm{e}}^{\frac{1}{4}}f^\{\backslash prime\}(\backslash frac\{1\}\{2\})=2\; \backslash cdot\; \backslash dfrac\{1\}\{2\}\; \backslash cdot\; f(\backslash frac\{1\}\{2\})=2\backslash cdot\backslash dfrac\{1\}\{2\}\backslash cdot\; \backslash mathrm\{e\}^\{\backslash left(\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash right)^\{2\}\}=\backslash mathrm\{e\}^\{\backslash frac\{1\}\{4\}\}$.

Die Steigung im Schnittpunkt der Graphen von $ff$ und $f^{\mathrm{\prime }}f^\{\backslash prime\}$ ist ${\mathrm{e}}^{\frac{1}{4}}\backslash mathrm\{e\}^\{\backslash frac\{1\}\{4\}\}$.

Begründe, dass der Grad von $ff$ mindestens $33$ ist

Da $f^{\mathrm{\prime }}f^\{\backslash prime\}$ an der Stelle $x_{3}x\_\{3\}$ ein Minimum hat (und $f^{\mathrm{\prime }}f^\{\backslash prime\}$ nicht konstant sein kann, da $ff$ laut Aufgabenstellung keine lineare Funktion ist), ist der Grad von $f^{\mathrm{\prime }}f^\{\backslash prime\}$ mindestens $22$ und damit der Grad von $ff$ mindestens $33$.

Skizziere in Abbildung 1 einen möglichen Graphen von $ff$

Bekannt ist:

• $ff$ hat bei $x_{1}x\_\{1\}$ eine Nullstelle.$\Rightarrow \backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;$ der Graph von $ff$ schneidet bei $x_{1}x\_1$ die $xx$-Achse.

• Es gilt $f^{\mathrm{\prime }}\left(x_2\right)=0f^\{\backslash prime\}\backslash left(x\_\{2\}\backslash right)=0$ und $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}\left(x_2\right)\mathrm{\ne }0f^\{\backslash prime\; \backslash prime\}\backslash left(x\_\{2\}\backslash right)\; \backslash neq\; 0$.$\Rightarrow \backslash ;\backslash Rightarrow$der Graph von $ff$ hat bei $x_{2}x\_2$ ein Extremum.

• $f^{\mathrm{\prime }}f^\{\backslash prime\}$ hat ein Minimum an der Stelle $x_{3}x\_\{3\}$.$\Rightarrow \backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;$der Graph von $ff$ hat bei $x_{3}x\_3$ einen Wendepunkt.

Mögliche Lösung:

Zeige, dass das Flächenstück, das der Graph von $ff$ mit der x-Achse einschließt, den Inhalt $\frac{4}{3}{a}^3\backslash frac\{4\}\{3\}\; a^\{3\}$ hat

Bekannt ist: Die Nullstellen von $ff$ sind $00$ und $2a2\; a$.

Berechne das Integral ${\displaystyle {\int }_0^{2a}f(x)\mathrm{d}x={[-\frac{1}{3}{x}^3+a{x}^2]}_0^{2a}=-\frac{8}{3}{a}^3+4a^3=\frac{4}{3}{a}^3}\backslash displaystyle\backslash int\_\{0\}^\{2\; a\}\; f(x)\; \backslash mathrm\{d\}\; x=\backslash left[-\backslash frac\{1\}\{3\}\; x^\{3\}+a\; x^\{2\}\backslash right]\_\{0\}^\{2\; a\}=-\backslash frac\{8\}\{3\}\; a^\{3\}+4\; a^\{3\}=\backslash frac\{4\}\{3\}\; a^\{3\}$.

Damit hat das Flächenstück, das der Graph von $ff$ mit der x-Achse einschließt, den Inhalt $\frac{4}{3}{a}^3\backslash frac\{4\}\{3\}\; a^\{3\}$.

Bestimmen Sie den Wert von $aa$

Das Flächenstück, das der Graph von $ff$ mit der x-Achse einschließt, hat den Inhalt $\frac{4}{3}{a}^3\backslash frac\{4\}\{3\}\; a^\{3\}$.

Weiterhin ist $f(x)=-x^2+2axf(x)=-x^\{2\}+2\; a\; x$ und die Nullstellen von $ff$ sind $00$ und $2a2\; a$.

Aufgrund der Symmetrie einer Parabel liegt die Maximalstelle von $ff$ genau in der Mitte zwischen den Nullstellen, d.h. an der Stelle $x=ax=a$.

Berechne $y_{HP}=f(a)=-a^2+2\cdot a\cdot a=a^{2}y\_\{HP\}=f(a)=-a^2+2\backslash cdot\; a\backslash cdot\; a=a^2$ $\Rightarrow \backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;$ $HP(a\mid a^2)HP\backslash left(a\; \backslash mid\; a^\{2\}\backslash right)$ ist der Hochpunkt des Graphen von $ff$.

Eine Quadratseite hat also die Länge $a^{2}a^2$ und der Flächeninhalt des Quadrates ist dann $(a^2{)}^2(a^2)^2$.

Demnach gilt für $a>1a>1$:

$\frac{4}{3}{a}^3=(a^2{)}^2=a^4\Rightarrow a={\displaystyle \frac{4}{3}}\backslash frac\{4\}\{3\}\; a^\{3\}=(a^2)^2=a^4\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;a=\backslash dfrac\{4\}\{3\}$

Der Wert von $aa$ ist ${\displaystyle \frac{4}{3}}\backslash dfrac\{4\}\{3\}$.

