A1 - lernen mit Serlo!

Aufgabe 6

Gegeben ist das Gleichungssystem

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccccccl}\;\mathrm{I}\;\;\;2x & & & + & z & = & 0 & \\\mathrm{II}\;\;\;\;\;\; & & -2y & + &4z &=& 0 \\\mathrm{III}\;\;\;\;\;\; & & \;2y & - &5z &=& 1\end{array}$ $\;\text{mit}\;x, y, z \in \mathbb{R}$ .

Berechnen Sie die Lösung des Gleichungssystems. (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineares Gleichungssystem
Berechne die Lösung des Gleichungssystems
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccccccl}\;\mathrm{I}\;\;\;2x & & & + & z & = & 0 & \\\mathrm{II}\;\;\;\;\;\; & & -2y & + &4z &=& 0\\\mathrm{III}\;\;\;\;\;\; & & \;2y & - &5z &=& 1\end{array}$
Addiere Gleichung $\mathrm{II}$ und $\mathrm{III}\;\Rightarrow\;-z=1\;\Rightarrow\;z=-1$
Aus Gleichung $\mathrm{I}$ folgt dann mit $z = - 1$ : $2x+(-1)=0\;\Rightarrow\;x=\dfrac{1}{2}$
Aus Gleichung $\mathrm{II}$ folgt mit $z = - 1$ : $-2y+4\cdot(-1)=0\;\Rightarrow\;y=-2$
Die Lösung des Gleichungssystems lautet $x=\dfrac{1}{2}, y=-2$ und $z = - 1$ .
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Löse das Gleichungssystem mit einem Verfahren Deiner Wahl.
Es gibt einen Wert von $r$ mit $r \in \mathbb{R}$ , für den das Gleichungssystem
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccccccl}\;\mathrm{I}\;\;\;2x & & & + & z & = & 0 & \\\mathrm{II}\;\;\;\;\;\; & & -2y & + &4z &=& 0\\\mathrm{III}\;\;\;\;\;\; & & \;2y & - &rz &=& 1\end{array}$ $\;\text{mit}\;x, y, z \in \mathbb{R}$
keine Lösung besitzt.
Ermitteln Sie diesen Wert. (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineares Gleichungssystem
Ermittele diesen Wert
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccccccl}\;\mathrm{I}\;\;\;2x & & & + & z & = & 0 & \\\mathrm{II}\;\;\;\;\;\; & & -2y & + &4z &=& 0\\\mathrm{III}\;\;\;\;\;\; & & \;2y & - &rz &=& 1\end{array}$
Addiere Gleichung $\mathrm{II}$ und $\mathrm{III}\;\Rightarrow\;4z-rz=1\;\Rightarrow\;(4-r)\cdot z=1$
Die Gleichung $(4-r)\cdot z=1$ hat für $r = 4$ keine Lösung, d.h. das Gleichungssystem hat für $r = 4$ keine Lösung.
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Die Addition von Gleichung $\mathrm{II}$ und $\mathrm{III}$ liefert eine Gleichung, die für einen bestimmten Wert von $r$ keine Lösung hat.

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das?

Aufgabe 6

Berechne die Lösung des Gleichungssystems

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Ermittele diesen Wert

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