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Aufgabe 4

Die Aufgabe 4 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.

Zur Modellierung der oberen Randlinie von Element E2 verwendet das Architekturbüro für $-4 \leq x \leq 4{,}8$ die Funktion $f$ mit $f(x)=-\frac{1}{256} x^{4}+\frac{1}{8} x^{2}+1{,}2, \quad x \in \mathbb{R}$ .

Dabei entspricht eine Längeneinheit im Koordinatensystem $1\;\mathrm{~m}$ in der Realität.

Siehe Abbildung 2:

Die vier Betonelemente der Skatebahn werden aus einem belastbaren Spezialbeton gegossen. Die Materialkosten hierfür betragen $176\;€$ pro $\mathrm{m}^3$ . Die Skatebahn hat überall eine Breite von $5\mathrm{~m}$ .

Verwenden Sie im Folgenden für die Modellierung von E3 die Gleichung $g(x)=\frac{11}{150}(x-8{,}4)^{2}+\frac{132}{125}$ .

Für E3 werden in einem ersten Entwurf zunächst Materialkosten von $10800 €$ veranschlagt.

(i) Stellen Sie eine Gleichung auf, mit der die Länge $d$ des Elements E3 so berechnet werden kann, dass die Materialkosten $10800 €$ betragen. (2 P)
Als Lösung der Gleichung ergibt sich eine Länge von $d \approx 8{,}24\mathrm{~m}$ .
(ii) Bestimmen Sie die daraus resultierenden Materialkosten für E4 bei einer feststehenden Länge von $1{,}5\mathrm{~m}$ für E4. (2 P)
$[$ Kontrolllösung: Die Materialkosten für E4 betragen ungefähr $3500 €$ . $]$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
(i) Stellen Sie eine Gleichung auf, mit der die Länge $d$ des Elements E3 so berechnet werden kann, dass die Materialkosten $10800 €$ betragen
Das Volumen des Elements E3 in $\mathrm{m}^3$ muss mit den Materialkosten von $176\;€$ pro $\mathrm{m}^3$ multipliziert $10800\;€$ ergeben. Die Grundfläche von E3 ist $G=\displaystyle\int_{4{,}8}^{4{,}8+d} g(x)\; \mathrm{d} x$ und die Höhe beträgt $5\mathrm{~m}$ .
Es muss also gelten: $176 \cdot 5 \cdot \displaystyle\int_{4{,}8}^{4{,}8+d} g(x)\; \mathrm{d} x=10800$
(ii) Bestimmen Sie die daraus resultierenden Materialkosten für E4 bei einer feststehenden Länge von $1{,}5\mathrm{~m}$ für E4
$g(4{,}8+8{,}24) \approx 2{,}63$ , der Quader E4 ist somit ungefähr 2,63 m hoch.
Damit hat der Quader ein Volumen von $V=1{,}5\cdot 2{,}63 \cdot 5=19{,}725\;\mathrm{m}^3$ .
Die Kosten betragen dann $176 \frac{€}{\mathrm{~m}^{3}} \cdot 19{,}725\;\mathrm{m}^3=3471{,}60\;€$ .
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(i)
Die Grundfläche von E3 ist $G=\displaystyle\int_{4{,}8}^{4{,}8+d} g(x)\; \mathrm{d} x$ und die Höhe beträgt $5\mathrm{~m}$ .
Berechne das Volumen und multipliziere mit $176\;€$ pro $\mathrm{m}^3$ .
(ii)
Berechne die Quaderhöhe mit $g (4,8 + 8,24)$ .
Berechne das Volumen des Quaders und multipliziere mit $176\;€$ pro $\mathrm{m}^3$ .
Dem Architekturbüro wird mitgeteilt, dass für die beiden Elemente E3 und E4 nur Materialkosten von zusammen $12000 €$ entstehen dürfen.
(i) Berechnen Sie, um wie viel Prozent die Materialkosten beim ersten Entwurf über dieser Vorgabe liegen. (2 P)
(ii) In einem neuen Entwurf wird daher die Länge von Element E3 verändert.
Die Länge von Element E4 soll weiterhin $1{,}5\mathrm{~m}$ betragen.
Stellen Sie eine Gleichung auf, mit der die neue Länge $d_{\text {neu }}$ von Element E3 so berechnet werden kann, dass die Materialkosten von E3 und E4 zusammen genau $12000 €$ betragen. (2 P)
[Hinweis: Die Gleichung muss nicht gelöst werden.]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung mittels Formeln
(i) Berechne, um wie viel Prozent die Materialkosten beim ersten Entwurf über dieser Vorgabe liegen
Vorgabe: Die beiden Elemente E3 und E4 dürfen nur Materialkosten von zusammen $12000 €$ verursachen.
Insgesamt ergeben sich für die Materialkosten von E3 und E4 $10800\;€+3471{,}60\;€=14271{,}60\;€$ .
Dieser Wert liegt um $\frac{14271{,}60-12000}{12000}=0{,}1893=18{,}93\;\%$ über der Vorgabe.
(ii) Stelle eine Gleichung auf, mit der die neue Länge $d_{\text {neu }}$ von Element E3 so berechnet werden kann, dass die Materialkosten von E3 und E4 zusammen genau $12000 €$ betragen
Das neue Volumen von E3 beträgt $V_{E3}=5 \cdot\displaystyle\int_{4{,}8}^{4{,}8+d_{\text {neu }}} g(x) \;\mathrm{d} x$
Das neue Volumen von E4 beträgt $V_{E4}=1{,}5\cdot 5 \cdot g\left(4{,}8+d_{\text {neu }}\right)$
Dann soll für die Kosten gelten:
$176\cdot(V_{E3}+V_{E4})=176\cdot\left(5 \cdot\displaystyle\int_{4{,}8}^{4{,}8+d_{\text {neu }}} g(x) \;\mathrm{d} x+1{,}5\cdot 5 \cdot g\left(4{,}8+d_{\text {neu }}\right)\right)=12000.$
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(i)
Übernimm aus Aufgabe a) die Materialkosten von E3 und E4 und bilde die Summe.
Berechne die prozentuale Veränderung dieser Summe bezüglich der Vorgabe von $12000 €$ .
(ii)
Das neue Volumen von E3 beträgt $V_{E3}=5 \cdot\displaystyle\int_{4{,}8}^{4{,}8+d_{\text {neu }}} g(x) \;\mathrm{d} x$
Das neue Volumen von E4 beträgt $V_{E4}=1{,}5\cdot 5 \cdot g\left(4{,}8+d_{\text {neu }}\right)$
Stelle mit der Summe der beiden Volumina eine Gleichung für die Kosten auf, die insgesamt $12000\;€$ betragen sollen.

