Teil 1 Analysis: ohne Hilfsmittel

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Unten abgebildet ist ein Ausschnitt des Graphen $G_{g}$ der Funktion $g$ mit der maximalen
Definitionsmenge $D_{g} = ℝ$ .
1. Geben Sie jeweils an, ob die folgenden Terme Werte haben, die größer, kleiner oder gleich Null sind:
  a) $g (10)$ b) $g^{''} (5)$
  (2 BE)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremum
  Gib jeweils an, ob die folgenden Terme Werte haben, die größer, kleiner oder gleich Null sind:
  $g (10)$ : $g (10) = 0$ (Nullstelle bei $x = 10$ in der Abbildung abgelesen).
  $g^{''} (5)$ : $G_{g}$ ist bei $x = 5$ linksgekrümmt $\Rightarrow$ $g^{''} (5) < 0$ .
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  Lies den Wert für $g (10)$ in der Abbildung ab.
  Beachte, dass sich bei $x = 5$ die Extremstelle eines Hochpunktes befindet.
2. Bestimmen Sie anhand der Abbildung graphisch die Steigung der Tangente an $G_{g}$ im Punkt $P (7 | g (7))$ . Veranschaulichen Sie Ihr Vorgehen in obiger Abbildung durch ein geeignetes Steigungsdreieck. (3 BE)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente an Graph
  Bestimme anhand der Abbildung graphisch die Steigung der Tangente an $G_{g}$ im Punkt $P (7 | g (7))$ . Veranschauliche Dein Vorgehen in obiger Abbildung durch ein geeignetes Steigungsdreieck.
  Die Steigung im Punkt $P (7 | g (7))$ beträgt $m = \frac{- 3}{5} = - 0,6$ .
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  Zeichne ein Steigungsdreieck ein und bestimme die Steigung.
3. Die Funktion $g$ ist durch die Gleichung $g (x) = - (x - 10) \cdot e^{0,2 x - 1}$ gegeben. Weisen Sie nach, dass die Funktion $G : x \mapsto - (5 x - 75) \cdot e^{0,2 x - 1}$ mit $D_{g} = ℝ$ eine Stammfunktion von $g$ ist. (3 BE)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stammfunktion
  Weise nach, dass die Funktion $G : x \mapsto - (5 x - 75) \cdot e^{0,2 x - 1}$ mit $D_{g} = ℝ$ eine Stammfunktion von $g$ ist
  $G (x) = - (5 x - 75) \cdot e^{0,2 x - 1}$
  Bilde die 1. Ableitung von $G (x)$ mithilfe der Produkt- und Kettenregel.
  $G^{'} (x) = - (5 \cdot e^{0,2 x - 1} + (5 x - 75) \cdot e^{0,2 x - 1} \cdot 0,2) = - (5 \cdot e^{0,2 x - 1} + x \cdot e^{0,2 x - 1} - 15 \cdot e^{0,2 x - 1})$
  Vereinfache:
  $G^{'} (x) = - (x \cdot e^{0,2 x - 1} - 10 \cdot e^{0,2 x - 1}) = - (x - 10) \cdot e^{0,2 x - 1} = g (x)$
  Damit ist gezeigt, dass $G$ eine Stammfunktion von $g$ ist.
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  Bilde die 1. Ableitung von $G (x)$ mithilfe der Produkt- und Kettenregel und zeige, dass $G^{'} (x) = g (x)$ ist.
4. Berechnen Sie die ungerundeten Funktionswerte $G (5)$ und $G (10)$ . Markieren Sie in der Abbildung aus a) das Flächenstück, dessen Flächenmaßzahl gleich der Differenz $G (10) - G (5)$ ist und geben Sie die Maßzahl exakt an. (3 BE)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
  Berechne die ungerundeten Funktionswerte $G (5)$ und $G (10)$
  $G (x) = - (5 x - 75) \cdot e^{0,2 x - 1}$
  $\Rightarrow G (5) = - (5 \cdot 5 - 75) \cdot e^{0,2 \cdot 5 - 1} = 50 \cdot e^{0} = 50$
  $\Rightarrow G (10) = - (5 \cdot 10 - 75) \cdot e^{0,2 \cdot 10 - 1} = 25 \cdot e^{1} = 25 e$
  Markiere in der Abbildung aus a) das Flächenstück, dessen Flächenmaßzahl gleich der Differenz $G (10) - G (5)$ ist und gib die Maßzahl exakt an
  $A = \int_{5}^{10} g (x) d x = G (10) - G (5) = 25 e - 50$
  Das Flächenstück, dessen Flächenmaßzahl gleich der Differenz $G (10) - G (5)$ ist, hat die Maßzahl $25 e - 50 FE$ .
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  Setze $x = 5$ in $G (x)$ ein, ebenso für $x = 10$ .
  Markiere die eingeschlossene Fläche und gib $G (10) - G (5)$ an.
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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
