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B2

  1. 1

    Aufgabe 1

    In einem Skatepark soll ein neuer Teilabschnitt gebaut werden. Der Entwurf des Architekten fĂŒr den LĂ€ngsschnitt des Abschnitts ist in Abbildung 1 zu sehen.

    Abbildung 1

    Der Abschnitt soll aus vier Betonelementen mit senkrechten SeitenwĂ€nden zusammengesetzt werden. Die Ă€ußeren Elemente E1 und E4 sind quaderförmig, fĂŒr die beiden mittleren Elemente E2 und E3 werden die in Abbildung 1 dargestellten oberen Randlinien durch zwei ganzrationale Funktionen ff und gg modelliert (Abbildung 2). Die in Abbildung 1 dargestellten unteren Randlinien aller vier Elemente werden durch die xx-Achse modelliert.

    Außer beim Übergang von E3 zu E4 sollen die dargestellten oberen Randlinien der Elemente „knickfrei“ ineinander ĂŒbergehen, um ein störungsfreies Fahren zu gewĂ€hrleisten.

    Zur Modellierung der oberen Randlinie von Element E2 verwendet das ArchitekturbĂŒro fĂŒr −4≀x≀4,8-4 \leq x \leq 4{,}8 die Funktion ff mit f(x)=−1256x4+18x2+1,2,x∈Rf(x)=-\frac{1}{256} x^{4}+\frac{1}{8} x^{2}+1{,}2, \quad x \in \mathbb{R}.

    Dabei entspricht eine LĂ€ngeneinheit im Koordinatensystem 1   m1\;\mathrm{~m} in der RealitĂ€t.

    Abbildung 2

    Abbildung 2

    1. BegrĂŒnden Sie, dass f(x)=f(−x)f(x)=f(-x) fĂŒr alle x∈Rx \in \mathbb{R} gilt, und interpretieren Sie dies geometrisch. (1 P + 1 P)

    2. Ermitteln Sie rechnerisch den Höhenunterschied zwischen dem höchsten und tiefsten Punkt der Skatebahn im Bereich von E2. (5 P)

    3. Zeigen Sie, dass die obere Randlinie von Element E2 knickfrei an die obere Randlinie des quaderförmigen Elements E1 anschließt. (2 P)

    4. Aus SicherheitsgrĂŒnden soll an der steilsten Stelle der Bahn der Betrag der Steigung höchstens 0,850{,}85 sein.

      Zeigen Sie, dass diese Vorgabe beim Element E2 eingehalten wird. (3 P)

  2. 2

    Aufgabe 2

    Die Aufgabe 2 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.

    Zur Modellierung der oberen Randlinie von Element E2 verwendet das ArchitekturbĂŒro fĂŒr −4≀x≀4,8-4 \leq x \leq 4{,}8 die Funktion ff mit f(x)=−1256x4+18x2+1,2,x∈Rf(x)=-\frac{1}{256} x^{4}+\frac{1}{8} x^{2}+1{,}2, \quad x \in \mathbb{R}.

    Dabei entspricht eine LĂ€ngeneinheit im Koordinatensystem 1   m1\;\mathrm{~m} in der RealitĂ€t.

    Siehe Abbildung 2:

    Abbildung 2

    Abbildung 2

    Die vier Betonelemente der Skatebahn werden aus einem belastbaren Spezialbeton gegossen. Die Materialkosten hierfĂŒr betragen 176  €176\;€ pro m3\mathrm{m}^3. Die Skatebahn hat ĂŒberall eine Breite von 5 m5\mathrm{~m}.

    1. Berechnen Sie die Materialkosten fĂŒr das Element E2. (4 P)

  3. 3

    Aufgabe 3

    Die Aufgabe 3 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.

    Zur Modellierung der oberen Randlinie von Element E2 verwendet das ArchitekturbĂŒro fĂŒr −4≀x≀4,8-4 \leq x \leq 4{,}8 die Funktion ff mit f(x)=−1256x4+18x2+1,2,x∈Rf(x)=-\frac{1}{256} x^{4}+\frac{1}{8} x^{2}+1{,}2, \quad x \in \mathbb{R}.

