Wahlteil - lernen mit Serlo!

Die Abbildung zeigt einen Carport.

Ergänze das fehlende Maß in der Skizze.
[ 1 Pkt ]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Grundrechenarten
Ergänzen des fehlenden Maßes in der Skizze.
Die Skizze ist nicht maßtreu.
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Ziehe von der Höhe der oberen Dachkante die Höhe der unteren Dachkante ab.
Schreibe das Ergebnis in den Kreis.
Berechne die Länge $x$ eines Dachbalkens.
[ 3 Pkte ]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Satz des Pythagoras
Berechnen der Länge $x$ eines Dachbalkens.
X ist die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks die Katheten sind:
$G e g e n k a t h e t e = 90 cm$
$A n k a t h e t e = 430 cm$
Der Satz des Pythagoras lautet, angewandt auf unser rechtwinkliges Dreieck:
$x^{2} = (G e g e n k a t h e t e)^{2} + (A n k a t h e t e)^{2}$
auflösen nach $x$ und einsetzen der bekannten Größen
$x = \sqrt{90^{2} + 430^{2}}$
$x \approx 439,32 cm$
Die Länge eines Dachbalkens beträgt ungefähr: $439,32 cm$
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Berechne mithilfe des Satzes des Pythagoras die Länge der Hypotenuse $x$ .
Berechne den Winkel $α$ .
[ 2 Pkte ]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck
Berechnen des Winkels $α$ .
Wir berechnen den Winkel $α$ mit dem Tangens im rechtwinkligen Dreieck.
Der Tangens im rechtwinkligen Dreieck ist definiert als:
$\tan (α) = \frac{Gegenkathete}{Ankathete}$
Die Maße entnehmen wir der Skizze der Lösung zu Teilaufgabe 2a)
$\tan (α) = \frac{90}{430} \Rightarrow t a n^{- 1} (α) \approx {11,82}^{\circ}$
Der Winkel $α$ beträgt ungefähr: ${11,82}^{\circ}$
Anmerkung:
Da die Hypotenuse bekannt ist (siehe Teilaufgabe 2b), kannst Du den Winkel $α$ auch mit dem Sinus oder dem Kosinus berechnen.
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Berechne den Winkel $α$ mithilfe des Tangens im rechtwinkligem Dreieck.
Auf das Dach des Carports soll eine Solaranlage mit einem Winkel von $37 °$ gebaut werden. Tilo möchte die maximale Länge $s$ der Solaranlage bestimmen und hat eine Skizze
angefertigt.
Zeichne dafür ein geeignetes rechtwinkliges Dreieck und bestimme die maximale Länge $s$ der Solaranlage.
(Wähle für $100 cm$ in der Wirklichkeit $1 cm$ in der Zeichnung.)
[ 3 Pkte ]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck
Zeichnen des rechtwinkligen Dreiecks.
Die Skizze ist nicht maßtreu.
Bestimmen der maximalen Länge $s$ der Solaranlage.
Berechnen der Länge $𝐬$ mithilfe des Kosinus.
Der Kosinus im rechtwinkligen Dreieck ist definiert als:
$\cos (α) = \frac{A n k a t h e t e}{H y p o t e n u s e}$
In unserem Dreieck gilt dann:
$\cos (37^{\circ}) = \frac{430}{s}$
Auflösen der Gleichung nach $s$ :
$s = \frac{430}{c o s (37^{\circ})} \Rightarrow s \approx 538 cm$
Die Länge $s$ der Solaranlage beträgt ungefähr: $538 cm$ .

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Zeichne ein rechtwinkliges Dreieck mit, $A n k a t h e t e = 430 cm$ und dem Winkel $α_{s} = 37^{\circ}$
Tilo behauptet: „Wenn der $37 °$ -Winkel halbiert wird, dann halbiert sich auch die maximale Länge der Solaranlage.“
Zeige zeichnerisch oder rechnerisch, dass Tilos Behauptung falsch ist.
[ 1 Pkt ]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck
Rechnerischer Nachweis, dass Tilos Behauptung falsch ist.
$s = \frac{430}{\cos ({18,5}^{\circ})} \Rightarrow s \approx 453 cm$
Tilos Behauptung ist falsch, da die Länge $s$ bei bei einer Halbierung des
$37^{\circ}$ -Winkels ungefähr $453 cm$ beträgt, das ist mehr als $\frac{538}{2} = 269 cm$ .
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Berechne $s$ , indem du fur den Winkel $α_{s} = {18,5}^{\circ}$ einsetzt.