Berechnen des Volumens des Schokoladendeckels.

Berechnen des Radius des Schokoladendeckels.

Folgende Größen sind bekannt:

$\mathrm{D}\mathrm{u}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s}\mathrm{e}{\mathrm{r}}_{\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{e}}=30\text{ mm}\backslash \; \backslash mathrm\{Durchmesser\_\{Praline\}=30\backslash mm\}$

$\mathrm{B}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{R}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}=2\text{ mm}\backslash hspace\{10mm\}\backslash mathrm\{Breite\backslash \; Rand=2\backslash mm\}$

$\mathrm{H}\ddot{\mathrm{o}}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{S}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{k}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{l}=\mathrm{1,7}\text{ mm}\backslash mathrm\{Höhe\backslash \; Schokodeckel=1\{,\}7\backslash mm\}$

${\mathrm{r}}_{\mathrm{S}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{k}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{l}}={\displaystyle \frac{30}{2}}-2\backslash mathrm\{r\_\{Schokodeckel\}=\backslash dfrac\{30\}\{2\}-2\}$

${\mathrm{r}}_{\mathrm{S}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{k}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{l}}=13\backslash mathrm\{r\_\{Schokodeckel\}=13\}$

${\mathrm{V}}_{\mathrm{S}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{k}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{l}}={\mathrm{r}}^2\cdot \pi \cdot \mathrm{1,7}\backslash mathrm\{V\_\{Schokodeckel\}=r^2\backslash cdot\backslash pi\backslash cdot\; 1\{,\}7\}$

${\mathrm{V}}_{\mathrm{S}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{k}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{l}}=169\pi \cdot \mathrm{1,7}\Rightarrow {\mathrm{V}}_{\mathrm{S}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{k}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{l}}\approx \mathrm{902,58}{\text{ mm}}^3\backslash mathrm\{V\_\{Schokodeckel\}=169\backslash pi\backslash cdot1\{,\}7\backslash \; \backslash Rightarrow\backslash \; V\_\{Schokodeckel\}\backslash approx902\{,\}58\backslash mm^3\}$

Das Volumen des Schokodeckels beträgt ungefähr $\mathrm{902,58}{\text{ mm}}^3\backslash \; 902\{,\}58\backslash mm^3$ .

Berechnen des Durchmessers der Nuss.

Die Formel zur Berechnung des Volumens einer Kugel lautet:

${\mathrm{V}}_{\mathrm{K}\mathrm{u}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{l}}={\displaystyle \frac{1}{6}}\cdot \pi \cdot {\mathrm{d}}^3\backslash mathrm\{V\_\{Kugel\}=\backslash dfrac\{1\}\{6\}\backslash cdot\backslash pi\backslash cdot\; d^3\}$

auflösen der Formel nach $\text{d}\backslash text\{d\}$ und berechnen des Durchmessers.

$\mathrm{d}=\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{6\cdot \mathrm{V}}{\pi }}}\backslash mathrm\{d=\backslash sqrt[3]\{\backslash dfrac\{6\backslash cdot\; V\}\{\backslash pi\}\}\}$

$\mathrm{d}=\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{6\cdot 300}{\pi }}}\backslash mathrm\{d=\backslash sqrt[3]\{\backslash dfrac\{6\backslash cdot\; 300\}\{\backslash pi\}\}\}$

$\mathrm{d}\approx \mathrm{8,31}\text{ mm}\backslash mathrm\{d\backslash approx8\{,\}31\backslash mm\}$

Der Durchmesser der Nuss beträgt ungefähr: $\boxed{{\displaystyle \mathrm{8,31}\text{ mm}}}\backslash boxed\{8\{,\}31\backslash mm\}$

Berechnen des Volumen der Schokoladenfüllung.

Berechnen des Volumens der Halbkugel.

${\mathrm{V}}_{\mathrm{H}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{b}\mathrm{k}\mathrm{u}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{l}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot ({\displaystyle \frac{4}{3}}\cdot \pi \cdot {\mathrm{r}}^3)\backslash mathrm\{V\_\{Halbkugel\}=\backslash dfrac\{1\}\{2\}\backslash cdot\; \backslash left(\backslash dfrac\{4\}\{3\}\backslash cdot\backslash pi\backslash cdot\; r^3\backslash right)\}$

${\mathrm{V}}_{\mathrm{H}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{k}\mathrm{u}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{l}}={\displaystyle \frac{1}{2}}({\displaystyle \frac{4}{3}}\cdot \pi \cdot {13}^3)\backslash mathrm\{V\_\{Halkugel\}=\backslash dfrac\{1\}\{2\}\backslash left(\backslash dfrac\{4\}\{3\}\backslash cdot\backslash pi\backslash cdot\; 13^3\backslash right)\}$

${\mathrm{V}}_{\mathrm{H}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{k}\mathrm{u}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{l}}={\displaystyle \frac{1}{2}}({\displaystyle \frac{4}{3}}\cdot \pi \cdot 2197)\backslash mathrm\{V\_\{Halkugel\}=\backslash dfrac\{1\}\{2\}\backslash left(\backslash dfrac\{4\}\{3\}\backslash cdot\backslash pi\backslash cdot\; 2197\backslash right)\}$

${\mathrm{V}}_{\mathrm{H}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{k}\mathrm{u}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{l}}\approx \mathrm{4601,39}{\text{ mm}}^3\backslash mathrm\{V\_\{Halkugel\}\backslash approx4601\{,\}39\backslash mm^3\}$

Berechnen des Volumens der Schokoladenfüllung.

${\mathrm{V}}_{\mathrm{S}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{k}\mathrm{o}\mathrm{f}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{g}}={\mathrm{V}}_{\mathrm{H}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{b}\mathrm{k}\mathrm{u}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{l}}-{\mathrm{V}}_{\mathrm{N}\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{s}}\backslash mathrm\{V\_\{Schokofüllung\}=V\_\{Halbkugel\}-V\_\{Nuss\}\}$

${\mathrm{V}}_{\mathrm{S}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{k}\mathrm{o}\mathrm{f}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{g}}=\mathrm{4601,39}-300\backslash mathrm\{V\_\{Schokofüllung\}=4601\{,\}39-300\}$ (${\mathrm{V}}_{\mathrm{N}\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{s}}\backslash \; \backslash mathrm\{V\_\{Nuss\}\}$ siehe Teilaufgabe $1\mathrm{b})\backslash mathrm\{1b)\}$

${\mathrm{V}}_{\mathrm{S}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{k}\mathrm{o}\mathrm{f}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{g}}\approx \mathrm{4301,39}{\text{ mm}}^3\backslash mathrm\{V\_\{Schokofüllung\}\backslash approx4301\{,\}39\backslash mm^3\}$

Das Volumen der Schokoladenfüllung beträgt: $\boxed{{\displaystyle \mathrm{4301,39}{\text{ mm}}^3}}\backslash \; \backslash boxed\{4301\{,\}39\backslash mm^3\}$

Wenn der Radius einer Halbkugel verdoppelt wird, dann

verachtfacht sich das Volumen der Halbkugel.

Da das Volumen der Nuss gleich bleibt , ist das Volumen der Schokoladenfüllung ungefähr achtmal so groß.

Jörn hat also nicht recht.