A1 - lernen mit Serlo!

Aufgabe 5

Gegeben ist die Gerade $\def\arraystretch{1.25} g: \vec{x}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)+\lambda \cdot\left(\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ -1\end{array}\right)$ mit $\lambda \in \mathbb{R}$ .

Zeigen Sie, dass $g$ in der Ebene mit der Gleichung $x + y + z = 2$ liegt. (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen
Zeige, dass $g$ in der Ebene mit der Gleichung $x + y + z = 2$ liegt
Einsetzen der durch die Geradengleichung gegebenen Koordinaten in die Ebenengleichung:
$\lambda+1+1-\lambda=2\;\checkmark$ liefert eine wahre Aussage.
Die Gerade $g$ liegt in der Ebene mit der Gleichung $x + y + z = 2$ .
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
Setze die durch die Geradengleichung gegebenen Koordinaten in die Ebenengleichung ein und prüfe, ob sich eine wahre Aussage ergibt.
Gegeben ist außerdem die Schar der Geraden $\def\arraystretch{1.25} h_{a}: \vec{x}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)+\mu \cdot\left(\begin{array}{l}1 \\ a \\ 0\end{array}\right)$ mit $\mu \in \mathbb{R}$ und $a \in \mathbb{R}$ .
Weisen Sie nach, dass $g$ und $h_{a}$ für jeden Wert von $a$ windschief sind. (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung zwischen zwei Geraden
Weise nach, dass $g$ und $h_{a}$ für jeden Wert von $a$ windschief sind
Setze $g = h_{a}$ :
$\def\arraystretch{1.25} \left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)+\lambda \cdot\left(\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)+\mu \cdot\left(\begin{array}{l}1 \\ a \\ 0\end{array}\right)$
Aus Gleichung $\mathrm{I}$ folgt: $\lambda=\mu$ .
Aus Gleichung $\mathrm{II}$ folgt: $1=a\cdot \mu$ .
Aus Gleichung $\mathrm{III}$ folgt: $1-\lambda=1\;\Rightarrow\;\lambda=0$
Wegen Gleichung $\mathrm{I}$ folgt dann auch, dass $\mu=0$ ist.
Für Gleichung $\mathrm{II}$ ergibt sich dann ein Widerspruch, da $1\neq a\cdot 0$ ist.
Da das Gleichungssystem einen Widerspruch liefert und damit nicht erfüllbar ist, besitzen $g$ und $h_{a}$ keinen Schnittpunkt.
Prüfe die Geraden $g$ und $h_{a}$ auf Parallelität: Es gibt keinen Wert von $a$ , für den die Richtungsvektoren $\def\arraystretch{1.25} \left(\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ -1\end{array}\right)$ und $\def\arraystretch{1.25} \left(\begin{array}{l}1 \\ a \\ 0\end{array}\right)$ kollinear sind. $g$ und $h_{a}$ sind daher nicht parallel.
Daher gilt: Die Geraden $g$ und $h_{a}$ sind für jeden Wert von $a$ windschief.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
Setze $g = h_{a}$ und löse das Gleichungssystem.
Falls das Gleichungssystem keine Lösung hat, besitzen $g$ und $h_{a}$ keinen Schnittpunkt.
Prüfe die Geraden $g$ und $h_{a}$ auf Parallelität.
Sind sie nicht parallel, dann sind die Geraden für jeden Wert von $a$ windschief.

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das?

Aufgabe 5

Zeige, dass ggg in der Ebene mit der Gleichung x+y+z=2x+y+z=2x+y+z=2 liegt

Hast du eine Frage oder Feedback?

Weise nach, dass ggg und hah_{a}ha​ für jeden Wert von aaa windschief sind

Hast du eine Frage oder Feedback?

Zeige, dass $g$ in der Ebene mit der Gleichung $x + y + z = 2$ liegt

Weise nach, dass $g$ und $h_{a}$ für jeden Wert von $a$ windschief sind