In untenstehendem Diagramm ist ausschnittsweise der Graph $G_{f^{'}}$ der ersten
Ableitungsfunktion $f^{'}$ einer Funktion $f$ abgebildet. $f$ und $f^{'}$ besitzen die maximalen
Definitionsmengen $D_{f} = D_{f}^{'} = ℝ$
Der Graph $G_{f^{'}}$ besitzt für $x \to \pm \infty$ eine waagrechte Asymptote mit der Gleichung $y = 1$ und die Ableitungsfunktion $f^{'}$ hat genau zwei Nullstellen.
Der Abbildung dürfen ganzzahlige Werte entnommen werden.
1. Geben Sie jeweils die Art und die x-Koordinaten der beiden relativen Extrempunkte von $G_{f}$ an. (3 BE)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremum
  Gib jeweils die Art und die x-Koordinaten der beiden relativen Extrempunkte von $G_{f}$ an
  $f^{'} (x) = 0$ bei $x = - 2$ und bei $x = 2$ .
  Bei $x = - 2$ hat $f^{'} (x)$ einen Vorzeichenwechsel von $+ \mapsto - \Rightarrow H P$ bei $x = - 2$ .
  Bei $x = 2$ hat $f^{'} (x)$ einen Vorzeichenwechsel von $- \mapsto + \Rightarrow T P$ bei $x = - 2$ .
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  Wo ist $f^{'} (x) = 0$ ?
  Untersuche das Vorzeichenverhalten an diesen Stellen.
2. Der Graph $G_{f}$ hat eine Stelle mit größtem Gefälle. Geben Sie sowohl diese Stelle als auch den Wert des größten Gefälles an. (2 BE)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wendepunkte und Terrassenpunkte
  Gib sowohl diese Stelle als auch den Wert des größten Gefälles an
  An der Stelle $x = 0$ ist $f^{'} (0) = - 2$ .
  Der Wert des größten Gefälles eines Funktionsgraphen ist der Betrag der Steigung an der Stelle, an der die Funktion den steilsten Anstieg oder Abfall aufweist.
  Der Wert des größten Gefälles ist $| - 2 | = 2$ .
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  Finde die Stelle mit der betragsmäßig größten Steigung und lies die Steigung ab.
3. Der Graph $G_{f}$ der Funktion $f$ besitzt für $x \to \infty$ eine Asymptote. Geben Sie die Art und die Steigung dieser Asymptote an und begründen Sie Ihre Antworten. (2 BE)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Asymptote
  Gib die Art und die Steigung dieser Asymptote an und begründe Deine Antworten
  Der Graph $G_{f^{'}}$ besitzt für $x \to \pm \infty$ eine waagrechte Asymptote mit der Gleichung $y = 1$ .
  Es gilt: $\lim_{x \to \pm \infty} f^{'} (x) = 1$ , d.h. $G_{f^{'}}$ hat die Asymptote $y = 1$ .
  Die Funktion $f (x)$ hat dann die schräge Asymptote $y = x + C$ mit der Steigung $1$ .
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  Es gilt: $\lim_{x \to \pm \infty} f^{'} (x) = 1$ , d.h. $G_{f}^{'}$ hat die Asymptote $y = 1$ .
  Wenn die Ableitung gleich $1$ ist, welcher Funktionsterm gehört dazu?
  Welche Steigung hat dieser Funktionsterm?
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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Gegeben ist die Funktion $h : x \to \frac{1}{x} \ln (x + 1)$ in ihrer maximalen Definitionsmenge $D_{h} \subseteq ℝ$ .
Ermitteln Sie das Verhalten der Funktionswerte von $h$ für $x \to \infty$ und bei rechtsseitiger
Annäherung an die Stelle $x = - 1$ . (4 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Grenzwert
Ermittle das Verhalten der Funktionswerte von $h$ für $x \to \infty$ und bei rechtsseitiger Annäherung an die Stelle $x = - 1$
1. $\lim_{x \to + \infty} \frac{1}{x} \ln (x + 1) = 0$
Die $\ln -$ Funktion verändert sich wesentlich langsamer als jede Potenzfunktion.
Daher gilt: für $x \to + \infty$ strebt der Quotient aus $\ln (x + 1)$ und $x$ gegen $0$ .
2. $\lim_{x \to - 1^{+}} \underset{\to - 1}{\underset{⏟}{\frac{1}{x}}} \underset{\to - \infty}{\underset{⏟}{\ln (x + 1)}} = + \infty$
Teil 1
Die $\ln -$ Funktion verändert sich wesentlich langsamer als jede Potenzfunktion. Was folgt daraus?
Teil 2
Wie verhält sich $\frac{1}{x}$ für $x \to - 1^{+}$ und wie verhält sich $\ln (x + 1)$ für $x \to - 1^{+}$ ?

