Ergänzen des fehlenden Maßes in der Skizze.

Berechnen der Länge $\text{x}\backslash text\{x\}$ eines Dachbalkens.

X ist die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks die Katheten sind:

$\mathrm{G}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{e}=90\text{ cm}\backslash mathrm\{Gegenkathete=90\backslash cm\}$

$\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{e}=430\text{ cm}\backslash mathrm\{Ankathete\backslash \; \backslash \; \backslash \; \backslash \; \backslash \; \backslash \; =430\backslash cm\}$

Der Satz des Pythagoras lautet, angewandt auf unser rechtwinkliges Dreieck:

${\mathrm{x}}^2=(\mathrm{G}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{e}{)}^2+(\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{e}{)}^2\backslash mathrm\{x^2=(Gegenkathete)^2+(Ankathete)^2\}$

auflösen nach $\text{x}\backslash text\{x\}$ und einsetzen der bekannten Größen

$\mathrm{x}=\sqrt{{90}^2+{430}^2}\backslash mathrm\{x=\backslash sqrt\{90^2+430^2\}\}$

$\mathrm{x}\approx \mathrm{439,32}\text{ cm}\backslash mathrm\{x\backslash approx439\{,\}32\backslash cm\}$

Die Länge eines Dachbalkens beträgt ungefähr: $\boxed{{\displaystyle \mathrm{439,32}\text{ cm}}}\backslash \; \backslash boxed\{439\{,\}32\backslash cm\}$

Berechnen des Winkels $\alpha \backslash alpha$ .

Wir berechnen den Winkel $\alpha \backslash alpha$ mit dem Tangens im rechtwinkligen Dreieck.

Der Tangens im rechtwinkligen Dreieck ist definiert als:

$\tan (\alpha )={\displaystyle \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}}\backslash tan\; (\backslash alpha\; )=\backslash dfrac\{\backslash text\{Gegenkathete\}\}\{\backslash text\{Ankathete\}\}$

Die Maße entnehmen wir der Skizze der Lösung zu Teilaufgabe 2a)

$\tan (\alpha )={\displaystyle \frac{90}{430}}\Rightarrow \mathrm{t}\mathrm{a}{\mathrm{n}}^{-1}(\alpha )\approx {\mathrm{11,82}}^{\circ }\backslash mathrm\{\backslash tan(\backslash alpha\; )=\backslash dfrac\{90\}\{430\}\backslash \; \backslash Rightarrow\backslash \; tan^\{-1\}(\backslash alpha)\backslash approx11\{,\}82^\backslash circ\}$

Der Winkel $\alpha \alpha$ beträgt ungefähr: $\boxed{{\displaystyle {\mathrm{11,82}}^{\circ }}}\backslash \; \backslash boxed\{11\{,\}82^\backslash circ\}$

Anmerkung:

Da die Hypotenuse bekannt ist (siehe Teilaufgabe 2b), kannst Du den Winkel $\alpha \backslash alpha$ auch mit dem Sinus oder dem Kosinus berechnen.

Zeichnen des rechtwinkligen Dreiecks.

Bestimmen der maximalen Länge $ss$ der Solaranlage.

Berechnen der Länge $\mathbf{\text{s}}\backslash textbf\{s\}$ mithilfe des Kosinus.

Der Kosinus im rechtwinkligen Dreieck ist definiert als:

$\cos (\alpha )={\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{e}}{\mathrm{H}\mathrm{y}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{e}}}\backslash mathrm\{\backslash cos\{(\backslash alpha)\}=\backslash dfrac\{Ankathete\}\{Hypotenuse\}\}$

In unserem Dreieck gilt dann:

$\cos ({37}^{\circ })={\displaystyle \frac{430}{\mathrm{s}}}\backslash mathrm\{\backslash cos(37^\backslash circ)=\backslash dfrac\{430\}\{s\}\}$

Auflösen der Gleichung nach $\text{s}\backslash text\{s\}$ :

$\mathrm{s}={\displaystyle \frac{430}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}({37}^{\circ })}}\Rightarrow \mathrm{s}\approx 538\text{ cm}\backslash mathrm\{s=\backslash dfrac\{430\}\{cos(37^\backslash circ)\}\backslash \; \backslash Rightarrow\backslash \; s\backslash approx538\backslash cm\}$

Die Länge $\text{s}\backslash text\{s\}$ der Solaranlage beträgt ungefähr: $\boxed{{\displaystyle 538\text{ cm}}}\backslash \; \backslash boxed\{538\backslash cm\}$.

Rechnerischer Nachweis, dass Tilos Behauptung falsch ist.

$\mathrm{s}={\displaystyle \frac{430}{\cos ({\mathrm{18,5}}^{\circ })}}\Rightarrow \mathrm{s}\approx 453\text{ cm}\backslash mathrm\{s=\backslash dfrac\{430\}\{\backslash cos(18\{,\}5^\backslash circ)\}\backslash \; \backslash Rightarrow\backslash \; s\backslash approx453\backslash cm\}$

Tilos Behauptung ist falsch, da die Länge $\text{s}\backslash text\{s\}$ bei bei einer Halbierung des

${37}^{\circ }37^\backslash circ$ -Winkels ungefähr $453\text{ cm}453\backslash cm$ beträgt, das ist mehr als ${\displaystyle \frac{538}{2}}=269\text{ cm}\backslash \; \backslash dfrac\{538\}\{2\}=269\backslash cm$ .