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das?

Aufgabe 4

(i) Stellen Sie eine Gleichung auf, mit der die Länge ddd des Elements E3 so berechnet werden kann, dass die Materialkosten 10800 €10800 ~€10800 € betragen

(ii) Bestimmen Sie die daraus resultierenden Materialkosten für E4 bei einer feststehenden Länge von 1,5 m1{,}5\mathrm{~m}1,5 m für E4

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(i) Berechne, um wie viel Prozent die Materialkosten beim ersten Entwurf über dieser Vorgabe liegen

(ii) Stelle eine Gleichung auf, mit der die neue Länge dneu d_{\text {neu }}dneu ​ von Element E3 so berechnet werden kann, dass die Materialkosten von E3 und E4 zusammen genau 12000 €12000~€12000 € betragen

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(i) Stellen Sie eine Gleichung auf, mit der die Länge $d$ des Elements E3 so berechnet werden kann, dass die Materialkosten $10800 €$ betragen

(ii) Bestimmen Sie die daraus resultierenden Materialkosten für E4 bei einer feststehenden Länge von $1{,}5\mathrm{~m}$ für E4

(ii) Stelle eine Gleichung auf, mit der die neue Länge $d_{\text {neu }}$ von Element E3 so berechnet werden kann, dass die Materialkosten von E3 und E4 zusammen genau $12000 €$ betragen