B3 - lernen mit Serlo!

Aufgabe 2

Die Aufgabe 2 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.

Gegeben sind $A_{2}(50|5| 0)$ und $B_{2}(10|5| 30)$ .

Der Körper $K$ ist Teil eines mathematischen Modells eines Architekturbüros zur Planung eines neuen Hotels. Das Hotel soll zehn Stockwerke gleicher Höhe besitzen. Für die an die Schrägen angrenzenden Hotelzimmer sind von der 1. bis zur 9. Etage Balkone geplant. Als Beispiel ist in Abbildung 2 der Boden des Balkons für die 3. Etage dargestellt.

Eine Längeneinheit im Modell entspricht einem Meter in der Realität.

Durch $\def\arraystretch{1.25} E_{a}: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}50-a \\ 5 \\ 0{,}75 \cdot a\end{array}\right)+r \cdot\left(\begin{array}{c}0 \\ -10 \\ 0\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right), a \in \mathbb{R}, r, s \in \mathbb{R}$ , ist eine Schar paralleler Ebenen gegeben. Der Boden jedes Balkons wird im Folgenden als Fläche innerhalb einer geeigneten Ebene der Schar modelliert. Der Boden des Balkons für die 3. Etage liegt z. B. in der Ebene $E_{12}$ .

Zeigen Sie: Für jeden Wert von a mit $0 \leq a \leq 40$ liegt der Punkt $(50-a|5| 0{,}75 \cdot a)$ auf der Strecke $\overline{A_{2} B_{2}}$ . (4 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichungssysteme
Zeige: Für jeden Wert von a mit $0 \leq a \leq 40$ liegt der Punkt $(50-a|5| 0{,}75 \cdot a)$ auf der Strecke $\overline{A_{2} B_{2}}$
Der Vektor $\overrightarrow{A_{2} B_{2}}=\begin{pmatrix}10\\5\\30\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}50\\5\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-40\\0\\30\end{pmatrix}$ .
Eine Parametergleichung der Strecke $\overline{A_{2} B_{2}}$ ist dann gegeben durch: $\overline{A_{2} B_{2}}: \vec{x}=\overrightarrow{OA_{2}}+t \cdot \overrightarrow{A_{2} B_{2}}=\begin{pmatrix}50\\5\\0\end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix}-40\\0\\30\end{pmatrix}, t \in \mathbb{R}, 0 \leq t \leq 1$ .
Damit erhält man das Gleichungssystem:
$\begin{pmatrix}50-a\\5\\0{,}75\cdot a\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}50\\5\\0\end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix}-40\\0\\30\end{pmatrix}$ $\;\Rightarrow\;$ $\def\arraystretch{1.25} \left|\begin{array}{c}50-a =50-40\cdot t \\ 5=5 \\0{,}75 \cdot a= 30 \cdot t\end{array}\right|$ .
Aus Gleichung $\mathrm{I}$ folgt $t=\dfrac{a}{40}$ .
Mit Gleichung $\mathrm{III}$ erhält man den gleichen Wert für $t$ .
Das Gleichungssystem hat somit die Lösung $t=\dfrac{a}{40}$ .
Wegen $0 \leq a \leq 40$ gilt $0 \leq t \leq 1$ . Damit liegt für jedes $a \in \mathbb{R}$ mit $0 \leq a \leq 40$ der Punkt $(50-a|5|0{,}75\cdot a)$ auf der Strecke $\overline{A_{2} B_{2}}$ .
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Erstelle eine Parametergleichung der Strecke $\overline{A_{2} B_{2}}$ .
Der Punkt $(50-a|5| 0{,}75 \cdot a)$ soll auf dieser Parametergleichung liegen $\;\Rightarrow\;$ löse das Gleichungssystem.
Die Menge aller Punkte der Bodenfläche des Balkons für die 3. Etage wird durch die Parametergleichung
$\vec{x}=\begin{pmatrix}38 \\5 \\9\end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix}0 \\-10 \\0\end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix}1 \\0 \\0\end{pmatrix}, 0 \leq r \leq 1{,}0 \leq s \leq 3$
beschrieben.
Der Balkon ist wie in Abbildung 3 dargestellt auf zwei vertikalen Stützen $s_{1}$ und $s_{2}$ gelagert.