    Dabei entspricht eine LĂ€ngeneinheit im Koordinatensystem 1   m1\;\mathrm{~m} in der RealitĂ€t.

    Siehe Abbildung 2:

    Abbildung 2

    Abbildung 2

    Die obere Randlinie von Element E3 soll durch eine ganzrationale Funktion gg zweiten Grades modelliert werden, deren Graph im Punkt BB sowohl im Funktionswert als auch in der Steigung mit dem Graphen von ff ĂŒbereinstimmt (siehe Abbildung 2). Dabei soll der tiefste Punkt der oberen Randlinie von E3 in 3,6 m3{,}6\mathrm{~m} horizontaler Entfernung vom Punkt BB liegen.

    1. Ermitteln Sie eine Gleichung der Funktion gg. (5 P)

  4. 4

    Aufgabe 4

    Die Aufgabe 4 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.

    Zur Modellierung der oberen Randlinie von Element E2 verwendet das ArchitekturbĂŒro fĂŒr −4≀x≀4,8-4 \leq x \leq 4{,}8 die Funktion ff mit f(x)=−1256x4+18x2+1,2,x∈Rf(x)=-\frac{1}{256} x^{4}+\frac{1}{8} x^{2}+1{,}2, \quad x \in \mathbb{R}.

    Dabei entspricht eine LĂ€ngeneinheit im Koordinatensystem 1   m1\;\mathrm{~m} in der RealitĂ€t.

    Siehe Abbildung 2:

    Die vier Betonelemente der Skatebahn werden aus einem belastbaren Spezialbeton gegossen. Die Materialkosten hierfĂŒr betragen 176  €176\;€ pro m3\mathrm{m}^3. Die Skatebahn hat ĂŒberall eine Breite von 5 m5\mathrm{~m}.

    Abbildung 2

    Abbildung 2

    Verwenden Sie im Folgenden fĂŒr die Modellierung von E3 die Gleichung g(x)=11150(x−8,4)2+132125g(x)=\frac{11}{150}(x-8{,}4)^{2}+\frac{132}{125}

    FĂŒr E3 werden in einem ersten Entwurf zunĂ€chst Materialkosten von 10800 â‚Ź10800~€ veranschlagt.

    1. (i) Stellen Sie eine Gleichung auf, mit der die LĂ€nge dd des Elements E3 so berechnet werden kann, dass die Materialkosten 10800 â‚Ź10800 ~€ betragen. (2 P)

      Als Lösung der Gleichung ergibt sich eine LĂ€nge von d≈8,24 md \approx 8{,}24\mathrm{~m}.

      (ii) Bestimmen Sie die daraus resultierenden Materialkosten fĂŒr E4 bei einer feststehenden LĂ€nge von 1,5 m1{,}5\mathrm{~m} fĂŒr E4. (2 P)

      [[Kontrolllösung: Die Materialkosten fĂŒr E4 betragen ungefĂ€hr 3500 â‚Ź3500~ €.]]

    2. Dem ArchitekturbĂŒro wird mitgeteilt, dass fĂŒr die beiden Elemente E3 und E4 nur Materialkosten von zusammen 12000 â‚Ź12000~€ entstehen dĂŒrfen.

      In einem neuen Entwurf wird daher die LÀnge von Element E3 verÀndert.

      Die LĂ€nge von Element E4 soll weiterhin 1,5 m1{,}5\mathrm{~m} betragen.

      Stellen Sie eine Gleichung auf, mit der die neue LĂ€nge dneu d_{\text {neu }} von Element E3 so berechnet werden kann, dass die Materialkosten von E3 und E4 zusammen genau 12000 â‚Ź12000~€ betragen. (2 P)

      [Hinweis: Die Gleichung muss nicht gelöst werden.]

