Teil 1 Analysis: ohne Hilfsmittel

Unten abgebildet ist ein Ausschnitt des Graphen $G_{g}$ der Funktion $g$ mit der maximalen

Definitionsmenge $D_{g} = ℝ$ .

Geben Sie jeweils an, ob die folgenden Terme Werte haben, die größer, kleiner oder gleich Null sind:
a) $g (10)$ b) $g^{''} (5)$
(2 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremum
Gib jeweils an, ob die folgenden Terme Werte haben, die größer, kleiner oder gleich Null sind:
$g (10)$ : $g (10) = 0$ (Nullstelle bei $x = 10$ in der Abbildung abgelesen).
$g^{''} (5)$ : $G_{g}$ ist bei $x = 5$ linksgekrümmt $\Rightarrow$ $g^{''} (5) < 0$ .
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Lies den Wert für $g (10)$ in der Abbildung ab.
Beachte, dass sich bei $x = 5$ die Extremstelle eines Hochpunktes befindet.
Bestimmen Sie anhand der Abbildung graphisch die Steigung der Tangente an $G_{g}$ im Punkt $P (7 | g (7))$ . Veranschaulichen Sie Ihr Vorgehen in obiger Abbildung durch ein geeignetes Steigungsdreieck. (3 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente an Graph
Bestimme anhand der Abbildung graphisch die Steigung der Tangente an $G_{g}$ im Punkt $P (7 | g (7))$ . Veranschauliche Dein Vorgehen in obiger Abbildung durch ein geeignetes Steigungsdreieck.
Die Steigung im Punkt $P (7 | g (7))$ beträgt $m = \frac{- 3}{5} = - 0,6$ .
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Zeichne ein Steigungsdreieck ein und bestimme die Steigung.
Die Funktion $g$ ist durch die Gleichung $g (x) = - (x - 10) \cdot e^{0,2 x - 1}$ gegeben. Weisen Sie nach, dass die Funktion $G : x \mapsto - (5 x - 75) \cdot e^{0,2 x - 1}$ mit $D_{g} = ℝ$ eine Stammfunktion von $g$ ist. (3 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stammfunktion
Weise nach, dass die Funktion $G : x \mapsto - (5 x - 75) \cdot e^{0,2 x - 1}$ mit $D_{g} = ℝ$ eine Stammfunktion von $g$ ist
$G (x) = - (5 x - 75) \cdot e^{0,2 x - 1}$
Bilde die 1. Ableitung von $G (x)$ mithilfe der Produkt- und Kettenregel.
$G^{'} (x) = - (5 \cdot e^{0,2 x - 1} + (5 x - 75) \cdot e^{0,2 x - 1} \cdot 0,2) = - (5 \cdot e^{0,2 x - 1} + x \cdot e^{0,2 x - 1} - 15 \cdot e^{0,2 x - 1})$
Vereinfache:
$G^{'} (x) = - (x \cdot e^{0,2 x - 1} - 10 \cdot e^{0,2 x - 1}) = - (x - 10) \cdot e^{0,2 x - 1} = g (x)$
Damit ist gezeigt, dass $G$ eine Stammfunktion von $g$ ist.
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Bilde die 1. Ableitung von $G (x)$ mithilfe der Produkt- und Kettenregel und zeige, dass $G^{'} (x) = g (x)$ ist.
Berechnen Sie die ungerundeten Funktionswerte $G (5)$ und $G (10)$ . Markieren Sie in der Abbildung aus a) das Flächenstück, dessen Flächenmaßzahl gleich der Differenz $G (10) - G (5)$ ist und geben Sie die Maßzahl exakt an. (3 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
Berechne die ungerundeten Funktionswerte $G (5)$ und $G (10)$
$G (x) = - (5 x - 75) \cdot e^{0,2 x - 1}$
$\Rightarrow G (5) = - (5 \cdot 5 - 75) \cdot e^{0,2 \cdot 5 - 1} = 50 \cdot e^{0} = 50$
$\Rightarrow G (10) = - (5 \cdot 10 - 75) \cdot e^{0,2 \cdot 10 - 1} = 25 \cdot e^{1} = 25 e$
Markiere in der Abbildung aus a) das Flächenstück, dessen Flächenmaßzahl gleich der Differenz $G (10) - G (5)$ ist und gib die Maßzahl exakt an
$A = \int_{5}^{10} g (x) d x = G (10) - G (5) = 25 e - 50$
Das Flächenstück, dessen Flächenmaßzahl gleich der Differenz $G (10) - G (5)$ ist, hat die Maßzahl $25 e - 50 FE$ .
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Setze $x = 5$ in $G (x)$ ein, ebenso für $x = 10$ .
Markiere die eingeschlossene Fläche und gib $G (10) - G (5)$ an.

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das?

Gib jeweils an, ob die folgenden Terme Werte haben, die größer, kleiner oder gleich Null sind:

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Bestimme anhand der Abbildung graphisch die Steigung der Tangente an Gg im Punkt P(7|g(7)). Veranschauliche Dein Vorgehen in obiger Abbildung durch ein geeignetes Steigungsdreieck.

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Weise nach, dass die Funktion G:x↦−(5x−75)⋅e0,2x−1 mit Dg=ℝ eine Stammfunktion von g ist

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Berechne die ungerundeten Funktionswerte G(5) und G(10)

Markiere in der Abbildung aus a) das Flächenstück, dessen Flächenmaßzahl gleich der Differenz G(10)−G(5) ist und gib die Maßzahl exakt an

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Bestimme anhand der Abbildung graphisch die Steigung der Tangente an $G_{g}$ im Punkt $P (7 | g (7))$ . Veranschauliche Dein Vorgehen in obiger Abbildung durch ein geeignetes Steigungsdreieck.

Weise nach, dass die Funktion $G : x \mapsto - (5 x - 75) \cdot e^{0,2 x - 1}$ mit $D_{g} = ℝ$ eine Stammfunktion von $g$ ist

Berechne die ungerundeten Funktionswerte $G (5)$ und $G (10)$

Markiere in der Abbildung aus a) das Flächenstück, dessen Flächenmaßzahl gleich der Differenz $G (10) - G (5)$ ist und gib die Maßzahl exakt an