Gib die Wertemenge von $ff$ an

Der kleinste Funktionswert ist $f(0)=e^0=1f(0)=e^0=1$.

$\Rightarrow \backslash Rightarrow\backslash ;$Wertemenge: $y\in \mathbb{R},y\ge 1y\; \backslash in\; \backslash mathbb\{R\},\; y\; \backslash geq\; 1$.

Bestimme die Steigung des Graphen von $ff$ in diesem Punkt

Bekannt ist: Für die erste Ableitungsfunktion $f^{\mathrm{\prime }}f^\{\backslash prime\}$ von $ff$ gilt $f^{\mathrm{\prime }}(x)=2x\cdot f(x)f^\{\backslash prime\}(x)=2\; x\; \backslash cdot\; f(x)$.

Die Graphen von $ff$ und $f^{\mathrm{\prime }}f^\{\backslash prime\}$ schneiden sich in einem Punkt.

Setze $f(x)=f^{\mathrm{\prime }}(x)\Rightarrow f(x)=2x\cdot f(x)\stackrel{f(x)\mathrm{\ne }0}{\to }1=2x\Rightarrow x={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}f(x)=f\text{'}(x)\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;f(x)=2x\backslash cdot\; f(x)\backslash xrightarrow\{f(x)\backslash neq\; 0\}1=2x\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;x=\backslash dfrac\{1\}\{2\}.$

Die Steigung des Graphen von $ff$ in dem Punkt $({\displaystyle \frac{1}{2}}\mid f\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right))\backslash left(\backslash dfrac\{1\}\{2\}\backslash Bigg|f\backslash left(\backslash dfrac\{1\}\{2\}\backslash right)\backslash right)$ist dann:

$f^{\mathrm{\prime }}(\frac{1}{2})=2\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot f(\frac{1}{2})=2\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\mathrm{e}}^{{\left(\frac{1}{2}\right)}^2}={\mathrm{e}}^{\frac{1}{4}}f^\{\backslash prime\}(\backslash frac\{1\}\{2\})=2\; \backslash cdot\; \backslash dfrac\{1\}\{2\}\; \backslash cdot\; f(\backslash frac\{1\}\{2\})=2\backslash cdot\backslash dfrac\{1\}\{2\}\backslash cdot\; \backslash mathrm\{e\}^\{\backslash left(\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash right)^\{2\}\}=\backslash mathrm\{e\}^\{\backslash frac\{1\}\{4\}\}$.

Die Steigung im Schnittpunkt der Graphen von $ff$ und $f^{\mathrm{\prime }}f^\{\backslash prime\}$ ist ${\mathrm{e}}^{\frac{1}{4}}\backslash mathrm\{e\}^\{\backslash frac\{1\}\{4\}\}$.