B2 - lernen mit Serlo!

Aufgabe 5

Die Aufgabe 5 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.

Zur Modellierung der oberen Randlinie von Element E2 verwendet das Architekturbüro für $- 4 \leq x \leq 4,8$ die Funktion $f$ mit $f (x) = - \frac{1}{256} x^{4} + \frac{1}{8} x^{2} + 1,2, x \in ℝ$ .

Dabei entspricht eine Längeneinheit im Koordinatensystem $1 m$ in der Realität.

Siehe Abbildung 2:

Die vier Betonelemente der Skatebahn werden aus einem belastbaren Spezialbeton gegossen. Die Materialkosten hierfür betragen $176 €$ pro $m^{3}$ . Die Skatebahn hat überall eine Breite von $5 m$ .

Weiterhin ist $g (x) = \frac{11}{150} (x - 8,4)^{2} + \frac{132}{125}$ .

Der Abschnitt E3 wird schließlich mit einer Länge von $d = 7,5 m$ gebaut.

Eine Kamera soll in einer Höhe von $5 m$ über der unteren Randlinie von E3 befestigt werden, um die Fahrten der Skater auf E3 zu filmen. Die Position der Kamera wird vereinfacht durch den Punkt $K (x_{K} | 5)$ dargestellt.

Ermitteln Sie den Wert von $x_{K}$ , für den die Punkte $B$ und $C$ gleich weit von $K$ entfernt sind. (4 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Satz des Pythagoras
Ermittele den Wert von $x_{K}$ , für den die Punkte B und C gleich weit von $K$ entfernt sind
Gegeben ist: Die Position der Kamera wird vereinfacht durch den Punkt $K (x_{K} | 5)$ dargestellt. Die Punkt $B$ und $C$ haben die Koordinaten $B (4,8 | g (4,8))$ und $C (4,8 + 7,5 | g (4,8 + 7,5)) = C (4,8 + 7,5 | g (12,3))$ .
$B K$ und $C K$ sind Hypotenusen in rechtwinkligen Dreiecken:
Es soll gelten: $| B K | = | C K |$ (die Punkte $B$ und $C$ sind gleich weit von $K$ entfernt).
$\Rightarrow \sqrt{(4,8 - x_{K})^{2} + (g (4,8) - 5)^{2}} = \sqrt{(4,8 + 7,5 - x_{K})^{2} + (g (12,3) - 5)^{2}}$
Der TR liefert $x_{K} \approx 8,49$ .
Der Wert von $x_{K}$ , für den die Punkte $B$ und $C$ gleich weit von $K$ entfernt sind, beträgt rund $8,49$ , d.h. der Punkt $K$ hat die Koordinaten $(8,49 | 5)$ .
Die folgende Abbildung ist in der Aufgabenstellung nicht gefordert. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
Kameraposition
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$B K$ und $C K$ sind Hypotenusen in rechtwinkligen Dreiecken.
Es soll gelten: $| B K | = | C K |$ , d.h. die Punkte $B$ und $C$ sind gleich weit von $K$ entfernt.
Bestimme $B K$ und $C K$ mit der Abstandsformel für zwei Punkte und löse die Gleichung mit dem TR.
Bestimmen Sie die minimale Entfernung des Punktes $K (8,49 | 5)$ vom Graphen von $g$ . (4 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Satz des Pythagoras
Bestimme die minimale Entfernung des Punktes $K (8,49 | 5)$ vom Graphen von $g$
Für die Entfernung $l (x)$ des Punktes $K (8,49 | 5)$ zu einem Punkt $(x | g (x))$ des
Graphen von g gilt:
$l (x) = \sqrt{(8,49 - x)^{2} + (5 - g (x))^{2}}$
Der Taschenrechner liefert im Intervall $[4,8; 12,3]$ (z. B. durch graphische Analyse)
den absoluten Tiefpunkt $(8,61 | 3,94)$ des Graphen von $l$ .
Somit beträgt die minimale Entfernung des Punktes $K (8,49 | 5)$ vom Graphen von $g$ ungefähr $3,94 m$ .
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Suche graphisch den absoluten Tiefpunkt des Graphen von $l (x) = \sqrt{(8,49 - x)^{2} + (5 - g (x))^{2}}$

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das?

Aufgabe 5

Ermittele den Wert von xK, für den die Punkte B und C gleich weit von K entfernt sind

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Bestimme die minimale Entfernung des Punktes K(8,49|5) vom Graphen von g

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Ermittele den Wert von $x_{K}$ , für den die Punkte B und C gleich weit von $K$ entfernt sind

Bestimme die minimale Entfernung des Punktes $K (8,49 | 5)$ vom Graphen von $g$