Wahlteil

Berechnen des Volumens des Schokoladendeckels.

Berechnen des Radius des Schokoladendeckels.

Folgende Größen sind bekannt:

$\mathrm{D}\mathrm{u}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s}\mathrm{e}{\mathrm{r}}_{\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{e}}=30\text{ mm}\backslash \; \backslash mathrm\{Durchmesser\_\{Praline\}=30\backslash mm\}$

$\mathrm{B}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{R}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}=2\text{ mm}\backslash hspace\{10mm\}\backslash mathrm\{Breite\backslash \; Rand=2\backslash mm\}$

$\mathrm{H}\ddot{\mathrm{o}}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{S}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{k}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{l}=\mathrm{1,7}\text{ mm}\backslash mathrm\{Höhe\backslash \; Schokodeckel=1\{,\}7\backslash mm\}$

${\mathrm{r}}_{\mathrm{S}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{k}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{l}}={\displaystyle \frac{30}{2}}-2\backslash mathrm\{r\_\{Schokodeckel\}=\backslash dfrac\{30\}\{2\}-2\}$

${\mathrm{r}}_{\mathrm{S}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{k}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{l}}=13\backslash mathrm\{r\_\{Schokodeckel\}=13\}$

${\mathrm{V}}_{\mathrm{S}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{k}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{l}}={\mathrm{r}}^2\cdot \pi \cdot \mathrm{1,7}\backslash mathrm\{V\_\{Schokodeckel\}=r^2\backslash cdot\backslash pi\backslash cdot\; 1\{,\}7\}$

${\mathrm{V}}_{\mathrm{S}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{k}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{l}}=169\pi \cdot \mathrm{1,7}\Rightarrow {\mathrm{V}}_{\mathrm{S}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{k}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{l}}\approx \mathrm{902,58}{\text{ mm}}^3\backslash mathrm\{V\_\{Schokodeckel\}=169\backslash pi\backslash cdot1\{,\}7\backslash \; \backslash Rightarrow\backslash \; V\_\{Schokodeckel\}\backslash approx902\{,\}58\backslash mm^3\}$

Das Volumen des Schokodeckels beträgt ungefähr $\mathrm{902,58}{\text{ mm}}^3\backslash \; 902\{,\}58\backslash mm^3$ .

Berechnen des Durchmessers der Nuss.

Die Formel zur Berechnung des Volumens einer Kugel lautet:

${\mathrm{V}}_{\mathrm{K}\mathrm{u}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{l}}={\displaystyle \frac{1}{6}}\cdot \pi \cdot {\mathrm{d}}^3\backslash mathrm\{V\_\{Kugel\}=\backslash dfrac\{1\}\{6\}\backslash cdot\backslash pi\backslash cdot\; d^3\}$

auflösen der Formel nach $\text{d}\backslash text\{d\}$ und berechnen des Durchmessers.

$\mathrm{d}=\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{6\cdot \mathrm{V}}{\pi }}}\backslash mathrm\{d=\backslash sqrt[3]\{\backslash dfrac\{6\backslash cdot\; V\}\{\backslash pi\}\}\}$

$\mathrm{d}=\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{6\cdot 300}{\pi }}}\backslash mathrm\{d=\backslash sqrt[3]\{\backslash dfrac\{6\backslash cdot\; 300\}\{\backslash pi\}\}\}$

$\mathrm{d}\approx \mathrm{8,31}\text{ mm}\backslash mathrm\{d\backslash approx8\{,\}31\backslash mm\}$

Der Durchmesser der Nuss beträgt ungefähr: $\boxed{{\displaystyle \mathrm{8,31}\text{ mm}}}\backslash boxed\{8\{,\}31\backslash mm\}$

Berechnen des Volumen der Schokoladenfüllung.

Berechnen des Volumens der Halbkugel.

