A1 - lernen mit Serlo!

Aufgabe 5

Gegeben sind die Gerade $\def\arraystretch{1.25} g: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}2 \\ 1 \\ -1\end{array}\right)+r \cdot\left(\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ -2\end{array}\right), r \in \mathbb{R}$ und die Ebene $\def\arraystretch{1.25} E: \vec{x}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 4\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{l}4 \\ 2 \\ 3\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{l}2 \\ 0 \\ 1\end{array}\right), s, t \in \mathbb{R}$ .

Weisen Sie nach, dass die Gerade $g$ senkrecht zur Ebene $E$ verläuft. (1 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen
Weise nach, dass die Gerade $g$ senkrecht zur Ebene $E$ verläuft
Wenn die Gerade $g$ senkrecht zur Ebene $E$ verläuft, dann muss der Richtungsvektor $\vec u_{g}$ der Geraden $g$ senkrecht zu beiden Richtungsvektoren $\vec v_E$ und $\vec w_E$ der Ebene $E$ verlaufen. Für das Skalarprodukt gilt dann:
$\vec u_{g}\circ \vec v_{g}=0$ und $\vec u_{g}\circ \vec w_{g}=0$
$\Rightarrow\;$ $\def\arraystretch{1.25} \left(\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ -2\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l}4 \\ 2 \\ 3\end{array}\right)=1\cdot4+1\cdot 2+(-2)\cdot 3=0\;\checkmark$
und
$\def\arraystretch{1.25} \left(\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ -2\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l}2 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)=1\cdot 2+0 -2=0\;\checkmark$
Somit verläuft $g$ senkrecht zu $E$ .
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Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes $D$ der Geraden $g$ mit der Ebene $E$ . (4 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen
Berechne die Koordinaten des Schnittpunktes $D$ der Geraden $g$ mit der Ebene $E$
Setze $g = E$ :
$\def\arraystretch{1.25} \left(\begin{array}{c}2 \\ 1 \\ -1\end{array}\right)+r \cdot\left(\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 4\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{l}4 \\ 2 \\ 3\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{l}2 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)$
$\def\arraystretch{1.25} \Rightarrow\;\begin{pmatrix}2 \\ 1 \\ -1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ 4\end{pmatrix}=r\cdot \left(\begin{array}{l}-1 \\ -1 \\ 2\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{l}4 \\ 2 \\ 3\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{l}2 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)$
$\def\arraystretch{1.25} \Rightarrow\;\begin{pmatrix}2\\0\\-5\end{pmatrix}=r\cdot \left(\begin{array}{l}-1 \\ -1 \\ 2\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{l}4 \\ 2 \\ 3\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{l}2 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)$
Man erhält dann das folgende Gleichungssystem:
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccc}\mathrm{I}&-1\cdot r&+&4\cdot s&+&2\cdot t&=2\\\mathrm{II}&-1\cdot r&+&2\cdot s&+&0\cdot t&=0\\\mathrm{III}&2\cdot r&+&3\cdot s&+&1\cdot t&=-5\end{array}$
Aus Gleichung $\mathrm{II}$ folgt: $r = 2 s$
Setze $r = 2 s$ in Gleichung $\mathrm{I}$ und $\mathrm{III}$ ein:
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccc}\mathrm{I}&-1\cdot 2s&+&4\cdot s&+&2\cdot t&=2\\\mathrm{III}&2\cdot 2s&+&3\cdot s&+&1\cdot t&=-5\end{array}$
Zusammengefasst folgt:
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccc}\mathrm{I'}&2\cdot s&+&2\cdot t&=2\\\mathrm{III'}&7\cdot s&+&1\cdot t&=-5 \end{array}$
Rechne $\mathrm{I'}+(-2)\cdot\mathrm{III'}:$
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrrrrcrr}&\mathrm{I'}:&2\cdot s&+&2\cdot t&=&2\\&+(-2)\cdot\mathrm{III'}:&-14\cdot s&-&2\cdot t&=&10 \\ \hline &&-12\cdot s&+&0&=&12&\end{array}$
Damit ist $s=\dfrac{12}{-12}=-1$ . Dann folgt $r=2\cdot s=2\cdot (-1)=-2$ und $t = 1 - s = 1 - (- 1) = 2$
Setze $r = - 2$ in $g$ ein:
$\overrightarrow{OD}=\begin{pmatrix}2 \\ 1 \\ -1\end{pmatrix}+(-2) \cdot\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ -2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\-1\\3\end{pmatrix}\;\Rightarrow\;D(0|-1|3)$
Die Koordinaten des Schnittpunktes $D$ der Geraden $g$ mit der Ebene $E$ lauten $D (0 ∣ - 1 ∣ 3)$ .
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Setze $g = E$ und löse das Gleichungssystem $\;\Rightarrow\;r,s,t$ .
Setze das Berechnete $r$ in $g$ ein $\;\Rightarrow\;D$ .

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das?

Aufgabe 5

Weise nach, dass die Gerade ggg senkrecht zur Ebene EEE verläuft

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Berechne die Koordinaten des Schnittpunktes DDD der Geraden ggg mit der Ebene EEE

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Weise nach, dass die Gerade $g$ senkrecht zur Ebene $E$ verläuft

Berechne die Koordinaten des Schnittpunktes $D$ der Geraden $g$ mit der Ebene $E$