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

Teil 1 Analysis: ohne Hilfsmittel

Gib jeweils an, ob die folgenden Terme Werte haben, die größer, kleiner oder gleich Null sind:

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Bestimme anhand der Abbildung graphisch die Steigung der Tangente an Gg im Punkt P(7|g(7)). Veranschauliche Dein Vorgehen in obiger Abbildung durch ein geeignetes Steigungsdreieck.

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Weise nach, dass die Funktion G:x↦−(5x−75)⋅e0,2x−1 mit Dg=ℝ eine Stammfunktion von g ist

Hast du eine Frage oder Feedback?

Berechne die ungerundeten Funktionswerte G(5) und G(10)

Markiere in der Abbildung aus a) das Flächenstück, dessen Flächenmaßzahl gleich der Differenz G(10)−G(5) ist und gib die Maßzahl exakt an

Hast du eine Frage oder Feedback?

Gib jeweils die Art und die x-Koordinaten der beiden relativen Extrempunkte von Gf an

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Gib sowohl diese Stelle als auch den Wert des größten Gefälles an

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Gib die Art und die Steigung dieser Asymptote an und begründe Deine Antworten

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Ermittle das Verhalten der Funktionswerte von h für x→∞ und bei rechtsseitiger Annäherung an die Stelle x=−1

Bestimme anhand der Abbildung graphisch die Steigung der Tangente an $G_{g}$ im Punkt $P (7 | g (7))$ . Veranschauliche Dein Vorgehen in obiger Abbildung durch ein geeignetes Steigungsdreieck.

Weise nach, dass die Funktion $G : x \mapsto - (5 x - 75) \cdot e^{0,2 x - 1}$ mit $D_{g} = ℝ$ eine Stammfunktion von $g$ ist

Berechne die ungerundeten Funktionswerte $G (5)$ und $G (10)$

Markiere in der Abbildung aus a) das Flächenstück, dessen Flächenmaßzahl gleich der Differenz $G (10) - G (5)$ ist und gib die Maßzahl exakt an

Gib jeweils die Art und die x-Koordinaten der beiden relativen Extrempunkte von $G_{f}$ an

Ermittle das Verhalten der Funktionswerte von $h$ für $x \to \infty$ und bei rechtsseitiger Annäherung an die Stelle $x = - 1$