Berechnen Sie die Länge der Stütze $\mathrm{s}_{1}$ . (4 P)
Abbildung 3
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung in der analytischen Geometrie
Berechne die Länge der Stütze $\mathrm{s}_{1}$
Bekannt ist: Für jedes $a \in \mathbb{R}$ mit $0 \leq a \leq 40$ der Punkt $(50-a|5|0{,}75\cdot a)$ auf der Strecke $\overline{A_{2} B_{2}}$ .
Ist $a = 12$ (wegen $E_{12}$ ), dann liegt der Punkt $(38 ∣ 5 ∣ 9)$ auf der Strecke $\overline{A_{2} B_{2}}$ .
Der Punkt $(38 ∣ 5 ∣ 9)$ ist ein Eckpunkt der Bodenfläche des Balkons (für $r = 0$ und $s = 0$ ).
Die Menge aller Punkte der Bodenfläche des Balkons für die 3. Etage wird durch die gegebene Parametergleichung für $0 \leq r \leq 1,0 \leq s \leq 3 0≤r≤1{,}0≤s≤3$ beschrieben, d.h. einen weiteren Balkoneckpunkt erhält man für $r = 0$ und $s = 3$ .
$\vec{x}=\begin{pmatrix}38 \\5 \\9\end{pmatrix}+0 \cdot \begin{pmatrix}0 \\-10 \\0\end{pmatrix}+3 \cdot \begin{pmatrix}1 \\0 \\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}41 \\5 \\9\end{pmatrix}$ $\;\Rightarrow\;C(41|5| 9)$
Der Balkoneckpunkt $C (41 ∣ 5 ∣ 9)$ ist das obere Ende der Stütze $s_{1}$ .
Die Stütze $s_{1}$ kann jetzt als Strecke modelliert werden, die in der Geraden $g: \vec{x}=\begin{pmatrix}41 \\ 5 \\ 9\end{pmatrix}+u \cdot\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}, u \in \mathbb{R}$ enthalten ist.
Für die Längenberechnung der Stütze braucht man den Schnittpunkt der Geraden $g$ mit der Parametergleichung der Strecke $\overline{A_{2} B_{2}}$ : $\begin{pmatrix}41 \\ 5 \\ 9\end{pmatrix}+u \cdot\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}50\\5\\0\end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix}-40\\0\\30\end{pmatrix}$
Man erhält das Gleichungssystem:
$\def\arraystretch{1.25} \left|\begin{array}{c}41=50-40 \cdot t \\ 5=5 \\ 9+u=30 \cdot t\end{array}\right|$
Aus Gleichung $\mathrm{I}$ folgt $t=\dfrac{9}{40}$ .
Gleichung $\mathrm{III}$ ergibt für $u$ den Wert $u=30\cdot\dfrac{9}{40}-9=-2{,}25$ .
Da der Richtungsvektor der Geraden $g$ ein Einheitsvektor ist, entspricht $∣ u ∣ = 2,25$ der Länge der Stütze $s_{1}$ .
Die Stütze $s_{1}$ besitzt eine Länge von $2{,}25 \mathrm{~m}$ .
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Die Menge aller Punkte der Bodenfläche des Balkons für die 3. Etage wird durch die gegebene Parametergleichung beschrieben.
Einen weiteren Balkoneckpunkt erhält man für $r = 0$ und $s = 3$ .
Dieser Balkoneckpunkt ist das obere Ende der Stütze $s_{1}$ .
Erstelle eine Geradengleichung $g$ für die Stütze und berechne den Schnittpunkt mit der Parametergleichung der Strecke $\overline{A_{2} B_{2}}$ $\;\Rightarrow\;u_1$
Da der Richtungsvektor der Geraden $g$ ein Einheitsvektor ist, entspricht $∣ u_{1} ∣$ der Länge der Stütze $s_{1}$ .

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das?

Aufgabe 2

Zeige: Für jeden Wert von a mit 0≤a≤400 \leq a \leq 400≤a≤40 liegt der Punkt (50−a∣5∣0,75⋅a)(50-a|5| 0{,}75 \cdot a)(50−a∣5∣0,75⋅a) auf der Strecke A2B2‾\overline{A_{2} B_{2}}A2​B2​​

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Berechne die Länge der Stütze s1\mathrm{s}_{1}s1​

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Zeige: Für jeden Wert von a mit $0 \leq a \leq 40$ liegt der Punkt $(50-a|5| 0{,}75 \cdot a)$ auf der Strecke $\overline{A_{2} B_{2}}$

Berechne die Länge der Stütze $\mathrm{s}_{1}$