  5. 5

    Aufgabe 5

    Die Aufgabe 5 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.

    Zur Modellierung der oberen Randlinie von Element E2 verwendet das ArchitekturbĂŒro fĂŒr −4≀x≀4,8-4 \leq x \leq 4{,}8 die Funktion ff mit f(x)=−1256x4+18x2+1,2,x∈Rf(x)=-\frac{1}{256} x^{4}+\frac{1}{8} x^{2}+1{,}2, \quad x \in \mathbb{R}.

    Dabei entspricht eine LĂ€ngeneinheit im Koordinatensystem 1   m1\;\mathrm{~m} in der RealitĂ€t.

    Siehe Abbildung 2:

    Die vier Betonelemente der Skatebahn werden aus einem belastbaren Spezialbeton gegossen. Die Materialkosten hierfĂŒr betragen 176  €176\;€ pro m3\mathrm{m}^3. Die Skatebahn hat ĂŒberall eine Breite von 5 m5\mathrm{~m}.

    Weiterhin ist g(x)=11150(x−8,4)2+132125g(x)=\frac{11}{150}(x-8{,}4)^{2}+\frac{132}{125}.

    Abbildung 2

    Abbildung 2

    Der Abschnitt E3 wird schließlich mit einer LĂ€nge von d=7,5 md=7{,}5\mathrm{~m} gebaut.

    Eine Kamera soll in einer Höhe von 5 m5\mathrm{~m} ĂŒber der unteren Randlinie von E3 befestigt werden, um die Fahrten der Skater auf E3 zu filmen. Die Position der Kamera wird vereinfacht durch den Punkt K(xK∣5)K\left(x_{K} \mid 5\right) dargestellt.

    1. Ermitteln Sie den Wert von xKx_{K}, fĂŒr den die Punkte BB und CC gleich weit von KK entfernt sind. (4 P)

    2. Bestimmen Sie die minimale Entfernung des Punktes K(8,49∣5)K(8{,}49 \mid 5) vom Graphen von gg. (4 P)

  6. 6

    Aufgabe 6

    Die Aufgabe 6 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.

    Zur Modellierung der oberen Randlinie von Element E2 verwendet das ArchitekturbĂŒro fĂŒr −4≀x≀4,8-4 \leq x \leq 4{,}8 die Funktion ff mit f(x)=−1256x4+18x2+1,2,x∈Rf(x)=-\frac{1}{256} x^{4}+\frac{1}{8} x^{2}+1{,}2, \quad x \in \mathbb{R}.

    Dabei entspricht eine LĂ€ngeneinheit im Koordinatensystem 1   m1\;\mathrm{~m} in der RealitĂ€t.

    Siehe Abbildung 2:

    Abbildung 2

    Abbildung 2

    In einem anderen Skatepark soll der Abschnitt E2 vergleichbar gebaut werden, allerdings soll der Streckenverlauf in diesem Abschnitt steiler sein. Zur Modellierung dient hier eine Funktion huh_u mit hu(x)=u⋅(−1256x4+18x2)+1,2,x∈R, mit u>0h_u(x)=u \cdot\left(-\frac{1}{256} x^{4}+\frac{1}{8} x^{2}\right)+1{,}2, \quad x \in \mathbb{R}, \text { mit } u>0.

    1. Zeigen Sie, dass huâ€Č(x)=u⋅fâ€Č(x)h_{u}^{\prime}(x)=u \cdot f^{\prime}(x) gilt, und begrĂŒnden Sie, dass fĂŒr jedes u>0u>0 die Lage und Art der Extremstellen von huâ€Čh_{u}{ }^{\prime} mit der Lage und Art der Extremstellen von fâ€Čf' ĂŒbereinstimmen. (1 P + 2 P)

    2. Ermitteln Sie den Wert von uu, bei dem diese Bahn im Abschnitt E2 an der Stelle x=4,8x=4{,}8 die Steigung m=−0,85m=-0{,}85 hat. (2 P)


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