B4 - lernen mit Serlo!

Aufgabe 5

Die Aufgabe 5 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.

„Schraubenwind“ stellt noch einen zweiten Schraubentyp her. Die Schichtdicke (gemessen in $\mu \mathrm{m}$ ⁣) einer zufällig ausgewählten Schraube dieses Typs lässt sich näherungsweise durch eine Normalverteilung mit $\mu=8{,}2$ und $\sigma=0{,}4$ (beides in $\mu \mathrm{m}$ ⁣) beschreiben.

Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Schichtdicke (in $\mu \mathrm{m}$ ⁣) einer zufällig ausgewählten Schraube zwischen $7,5$ und $8,5$ liegt. (2 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Normalverteilung
Ermittele die Wahrscheinlichkeit, dass die Schichtdicke (in $\mu \mathrm{m}$ ⁣) einer zufällig ausgewählten Schraube zwischen $7,5$ und $8,5$ liegt
Gegeben ist eine Normalverteilung mit $\mu = 8{,}2$ und $\sigma= 0{,}4$ .
Der TR liefert $P (7,5 \leq X \leq 8,5) \approx 0,7333 P(7{,}5 ≤ X ≤ 8{,}5) ≈ 0{,}7333$ .
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Schichtdicke einer Schraube in dem geforderten Intervall liegt, beträgt daher ca. $73{,}33\;\%$ .
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Berechne für eine Normalverteilung $P (7,5 \leq X \leq 8,5) P(7{,}5 ≤ X ≤ 8{,}5)$ .
Zu einer Normalverteilung mit der Dichtefunktion $\varphi$ bezeichnet man die Funktion $\Phi$ mit $\Phi(x)=\displaystyle\int_{-\infty}^{x} \varphi(t)\; \mathrm{d} t$ als Verteilungsfunktion.
In Abbildung 1 ist die Dichtefunktion einer Normalverteilung dargestellt.
Entscheiden Sie für beide Abbildungen jeweils begründet, ob es sich um eine Normalverteilung mit den Parametern $\mu=8{,}2$ und $\sigma=0{,}4$ handeln kann.
(2 P + 2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Normalverteilung
Entscheide für beide Abbildungen jeweils begründet, ob es sich um eine Normalverteilung mit den Parametern $\mu=8{,}2$ und $\sigma=0{,}4$ handeln kann
Abbildung 1:
Der Erwartungswert passt:
Die Maximalstelle des Graphen ist $x = 8,2$ .
Bei einer Standardabweichung von $0,4$ gilt: $P(8{,}2 − 3⋅0{,}4 ≤ X ≤ 8{,}2 + 3⋅0{,}4)=P(7\leq X \leq9{,}4)\approx 1$ .
Es ist aber deutlich erkennbar, dass außerhalb des Intervalls $[7; 9,4]$ erhebliche Flächenteile übrig bleiben.
Der Graph passt also nicht zu den gegebenen Parametern.
Abbildung 2:
Der Erwartungswert passt:
$y = 0,5$ wird an der Stelle $x = 8,2$ angenommen.
Bei einer Standardabweichung von $0,4$ werden Werte innerhalb des Intervalls
$[8,2 - 0,4; 8,2 + 0,4] = [7,8; 8,6]$ mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $68 %$ angenommen. Werte im Intervall $[−\infty;7{,}8]$ haben damit eine Wahrscheinlichkeit von ca. $\dfrac{1-0{,}68}{2}=0{,}16= 16\;\%$ . An der Stelle $x = 7,8$ beträgt der y-Wert ca. $0,16$ .
Der Graph passt daher zu den gegebenen Parametern.
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Abbildung 1:
Prüfe, ob die Maximalstelle des Graphens bei x=8,2 liegt.
Bei einer Standardabweichung von $0,4$ gilt: $P(7\leq X \leq9{,}4)\approx 1$ .
In der Abbildung bleiben außerhalb des Intervalls $[7; 9,4]$ erhebliche Flächenteile übrig. Was bedeutet das?
Abbildung 2:
An der Stelle $x = 8,2$ muss $y = 0,5$ sein. Stimmt das?
Innerhalb einer 1- $\sigma$ -Umgebung von $μ \mu$ liegen die Werte innerhalb des Intervalls $[7,8; 8,6]$ mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $68 %$ . Werte im Intervall $[−\infty;7{,}8]$ haben eine Wahrscheinlichkeit von ca. $16 %$ .
Wie groß ist an der Stelle $x = 7,8$ der y-Wert? Entspricht dieser Wert $16 %$ .

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das?

Aufgabe 5

Ermittele die Wahrscheinlichkeit, dass die Schichtdicke (in μm\mu \mathrm{m}μm⁣) einer zufällig ausgewählten Schraube zwischen 7,57{,}57,5 und 8,58{,}58,5 liegt

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Entscheide für beide Abbildungen jeweils begründet, ob es sich um eine Normalverteilung mit den Parametern μ=8,2\mu=8{,}2μ=8,2 und σ=0,4\sigma=0{,}4σ=0,4 handeln kann

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Ermittele die Wahrscheinlichkeit, dass die Schichtdicke (in $\mu \mathrm{m}$ ⁣) einer zufällig ausgewählten Schraube zwischen $7,5$ und $8,5$ liegt

Entscheide für beide Abbildungen jeweils begründet, ob es sich um eine Normalverteilung mit den Parametern $\mu=8{,}2$ und $\sigma=0{,}4$ handeln kann