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A2

  1. 1

    Aufgabe 1

    Gegeben sind die in R\mathbb{R} definierten ganzrationalen Funktionen fkf_{k} mit

    fk(x)=x4+(2−k)⋅x3−k⋅x2 mit k∈Rf_{k}(x)=x^{4}+(2-k) \cdot x^{3}-k \cdot x^{2} \text { mit } k \in \mathbb{R}.

    1. BegrĂŒnden Sie, dass der Graph von f2f_{2} symmetrisch bezĂŒglich der y-Achse ist. (1 P)

    2. Es gibt einen Wert von kk, fĂŒr den x=1x=1 eine Wendestelle von fkf_{k} ist.

      Berechnen Sie diesen Wert von kk. (4 P)

  2. 2

    Aufgabe 2

    Eine Funktionenschar fkf_{k} ist gegeben durch die Gleichung

    fk(x)=1k⋅x⋅e−k2⋅x,x∈R,k∈R,k≠0f_{k}(x)=\frac{1}{k} \cdot x \cdot \mathrm{e}^{-k^{2} \cdot x}, x \in \mathbb{R}, k \in \mathbb{R}, k \neq 0.

    1. Zeigen Sie rechnerisch: fkâ€Č(x)=(−k⋅x+1k)⋅e−k2⋅xf_{k}^{\prime}(x)=\left(-k \cdot x+\frac{1}{k}\right) \cdot \mathrm{e}^{-k^{2} \cdot x}. (2 P)

    2. Im Folgenden können Sie verwenden: fkâ€Čâ€Č(1k2)=−k⋅e−1f_{k}^{\prime \prime}\left(\frac{1}{k^{2}}\right)=-k \cdot \mathrm{e}^{-1}.

      Zeigen Sie, dass 1k2\frac{1}{k^{2}} eine Extremstelle aller Funktionen der Schar ist, und untersuchen Sie, fĂŒr welche Werte von kk die Funktionen der Schar an der Stelle 1k2\frac{1}{k^{2}} ein Minimum besitzen. (3 P)

  3. 3

    Aufgabe 3

    Gegeben sind die Funktionen ff und hh mit den Gleichungen

    f(x)=(x−3)⋅ex,x∈R,h(x)=x−3,x∈R.\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned}& f(x)=(x-3) \cdot \mathrm{e}^{x}, \quad x \in \mathbb{R}, \\& h(x)=x-3, \quad x \in \mathbb{R} .\end{aligned}

    1. Bestimmen Sie rechnerisch die beiden Schnittstellen der Graphen der Funktionen ff und hh.

      [[Zur Kontrolle: Die Schnittstellen sind x=0 x=0 und x=3x=3.]] (3 P)

    2. Zwischen den Schnittstellen verlÀuft der Graph von hh oberhalb des Graphen von ff.

      Die Funktion D(x)=(4−x)⋅ex+0,5⋅x2−3⋅xD(x)=(4-x) \cdot \mathrm{e}^{x}+0{,}5 \cdot x^{2}-3 \cdot x ist eine Stammfunktion der Funktion dd mit d(x)=h(x)−f(x)d(x)=h(x)-f(x).

      Ermitteln Sie den FlÀcheninhalt der FlÀche, die von den Graphen der Funktionen hh und ff eingeschlossen wird. (2 P)

  4. 4

    Aufgabe 4

    Betrachtet werden die in R\mathbb{R} definierten Funktionen ff und FF, wobei FF eine Stammfunktion von ff ist. Die Abbildung zeigt den Graphen GFG_{F} von FF.

     Abbildung

    Abbildung

    1. Bestimmen Sie den Wert des Integrals ∫17f(x)  dx\displaystyle\int_{1}^{7} f(x)\;\mathrm{d} x. (2 P)

    2. Bestimmen Sie grafisch nÀherungsweise den Funktionswert von ff an der Stelle 11.

      (3 P)

  5. 5

    Aufgabe 5

    Pia hat eine Dartscheibe geschenkt bekommen. Sie trifft im Mittel zu etwa 80  %80\;\% die Dartscheibe. Die ZufallsgrĂ¶ĂŸe XX : „Anzahl der Treffer beim Pfeilwurf auf die Dartscheibe“ wird im Folgenden als binomialverteilt mit p=0,8p=0{,}8 angenommen.

    Pia wirft genau 100100-mal auf die Dartscheibe.

    1. Berechnen Sie den Erwartungswert und die Standardabweichung von XX. (2 P)

    2. Geben Sie einen Term zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit an, dass Pia genau 8080-mal die Dartscheibe trifft, davon zehnmal in den ersten zehn WĂŒrfen. (1 P)

    3. Geben Sie einen Term zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit an, dass sie mindestens einmal die Dartscheibe trifft, und begrĂŒnden Sie anhand des Terms, dass diese Wahrscheinlichkeit nahezu 100  %100 \;\% betrĂ€gt. (2 P)

  6. 6

    Aufgabe 6

    Abbildung 2 zeigt den Graphen der Dichtefunktion der normalverteilten ZufallsgrĂ¶ĂŸe AA.

    Abbildung 2

    Abbildung 2

    1. Die Wahrscheinlichkeit dafĂŒr, dass AA einen Wert aus dem Intervall [6;10][6 ; 10] annimmt, betrĂ€gt etwa 68  %68\;\%.

      Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafĂŒr, dass AA einen Wert annimmt, der grĂ¶ĂŸer ist als 1010. (2 P)

    2. Die ZufallsgrĂ¶ĂŸe BB ist ebenfalls normalverteilt; der Erwartungswert von BB ist ebenso groß wie der Erwartungswert von AA, die Standardabweichung von BB ist grĂ¶ĂŸer als die Standardabweichung von AA.

      Skizzieren Sie in der Abbildung 2 einen möglichen Graphen der Dichtefunktion von BB. (3 P)


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