B2 - lernen mit Serlo!

Aufgabe 5

Die Aufgabe 5 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.

Zur Modellierung der oberen Randlinie von Element E2 verwendet das Architekturbüro für $-4 \leq x \leq 4{,}8$ die Funktion $f$ mit $f(x)=-\frac{1}{256} x^{4}+\frac{1}{8} x^{2}+1{,}2, \quad x \in \mathbb{R}$ .

Dabei entspricht eine Längeneinheit im Koordinatensystem $1\;\mathrm{~m}$ in der Realität.

Siehe Abbildung 2:

Die vier Betonelemente der Skatebahn werden aus einem belastbaren Spezialbeton gegossen. Die Materialkosten hierfür betragen $176\;€$ pro $\mathrm{m}^3$ . Die Skatebahn hat überall eine Breite von $5\mathrm{~m}$ .

Weiterhin ist $g(x)=\frac{11}{150}(x-8{,}4)^{2}+\frac{132}{125}$ .

Der Abschnitt E3 wird schließlich mit einer Länge von $d=7{,}5\mathrm{~m}$ gebaut.

Eine Kamera soll in einer Höhe von $5\mathrm{~m}$ über der unteren Randlinie von E3 befestigt werden, um die Fahrten der Skater auf E3 zu filmen. Die Position der Kamera wird vereinfacht durch den Punkt $K\left(x_{K} \mid 5\right)$ dargestellt.

Ermitteln Sie den Wert von $x_{K}$ , für den die Punkte $B$ und $C$ gleich weit von $K$ entfernt sind. (4 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Satz des Pythagoras
Ermittele den Wert von $x_{K}$ , für den die Punkte B und C gleich weit von $K$ entfernt sind
Gegeben ist: Die Position der Kamera wird vereinfacht durch den Punkt $K\left(x_{K} \mid 5\right)$ dargestellt. Die Punkt $B$ und $C$ haben die Koordinaten $B(4{,}8\mid g(4{,}8))$ und $C(4{,}8+7{,}5\mid g(4{,}8+7{,}5))=C(4{,}8+7{,}5\mid g(12{,}3))$ .
$\overline{BK}$ und $\overline{CK}$ sind Hypotenusen in rechtwinkligen Dreiecken:
Es soll gelten: $|\overline{BK}|=|\overline{CK}|$ (die Punkte $B$ und $C$ sind gleich weit von $K$ entfernt).
$\Rightarrow\;\sqrt{(4{,}8-x_K)^2+(g(4{,}8)-5)^2}=\sqrt{(4{,}8+7{,}5-x_K)^2+(g(12{,}3)-5)^2}$
Der TR liefert $x_K\approx8{,}49$ .
Der Wert von $x_{K}$ , für den die Punkte $B$ und $C$ gleich weit von $K$ entfernt sind, beträgt rund $8,49$ , d.h. der Punkt $K$ hat die Koordinaten $(8{,}49\mid 5)$ .
Die folgende Abbildung ist in der Aufgabenstellung nicht gefordert. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
Kameraposition
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$\overline{BK}$ und $\overline{CK}$ sind Hypotenusen in rechtwinkligen Dreiecken.
Es soll gelten: $|\overline{BK}|=|\overline{CK}|$ , d.h. die Punkte $B$ und $C$ sind gleich weit von $K$ entfernt.
Bestimme $\overline{BK}$ und $\overline{CK}$ mit der Abstandsformel für zwei Punkte und löse die Gleichung mit dem TR.
Bestimmen Sie die minimale Entfernung des Punktes $K(8{,}49 \mid 5)$ vom Graphen von $g$ . (4 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Satz des Pythagoras
Bestimme die minimale Entfernung des Punktes $K(8{,}49 \mid 5)$ vom Graphen von $g$
Für die Entfernung $l (x)$ des Punktes $K (8,49 ∣ 5)$ zu einem Punkt $(x ∣ g (x))$ des
Graphen von g gilt:
$l(x)=\sqrt{(8{,}49-x)^2+(5-g(x))^2}$
Der Taschenrechner liefert im Intervall $[4,8; 12,3]$ (z. B. durch graphische Analyse)
den absoluten Tiefpunkt $(8,61 ∣ 3,94)$ des Graphen von $l$ .
Somit beträgt die minimale Entfernung des Punktes $K (8,49 ∣ 5)$ vom Graphen von $g$ ungefähr $3{,}94 \mathrm{~m}$ .
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Suche graphisch den absoluten Tiefpunkt des Graphen von $l(x)=\sqrt{(8{,}49-x)^2+(5-g(x))^2}$

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das?

Aufgabe 5

Ermittele den Wert von xKx_{K}xK​, für den die Punkte B und C gleich weit von KKK entfernt sind

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Bestimme die minimale Entfernung des Punktes K(8,49∣5)K(8{,}49 \mid 5)K(8,49∣5) vom Graphen von ggg

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Ermittele den Wert von $x_{K}$ , für den die Punkte B und C gleich weit von $K$ entfernt sind

Bestimme die minimale Entfernung des Punktes $K(8{,}49 \mid 5)$ vom Graphen von $g$