${\mathrm{V}}_{\mathrm{H}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{b}\mathrm{k}\mathrm{u}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{l}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot ({\displaystyle \frac{4}{3}}\cdot \pi \cdot {\mathrm{r}}^3)\backslash mathrm\{V\_\{Halbkugel\}=\backslash dfrac\{1\}\{2\}\backslash cdot\; \backslash left(\backslash dfrac\{4\}\{3\}\backslash cdot\backslash pi\backslash cdot\; r^3\backslash right)\}$

${\mathrm{V}}_{\mathrm{H}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{k}\mathrm{u}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{l}}={\displaystyle \frac{1}{2}}({\displaystyle \frac{4}{3}}\cdot \pi \cdot {13}^3)\backslash mathrm\{V\_\{Halkugel\}=\backslash dfrac\{1\}\{2\}\backslash left(\backslash dfrac\{4\}\{3\}\backslash cdot\backslash pi\backslash cdot\; 13^3\backslash right)\}$

${\mathrm{V}}_{\mathrm{H}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{k}\mathrm{u}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{l}}={\displaystyle \frac{1}{2}}({\displaystyle \frac{4}{3}}\cdot \pi \cdot 2197)\backslash mathrm\{V\_\{Halkugel\}=\backslash dfrac\{1\}\{2\}\backslash left(\backslash dfrac\{4\}\{3\}\backslash cdot\backslash pi\backslash cdot\; 2197\backslash right)\}$

${\mathrm{V}}_{\mathrm{H}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{k}\mathrm{u}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{l}}\approx \mathrm{4601,39}{\text{ mm}}^3\backslash mathrm\{V\_\{Halkugel\}\backslash approx4601\{,\}39\backslash mm^3\}$

Berechnen des Volumens der Schokoladenfüllung.

${\mathrm{V}}_{\mathrm{S}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{k}\mathrm{o}\mathrm{f}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{g}}={\mathrm{V}}_{\mathrm{H}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{b}\mathrm{k}\mathrm{u}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{l}}-{\mathrm{V}}_{\mathrm{N}\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{s}}\backslash mathrm\{V\_\{Schokofüllung\}=V\_\{Halbkugel\}-V\_\{Nuss\}\}$

${\mathrm{V}}_{\mathrm{S}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{k}\mathrm{o}\mathrm{f}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{g}}=\mathrm{4601,39}-300\backslash mathrm\{V\_\{Schokofüllung\}=4601\{,\}39-300\}$ (${\mathrm{V}}_{\mathrm{N}\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{s}}\backslash \; \backslash mathrm\{V\_\{Nuss\}\}$ siehe Teilaufgabe $1\mathrm{b})\backslash mathrm\{1b)\}$

${\mathrm{V}}_{\mathrm{S}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{k}\mathrm{o}\mathrm{f}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{g}}\approx \mathrm{4301,39}{\text{ mm}}^3\backslash mathrm\{V\_\{Schokofüllung\}\backslash approx4301\{,\}39\backslash mm^3\}$

Das Volumen der Schokoladenfüllung beträgt: $\boxed{{\displaystyle \mathrm{4301,39}{\text{ mm}}^3}}\backslash \; \backslash boxed\{4301\{,\}39\backslash mm^3\}$

Wenn der Radius einer Halbkugel verdoppelt wird, dann

verachtfacht sich das Volumen der Halbkugel.

Da das Volumen der Nuss gleich bleibt , ist das Volumen der Schokoladenfüllung ungefähr achtmal so groß.

Jörn hat also nicht recht.

Ergänzen des fehlenden Maßes in der Skizze.

Berechnen der Länge $\text{x}\backslash text\{x\}$ eines Dachbalkens.