Zeige, dass $gg$ in der Ebene mit der Gleichung $x+y+z=2x+y+z=2$ liegt

Einsetzen der durch die Geradengleichung gegebenen Koordinaten in die Ebenengleichung:

$\lambda +1+1-\lambda =2\mathrm{✓}\backslash lambda+1+1-\backslash lambda=2\backslash ;\backslash checkmark$ liefert eine wahre Aussage.

Die Gerade $gg$ liegt in der Ebene mit der Gleichung $x+y+z=2x+y+z=2$.

Weise nach, dass $gg$ und $h_{a}h\_\{a\}$ für jeden Wert von $aa$ windschief sind

Setze $g=h_{a}g=h\_a$:

$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\end{array}\right)+\lambda \cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)+\mu \cdot \left(\begin{array}{c}1\\ a\\ 0\end{array}\right)\backslash def\backslash arraystretch\{1.25\}\; \backslash left(\backslash begin\{array\}\{l\}0\; \backslash \backslash \; 1\; \backslash \backslash \; 1\backslash end\{array\}\backslash right)+\backslash lambda\; \backslash cdot\backslash left(\backslash begin\{array\}\{c\}1\; \backslash \backslash \; 0\; \backslash \backslash \; -1\backslash end\{array\}\backslash right)=\backslash left(\backslash begin\{array\}\{l\}0\; \backslash \backslash \; 0\; \backslash \backslash \; 1\backslash end\{array\}\backslash right)+\backslash mu\; \backslash cdot\backslash left(\backslash begin\{array\}\{l\}1\; \backslash \backslash \; a\; \backslash \backslash \; 0\backslash end\{array\}\backslash right)$

Aus Gleichung $\mathrm{I}\backslash mathrm\{I\}$ folgt: $\lambda =\mu \backslash lambda=\backslash mu$.

Aus Gleichung $\mathrm{I}\mathrm{I}\backslash mathrm\{II\}$ folgt: $1=a\cdot \mu 1=a\backslash cdot\; \backslash mu$.

Aus Gleichung $\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I}\backslash mathrm\{III\}$ folgt: $1-\lambda =1\Rightarrow \lambda =01-\backslash lambda=1\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;\backslash lambda=0$

Wegen Gleichung $\mathrm{I}\backslash mathrm\{I\}$ folgt dann auch, dass $\mu =0\backslash mu=0$ ist.

Für Gleichung $\mathrm{I}\mathrm{I}\backslash mathrm\{II\}$ ergibt sich dann ein Widerspruch, da $1\mathrm{\ne }a\cdot 01\backslash neq\; a\backslash cdot\; 0$ ist.

Da das Gleichungssystem einen Widerspruch liefert und damit nicht erfüllbar ist, besitzen $gg$ und $h_{a}h\_\{a\}$ keinen Schnittpunkt.

Prüfe die Geraden $gg$ und $h_{a}h\_\{a\}$ auf Parallelität: Es gibt keinen Wert von $aa$, für den die Richtungsvektoren $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\end{array}\right)\backslash def\backslash arraystretch\{1.25\}\; \backslash left(\backslash begin\{array\}\{c\}1\; \backslash \backslash \; 0\; \backslash \backslash \; -1\backslash end\{array\}\backslash right)$ und $\left(\begin{array}{c}1\\ a\\ 0\end{array}\right)\backslash def\backslash arraystretch\{1.25\}\; \backslash left(\backslash begin\{array\}\{l\}1\; \backslash \backslash \; a\; \backslash \backslash \; 0\backslash end\{array\}\backslash right)$ kollinear sind. $gg$ und $h_{a}h\_\{a\}$ sind daher nicht parallel.

Daher gilt: Die Geraden $gg$ und $h_{a}h\_\{a\}$ sind für jeden Wert von $aa$ windschief.

Berechne die Lösung des Gleichungssystems

Addiere Gleichung $\mathrm{I}\mathrm{I}\backslash mathrm\{II\}$ und $\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I}\Rightarrow -z=1\Rightarrow z=-1\backslash mathrm\{III\}\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;-z=1\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;z=-1$

Aus Gleichung $\mathrm{I}\backslash mathrm\{I\}$ folgt dann mit $z=-1z=-1$: $2x+(-1)=0\Rightarrow x={\displaystyle \frac{1}{2}}2x+(-1)=0\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;x=\backslash dfrac\{1\}\{2\}$

Aus Gleichung $\mathrm{I}\mathrm{I}\backslash mathrm\{II\}$ folgt mit $z=-1z=-1$: $-2y+4\cdot (-1)=0\Rightarrow y=-2-2y+4\backslash cdot(-1)=0\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;y=-2$

Die Lösung des Gleichungssystems lautet $x={\displaystyle \frac{1}{2}},y=-2x=\backslash dfrac\{1\}\{2\},\; y=-2$ und $z=-1z=-1$.

Ermittele diesen Wert

Addiere Gleichung $\mathrm{I}\mathrm{I}\backslash mathrm\{II\}$ und $\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I}\Rightarrow 4z-rz=1\Rightarrow (4-r)\cdot z=1\backslash mathrm\{III\}\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;4z-rz=1\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;(4-r)\backslash cdot\; z=1$

Die Gleichung $(4-r)\cdot z=1(4-r)\backslash cdot\; z=1$ hat für $r=4r=4$ keine Lösung, d.h. das Gleichungssystem hat für $r=4r=4$ keine Lösung.