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Aufgabe 4

Die Aufgabe 4 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.

Zur Modellierung der oberen Randlinie von Element E2 verwendet das Architekturbüro für $- 4 \leq x \leq 4,8$ die Funktion $f$ mit $f (x) = - \frac{1}{256} x^{4} + \frac{1}{8} x^{2} + 1,2, x \in ℝ$ .

Dabei entspricht eine Längeneinheit im Koordinatensystem $1 m$ in der Realität.

Siehe Abbildung 2:

Die vier Betonelemente der Skatebahn werden aus einem belastbaren Spezialbeton gegossen. Die Materialkosten hierfür betragen $176 €$ pro $m^{3}$ . Die Skatebahn hat überall eine Breite von $5 m$ .

Verwenden Sie im Folgenden für die Modellierung von E3 die Gleichung $g (x) = \frac{11}{150} (x - 8,4)^{2} + \frac{132}{125}$

Für E3 werden in einem ersten Entwurf zunächst Materialkosten von $10800 €$ veranschlagt.

(i) Stellen Sie eine Gleichung auf, mit der die Länge $d$ des Elements E3 so berechnet werden kann, dass die Materialkosten $10800 €$ betragen. (2 P)
Als Lösung der Gleichung ergibt sich eine Länge von $d \approx 8,24 m$ .
(ii) Bestimmen Sie die daraus resultierenden Materialkosten für E4 bei einer feststehenden Länge von $1,5 m$ für E4. (2 P)
$[$ Kontrolllösung: Die Materialkosten für E4 betragen ungefähr $3500 €$ . $]$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
(i) Stellen Sie eine Gleichung auf, mit der die Länge $d$ des Elements E3 so berechnet werden kann, dass die Materialkosten $10800 €$ betragen
Das Volumen des Elements E3 in $m^{3}$ muss mit den Materialkosten von $176 €$ pro $m^{3}$ multipliziert $10800 €$ ergeben. Die Grundfläche von E3 ist $G = \int_{4,8}^{4,8 + d} g (x) d x$ und die Höhe beträgt $5 m$ .
Es muss also gelten: $176 \cdot 5 \cdot \int_{4,8}^{4,8 + d} g (x) d x = 10800$
(ii) Bestimmen Sie die daraus resultierenden Materialkosten für E4 bei einer feststehenden Länge von $1,5 m$ für E4
Berechne $g (4,8 + 8,24) = g (13,04) \approx 2,6348....$ .
Der Quader E4 ist somit ungefähr $2,63 m$ hoch.
Der Quader hat somit ein Volumen von $V = 1,5 \cdot 2,63 \cdot 5 = 19,725 m^{3}$ .
Die Kosten betragen dann $176 \frac{€}{m^{3}} \cdot 19,725 m^{3} = 3471,60 €$ .
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(i)
Die Grundfläche von E3 ist $G = \int_{4,8}^{4,8 + d} g (x) d x$ und die Höhe beträgt $5 m$ .
Berechne das Volumen und multipliziere mit $176 €$ pro $m^{3}$ .
(ii)
Berechne die Quaderhöhe mit $g (4,8 + 8,24)$ .
Berechne das Volumen des Quaders und multipliziere mit $176 €$ pro $m^{3}$ .
Dem Architekturbüro wird mitgeteilt, dass für die beiden Elemente E3 und E4 nur Materialkosten von zusammen $12000 €$ entstehen dürfen.
In einem neuen Entwurf wird daher die Länge von Element E3 verändert.
Die Länge von Element E4 soll weiterhin $1,5 m$ betragen.
Stellen Sie eine Gleichung auf, mit der die neue Länge $d_{neu}$ von Element E3 so berechnet werden kann, dass die Materialkosten von E3 und E4 zusammen genau $12000 €$ betragen. (2 P)
[Hinweis: Die Gleichung muss nicht gelöst werden.]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung mittels Formeln
Stelle eine Gleichung auf, mit der die neue Länge $d_{neu}$ von Element E3 so berechnet werden kann, dass die Materialkosten von E3 und E4 zusammen genau $12000 €$ betragen
Das neue Volumen von E3 beträgt $V_{E 3} = 5 \cdot \int_{4,8}^{4,8 + d_{neu}} g (x) d x$
Das neue Volumen von E4 beträgt $V_{E 4} = 1,5 \cdot 5 \cdot g (4,8 + d_{neu})$
Dann soll für die Kosten gelten:
$176 \cdot (V_{E 3} + V_{E 4}) = 176 \cdot (5 \cdot \int_{4,8}^{4,8 + d_{neu}} g (x) d x + 1,5 \cdot 5 \cdot g (4,8 + d_{neu})) = 12000.$
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Das neue Volumen von E3 beträgt $V_{E 3} = 5 \cdot \int_{4,8}^{4,8 + d_{neu}} g (x) d x$
Das neue Volumen von E4 beträgt $V_{E 4} = 1,5 \cdot 5 \cdot g (4,8 + d_{neu})$
Stelle mit der Summe der beiden Volumina eine Gleichung für die Kosten auf, die insgesamt $12000 €$ betragen sollen.

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das?

Aufgabe 4

(i) Stellen Sie eine Gleichung auf, mit der die Länge d des Elements E3 so berechnet werden kann, dass die Materialkosten 10800 € betragen

(ii) Bestimmen Sie die daraus resultierenden Materialkosten für E4 bei einer feststehenden Länge von 1,5 m für E4

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Stelle eine Gleichung auf, mit der die neue Länge dneu von Element E3 so berechnet werden kann, dass die Materialkosten von E3 und E4 zusammen genau 12000 € betragen

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(i) Stellen Sie eine Gleichung auf, mit der die Länge $d$ des Elements E3 so berechnet werden kann, dass die Materialkosten $10800 €$ betragen

(ii) Bestimmen Sie die daraus resultierenden Materialkosten für E4 bei einer feststehenden Länge von $1,5 m$ für E4

Stelle eine Gleichung auf, mit der die neue Länge $d_{neu}$ von Element E3 so berechnet werden kann, dass die Materialkosten von E3 und E4 zusammen genau $12000 €$ betragen