X ist die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks die Katheten sind:

$\mathrm{G}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{e}=90\text{ cm}\backslash mathrm\{Gegenkathete=90\backslash cm\}$

$\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{e}=430\text{ cm}\backslash mathrm\{Ankathete\backslash \; \backslash \; \backslash \; \backslash \; \backslash \; \backslash \; =430\backslash cm\}$

Der Satz des Pythagoras lautet, angewandt auf unser rechtwinkliges Dreieck:

${\mathrm{x}}^2=(\mathrm{G}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{e}{)}^2+(\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{e}{)}^2\backslash mathrm\{x^2=(Gegenkathete)^2+(Ankathete)^2\}$

auflösen nach $\text{x}\backslash text\{x\}$ und einsetzen der bekannten Größen

$\mathrm{x}=\sqrt{{90}^2+{430}^2}\backslash mathrm\{x=\backslash sqrt\{90^2+430^2\}\}$

$\mathrm{x}\approx \mathrm{439,32}\text{ cm}\backslash mathrm\{x\backslash approx439\{,\}32\backslash cm\}$

Die Länge eines Dachbalkens beträgt ungefähr: $\boxed{{\displaystyle \mathrm{439,32}\text{ cm}}}\backslash \; \backslash boxed\{439\{,\}32\backslash cm\}$

Berechnen des Winkels $\alpha \backslash alpha$ .

Wir berechnen den Winkel $\alpha \backslash alpha$ mit dem Tangens im rechtwinkligen Dreieck.

Der Tangens im rechtwinkligen Dreieck ist definiert als:

$\tan (\alpha )={\displaystyle \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}}\backslash tan\; (\backslash alpha\; )=\backslash dfrac\{\backslash text\{Gegenkathete\}\}\{\backslash text\{Ankathete\}\}$

Die Maße entnehmen wir der Skizze der Lösung zu Teilaufgabe 2a)

$\tan (\alpha )={\displaystyle \frac{90}{430}}\Rightarrow \mathrm{t}\mathrm{a}{\mathrm{n}}^{-1}(\alpha )\approx {\mathrm{11,82}}^{\circ }\backslash mathrm\{\backslash tan(\backslash alpha\; )=\backslash dfrac\{90\}\{430\}\backslash \; \backslash Rightarrow\backslash \; tan^\{-1\}(\backslash alpha)\backslash approx11\{,\}82^\backslash circ\}$

Der Winkel $\alpha \alpha$ beträgt ungefähr: $\boxed{{\displaystyle {\mathrm{11,82}}^{\circ }}}\backslash \; \backslash boxed\{11\{,\}82^\backslash circ\}$

Anmerkung:

Da die Hypotenuse bekannt ist (siehe Teilaufgabe 2b), kannst Du den Winkel $\alpha \backslash alpha$ auch mit dem Sinus oder dem Kosinus berechnen.

Zeichnen des rechtwinkligen Dreiecks.

Bestimmen der maximalen Länge $ss$ der Solaranlage.

Berechnen der Länge $\mathbf{\text{s}}\backslash textbf\{s\}$ mithilfe des Kosinus.

Der Kosinus im rechtwinkligen Dreieck ist definiert als:

$\cos (\alpha )={\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{e}}{\mathrm{H}\mathrm{y}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{e}}}\backslash mathrm\{\backslash cos\{(\backslash alpha)\}=\backslash dfrac\{Ankathete\}\{Hypotenuse\}\}$

In unserem Dreieck gilt dann:

$\cos ({37}^{\circ })={\displaystyle \frac{430}{\mathrm{s}}}\backslash mathrm\{\backslash cos(37^\backslash circ)=\backslash dfrac\{430\}\{s\}\}$

Auflösen der Gleichung nach $\text{s}\backslash text\{s\}$ :

$\mathrm{s}={\displaystyle \frac{430}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}({37}^{\circ })}}\Rightarrow \mathrm{s}\approx 538\text{ cm}\backslash mathrm\{s=\backslash dfrac\{430\}\{cos(37^\backslash circ)\}\backslash \; \backslash Rightarrow\backslash \; s\backslash approx538\backslash cm\}$

Die Länge $\text{s}\backslash text\{s\}$ der Solaranlage beträgt ungefähr: $\boxed{{\displaystyle 538\text{ cm}}}\backslash \; \backslash boxed\{538\backslash cm\}$.

Rechnerischer Nachweis, dass Tilos Behauptung falsch ist.

