B2 - lernen mit Serlo!

Aufgabe 4

Die Aufgabe 4 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.

Zur Modellierung der oberen Randlinie von Element E2 verwendet das Architekturbüro für $-4 \leq x \leq 4{,}8$ die Funktion $f$ mit $f(x)=-\frac{1}{256} x^{4}+\frac{1}{8} x^{2}+1{,}2, \quad x \in \mathbb{R}$ .

Dabei entspricht eine Längeneinheit im Koordinatensystem $1\;\mathrm{~m}$ in der Realität.

Siehe Abbildung 2:

Die vier Betonelemente der Skatebahn werden aus einem belastbaren Spezialbeton gegossen. Die Materialkosten hierfür betragen $176\;€$ pro $\mathrm{m}^3$ . Die Skatebahn hat überall eine Breite von $5\mathrm{~m}$ .

Verwenden Sie im Folgenden für die Modellierung von E3 die Gleichung $g(x)=\frac{11}{150}(x-8{,}4)^{2}+\frac{132}{125}$

Für E3 werden in einem ersten Entwurf zunächst Materialkosten von $10800 €$ veranschlagt.

(i) Stellen Sie eine Gleichung auf, mit der die Länge $d$ des Elements E3 so berechnet werden kann, dass die Materialkosten $10800 €$ betragen. (2 P)
Als Lösung der Gleichung ergibt sich eine Länge von $d \approx 8{,}24\mathrm{~m}$ .
(ii) Bestimmen Sie die daraus resultierenden Materialkosten für E4 bei einer feststehenden Länge von $1{,}5\mathrm{~m}$ für E4. (2 P)
$[$ Kontrolllösung: Die Materialkosten für E4 betragen ungefähr $3500 €$ . $]$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
(i) Stellen Sie eine Gleichung auf, mit der die Länge $d$ des Elements E3 so berechnet werden kann, dass die Materialkosten $10800 €$ betragen
Das Volumen des Elements E3 in $\mathrm{m}^3$ muss mit den Materialkosten von $176\;€$ pro $\mathrm{m}^3$ multipliziert $10800\;€$ ergeben. Die Grundfläche von E3 ist $G=\displaystyle\int_{4{,}8}^{4{,}8+d} g(x)\; \mathrm{d} x$ und die Höhe beträgt $5\mathrm{~m}$ .
Es muss also gelten: $176 \cdot 5 \cdot \displaystyle\int_{4{,}8}^{4{,}8+d} g(x)\; \mathrm{d} x=10800$
(ii) Bestimmen Sie die daraus resultierenden Materialkosten für E4 bei einer feststehenden Länge von $1{,}5\mathrm{~m}$ für E4
Berechne $g(4{,}8+8{,}24)=g(13{,}04)\approx2{,}6348....$ .
Der Quader E4 ist somit ungefähr $2{,}63\mathrm{~m}$ hoch.
Der Quader hat somit ein Volumen von $V=1{,}5\cdot 2{,}63 \cdot 5=19{,}725\;\mathrm{m}^3$ .
Die Kosten betragen dann $176 \frac{€}{\mathrm{~m}^{3}} \cdot 19{,}725\;\mathrm{m}^3=3471{,}60\;€$ .
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(i)
Die Grundfläche von E3 ist $G=\displaystyle\int_{4{,}8}^{4{,}8+d} g(x)\; \mathrm{d} x$ und die Höhe beträgt $5\mathrm{~m}$ .
Berechne das Volumen und multipliziere mit $176\;€$ pro $\mathrm{m}^3$ .
(ii)
Berechne die Quaderhöhe mit $g (4,8 + 8,24)$ .
Berechne das Volumen des Quaders und multipliziere mit $176\;€$ pro $\mathrm{m}^3$ .
Dem Architekturbüro wird mitgeteilt, dass für die beiden Elemente E3 und E4 nur Materialkosten von zusammen $12000 €$ entstehen dürfen.
In einem neuen Entwurf wird daher die Länge von Element E3 verändert.
Die Länge von Element E4 soll weiterhin $1{,}5\mathrm{~m}$ betragen.
Stellen Sie eine Gleichung auf, mit der die neue Länge $d_{\text {neu }}$ von Element E3 so berechnet werden kann, dass die Materialkosten von E3 und E4 zusammen genau $12000 €$ betragen. (2 P)
[Hinweis: Die Gleichung muss nicht gelöst werden.]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung mittels Formeln
Stelle eine Gleichung auf, mit der die neue Länge $d_{\text {neu }}$ von Element E3 so berechnet werden kann, dass die Materialkosten von E3 und E4 zusammen genau $12000 €$ betragen
Das neue Volumen von E3 beträgt $V_{E3}=5 \cdot\displaystyle\int_{4{,}8}^{4{,}8+d_{\text {neu }}} g(x) \;\mathrm{d} x$
Das neue Volumen von E4 beträgt $V_{E4}=1{,}5\cdot 5 \cdot g\left(4{,}8+d_{\text {neu }}\right)$
Dann soll für die Kosten gelten:
$176\cdot(V_{E3}+V_{E4})=176\cdot\left(5 \cdot\displaystyle\int_{4{,}8}^{4{,}8+d_{\text {neu }}} g(x) \;\mathrm{d} x+1{,}5\cdot 5 \cdot g\left(4{,}8+d_{\text {neu }}\right)\right)=12000.$
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Das neue Volumen von E3 beträgt $V_{E3}=5 \cdot\displaystyle\int_{4{,}8}^{4{,}8+d_{\text {neu }}} g(x) \;\mathrm{d} x$
Das neue Volumen von E4 beträgt $V_{E4}=1{,}5\cdot 5 \cdot g\left(4{,}8+d_{\text {neu }}\right)$
Stelle mit der Summe der beiden Volumina eine Gleichung für die Kosten auf, die insgesamt $12000\;€$ betragen sollen.

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das?

Aufgabe 4

(i) Stellen Sie eine Gleichung auf, mit der die Länge ddd des Elements E3 so berechnet werden kann, dass die Materialkosten 10800 €10800 ~€10800 € betragen

(ii) Bestimmen Sie die daraus resultierenden Materialkosten für E4 bei einer feststehenden Länge von 1,5 m1{,}5\mathrm{~m}1,5 m für E4

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Stelle eine Gleichung auf, mit der die neue Länge dneu d_{\text {neu }}dneu ​ von Element E3 so berechnet werden kann, dass die Materialkosten von E3 und E4 zusammen genau 12000 €12000~€12000 € betragen

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(i) Stellen Sie eine Gleichung auf, mit der die Länge $d$ des Elements E3 so berechnet werden kann, dass die Materialkosten $10800 €$ betragen

(ii) Bestimmen Sie die daraus resultierenden Materialkosten für E4 bei einer feststehenden Länge von $1{,}5\mathrm{~m}$ für E4

Stelle eine Gleichung auf, mit der die neue Länge $d_{\text {neu }}$ von Element E3 so berechnet werden kann, dass die Materialkosten von E3 und E4 zusammen genau $12000 €$ betragen