Zeige rechnerisch: $f_k^{\mathrm{\prime }}(x)=(-k\cdot x+\frac{1}{k})\cdot {\mathrm{e}}^{-k^2\cdot x}f\_\{k\}^\{\backslash prime\}(x)=\backslash left(-k\; \backslash cdot\; x+\backslash frac\{1\}\{k\}\backslash right)\; \backslash cdot\; \backslash mathrm\{e\}^\{-k^\{2\}\; \backslash cdot\; x\}$

Gegeben ist $f_k(x)=\frac{1}{k}\cdot x\cdot {\mathrm{e}}^{-k^2\cdot x}f\_\{k\}(x)=\backslash frac\{1\}\{k\}\; \backslash cdot\; x\; \backslash cdot\; \backslash mathrm\{e\}^\{-k^\{2\}\; \backslash cdot\; x\}$.

Mit der Produkt- und Kettenregel folgt:

$f_k^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{1}{k}(1\cdot {\mathrm{e}}^{-k^2\cdot x}+x(-k^2)\cdot {\mathrm{e}}^{-k^2\cdot x})f\_\{k\}\text{'}(x)=\backslash frac\{1\}\{k\}\backslash left(\; 1\; \backslash cdot\backslash mathrm\{e\}^\{-k^\{2\}\; \backslash cdot\; x\}+x(-k^2)\backslash cdot\backslash mathrm\{e\}^\{-k^\{2\}\backslash cdot\; x\}\backslash right)$

$f_k^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{1}{k}\cdot {\mathrm{e}}^{-k^2\cdot x}(1-k^{2}x)=(-kx+\frac{1}{k})\cdot {\mathrm{e}}^{-k^2\cdot x}f\_\{k\}\text{'}(x)=\backslash frac\{1\}\{k\}\backslash cdot\backslash mathrm\{e\}^\{-k^\{2\}\backslash cdot\; x\}(1-k^2x)=(-kx+\backslash frac\{1\}\{k\})\backslash cdot\backslash mathrm\{e\}^\{-k^\{2\}\backslash cdot\; x\}$

Also ist $f_k^{\mathrm{\prime }}(x)=(-kx+\frac{1}{k})\cdot {\mathrm{e}}^{-k^2\cdot x}f\_\{k\}\text{'}(x)=(-kx+\backslash frac\{1\}\{k\})\backslash cdot\backslash mathrm\{e\}^\{-k^\{2\}\backslash cdot\; x\}$.

Zeige, dass $\frac{1}{k^2}\backslash frac\{1\}\{k^\{2\}\}$ eine Extremstelle aller Funktionen der Schar ist

Gegeben ist $f_k^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}\left(\frac{1}{k^2}\right)=-k\cdot {\mathrm{e}}^{-1}f\_\{k\}^\{\backslash prime\; \backslash prime\}\backslash left(\backslash frac\{1\}\{k^\{2\}\}\backslash right)=-k\; \backslash cdot\; \backslash mathrm\{e\}^\{-1\}$.

Die notwendige Bedingung für eine Extremstelle bei $x={\displaystyle \frac{1}{k^2}}x=\backslash dfrac\{1\}\{k^2\}$ ist $f_k^{\mathrm{\prime }}\left(\frac{1}{k^2}\right)=0f\_\{k\}^\{\backslash prime\}\backslash left(\backslash frac\{1\}\{k^\{2\}\}\backslash right)=0$.

Es ist $f_k^{\mathrm{\prime }}=(-kx+\frac{1}{k})\cdot {\mathrm{e}}^{-k^2\cdot x}f\_\{k\}^\{\backslash prime\}=(-kx+\backslash frac\{1\}\{k\})\backslash cdot\backslash mathrm\{e\}^\{-k^\{2\}\backslash cdot\; x\}$ (Aufgabe a).

Setze $x={\displaystyle \frac{1}{k^2}}x=\backslash dfrac\{1\}\{k^2\}$ ein: $f_k^{\mathrm{\prime }}\left(\frac{1}{k^2}\right)=(-k\cdot \frac{1}{k^2}+\frac{1}{k})\cdot {\mathrm{e}}^{-k^2\cdot \frac{1}{k^2}}=(-\frac{1}{k}+\frac{1}{k})\cdot {\mathrm{e}}^{-1}=0\cdot {\mathrm{e}}^{-1}=0f\_\{k\}^\{\backslash prime\}\backslash left(\backslash frac\{1\}\{k^\{2\}\}\backslash right)=\backslash left(-k\; \backslash cdot\; \backslash frac\{1\}\{k^\{2\}\}+\backslash frac\{1\}\{k\}\backslash right)\; \backslash cdot\; \backslash mathrm\{e\}^\{-k^\{2\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\{1\}\{k^\{2\}\}\}=\backslash left(-\backslash frac\{1\}\{k\}+\backslash frac\{1\}\{k\}\backslash right)\; \backslash cdot\; \backslash mathrm\{e\}^\{-1\}=0\; \backslash cdot\; \backslash mathrm\{e\}^\{-1\}=0$ für alle $k\mathrm{\ne }0k\; \backslash neq\; 0$.

Wegen $f_k^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}\left(\frac{1}{k^2}\right)=-k\cdot {\mathrm{e}}^{-1}\mathrm{\ne }0f\_\{k\}^\{\backslash prime\; \backslash prime\}\backslash left(\backslash frac\{1\}\{k^\{2\}\}\backslash right)=-k\; \backslash cdot\; \backslash mathrm\{e\}^\{-1\}\; \backslash neq\; 0$ für alle $k\mathrm{\ne }0k\; \backslash neq\; 0$ ist $\frac{1}{k^2}\backslash frac\{1\}\{k^\{2\}\}$ eine Extremstelle aller Funktionen der Schar.

Untersuche, für welche Werte von $kk$ die Funktionen der Schar an der Stelle $\frac{1}{k^2}\backslash frac\{1\}\{k^\{2\}\}$ ein Minimum besitzen

Für ein Minimum muss $f_k^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}\left(\frac{1}{k^2}\right)>0f\_\{k\}^\{\backslash prime\; \backslash prime\}\backslash left(\backslash frac\{1\}\{k^\{2\}\}\backslash right)>0$ sein.

.

Damit besitzen genau die $f_{k}f\_\{k\}$ mit ein Minimum an der Extremstelle $\frac{1}{k^2}\backslash frac\{1\}\{k^\{2\}\}$.