$\mathrm{s}={\displaystyle \frac{430}{\cos ({\mathrm{18,5}}^{\circ })}}\Rightarrow \mathrm{s}\approx 453\text{ cm}\backslash mathrm\{s=\backslash dfrac\{430\}\{\backslash cos(18\{,\}5^\backslash circ)\}\backslash \; \backslash Rightarrow\backslash \; s\backslash approx453\backslash cm\}$

Tilos Behauptung ist falsch, da die Länge $\text{s}\backslash text\{s\}$ bei bei einer Halbierung des

${37}^{\circ }37^\backslash circ$ -Winkels ungefähr $453\text{ cm}453\backslash cm$ beträgt, das ist mehr als ${\displaystyle \frac{538}{2}}=269\text{ cm}\backslash \; \backslash dfrac\{538\}\{2\}=269\backslash cm$ .

Ergänzen der Wertetabelle.

Eintragen der Werte in ein Koordinatensystem.

Ankreuzen der Art des Wachstumsprozesses.

Es handelt sich hier um ein exponentielles Wachstum, da der Kontostand sich jeden Monat um den gleichen Faktor ändert. Der Kontostand verdoppelt sich jeden Monat, also ist der Änderungsfaktor $22$ .

Zeigen, dass Paul recht hat.

Paul bekommt am Anfang $100\text{ €}100\backslash \; €$ dann bekommt er jeden Monat $50\text{ €}50\backslash \; €$ .

Also hat er nach 4 Monaten:

$50\cdot 4+100=300\text{ €}50\backslash cdot4+100=300\backslash \; €$

Paul hat recht, er hat nach 4 Monaten $300\text{ €}300\backslash \; €$ von seinen Großeltern bekommen.

Aufstellen der Funktionsgleichung.

Die allgemeine Form einer Funktionsgleichung lautet:

$\mathrm{y}=\mathrm{m}\mathrm{x}+\mathrm{b}\backslash mathrm\{y=mx+b\}$

setze für $\text{m}=50\backslash text\{m\}=50$ und für $\text{b}=100\backslash text\{b\}=100$ in die allgemeine Form ein.

$\boxed{{\displaystyle \mathrm{y}=50\mathrm{x}+100}}\backslash boxed\{\backslash mathrm\{y=50x+100\}\}$

Begründen, dass Pauls Behauptung richtig ist.

In 11 Monaten hat Paul $1024\text{ €}1024\backslash \; €$ von seinem Vater bekommen, (siehe Tabelle).

Berechnen des Wertes, den Paul in 11 Monaten von seinen Großeltern bekommen hat.

$\mathrm{y}=50\cdot 11+100\Rightarrow \mathrm{y}=650\text{ €}\backslash mathrm\{y=50\backslash cdot11+100\backslash \; \backslash Rightarrow\backslash \; y=650\backslash \; €\}$

In 11 Monaten hat Paul $650\text{ €}650\backslash \; €$ von seinen Großeltern bekommen.

Paul hat also recht, da der Betrag, den er von seinem Vater bekommen hat größer ist als der Betrag, den er von seinen Großeltern bekommen hat.

Insgesamt sind $1010$ Kugeln in der Schale. Die Wahrscheinlichkeit für jede Kugel beträgt somit ${\displaystyle \frac{1}{10}}\backslash dfrac\{1\}\{10\}$.

Die Wahrscheinlichkeit eine $22$ zu ziehen beträgt ${\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{5}{10}}\backslash dfrac\{1\}\{2\}=\backslash dfrac\{5\}\{10\}$.

Es sind $55$ Kugeln mit der Ziffer 2 in der Schale.

Die Wahrscheinlichkeit eine $33$ zu ziehen beträgt ${\displaystyle \frac{2}{5}}={\displaystyle \frac{4}{10}}\backslash dfrac\{2\}\{5\}=\backslash dfrac\{4\}\{10\}$.

Es sind $44$ Kugeln mit der Ziffer 3 in der Schale.

Die Wahrscheinlichkeit eine $55$ zu ziehen beträgt ${\displaystyle \frac{1}{10}}\backslash dfrac\{1\}\{10\}$.

Es ist $11$ Kugel mit der Ziffer 5 in der Schale.

Alle im Baumdiagramm angegebenen Wahrscheinlichkeiten für das Ziehen der zweiten Kugel haben im Nenner eine $99$. Das bedeutet, dass beim zweiten Zug nur noch $99$ Kugeln in der Schale sind.

Osman hat die erste gezogene Kugel nicht zurückgelegt.

Gegeben: Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis $P={\displaystyle \frac{1}{10}}\cdot {\displaystyle \frac{4}{9}}P=\backslash dfrac\{1\}\{10\}\backslash cdot\backslash dfrac\{4\}\{9\}$$P={\displaystyle \frac{1}{10}}\cdot {\displaystyle \frac{4}{9}}P=\backslash dfrac\{1\}\{10\}\backslash cdot\backslash dfrac\{4\}\{9\}$

Erster Zug

Die Wahrscheinlichkeit beim ersten Zug beträgt ${\displaystyle \frac{1}{10}}\backslash dfrac\{1\}\{10\}$.

Insgesamt befinden sich $1010$ Kugeln in der Schale, davon hat eine Kugel die Ziffer 5.

Die Wahrscheinlichkeit, die Kugel mit der Ziffer 5 zu ziehen, beträgt ${\displaystyle \frac{1}{10}}\backslash dfrac\{1\}\{10\}$.

Zweiter Zug

Die erste gezogene Kugel wird nicht zurückgelegt. Es befinden sich dann noch $99$ Kugeln in der Schale. $55$ Kugeln mit der Ziffer 2 und $44$ Kugeln mit der Ziffer 3.

Die Wahrscheinlichkeit, eine Kugel mit der Ziffer 3 zu ziehen, beträgt ${\displaystyle \frac{4}{9}}\backslash dfrac\{4\}\{9\}$.

Ergebnis

Die Wahrscheinlichkeit $P={\displaystyle \frac{1}{10}}\cdot {\displaystyle \frac{4}{9}}P=\backslash dfrac\{1\}\{10\}\backslash cdot\backslash dfrac\{4\}\{9\}$ beschreibt das Ereignis:

Osman zieht im ersten Zug die Kugel mit der Ziffer 5 und im zweiten Zug eine Kugel mit der Ziffer 3.

Es gibt zwei Möglichkeiten, dass die Summe der Ziffern auf zwei nacheinander gezogenen Kugeln $55$ ergibt.

Möglichkeit 1

Erster Zug eine $22$ und zweiter Zug eine $33$

$P(2;3)={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{4}{9}}={\displaystyle \frac{2}{9}}P(2;3)=\backslash dfrac\{1\}\{2\}\backslash cdot\backslash dfrac\{4\}\{9\}=\backslash dfrac\{2\}\{9\}$

Möglichkeit 2

Erster Zug eine 3 und zweiter Zug eine 2

$P(3;2)={\displaystyle \frac{2}{5}}\cdot {\displaystyle \frac{4}{9}}={\displaystyle \frac{8}{45}}P(3;2)=\backslash dfrac\{2\}\{5\}\backslash cdot\backslash dfrac\{4\}\{9\}=\backslash dfrac\{8\}\{45\}$

$P(\text{Summe 5})=P(2;3)+P(3;2)={\displaystyle \frac{2}{9}}+{\displaystyle \frac{8}{45}}={\displaystyle \frac{2}{5}}P(\backslash text\{Summe\; 5\})=P(2;3)+P(3;2)=\backslash dfrac\{2\}\{9\}+\backslash dfrac\{8\}\{45\}=\backslash dfrac\{2\}\{5\}$

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Ziffern auf zwei Kugeln $55$ ergibt, beträgt ${\displaystyle \frac{2}{5}}\backslash dfrac\{2\}\{5\}$.

Da die Kugel nach dem ersten Ziehen wieder zurückgelegt wird, sind beim zweiten Ziehen die gleichen Kugeln in der Schale und die Wahrscheinlichkeiten sind gleich.