Berechne, um wie viel Prozent sich das Volumen des Gebäudes $ABCGEF$ im Vergleich zum Volumen des Prismas $ABCDEF$ verkleinert hat

Bekannt sind $A_{DEF}=2400\mathrm{F}\mathrm{E}$ und $V_{\text{Prisma }}=590400\mathrm{V}\mathrm{E}.$

Das Pyramidenvolumen berechnet sich mit $V_{\text{Pyramide }}={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot A_{DEF}\cdot h$.

Dabei ist $h=246-146=100\mathrm{m}$.

$\Rightarrow V_{\text{Pyramide }}={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot 2400\cdot 100=80000\mathrm{V}\mathrm{E}$

Mit ${\displaystyle \frac{80000}{590400}}\approx \mathrm{0,1355}$ hat sich das Volumen um ca. $\mathrm{13,55}\%$ verkleinert.

Berechne den Winkel zwischen den Kanten $\overline{FC}$ und $\overline{FG}$

Berechne die Vektoren $\overrightarrow{FC}$ und $\overrightarrow{FG}$ und ihre Beträge:

$\overrightarrow{FC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OF}=\left(\begin{array}{c}0\\ 100\\ 0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}0\\ 100\\ 246\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -246\end{array}\right)$

$\left|\overrightarrow{FC}\right|=246$

$\overrightarrow{FG}=\overrightarrow{OG}-\overrightarrow{OF}=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 146\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}0\\ 100\\ 246\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ -100\\ -100\end{array}\right)$

$\left|\overrightarrow{FG}\right|=\sqrt{0+(-100{)}^2+(-100{)}^2}=\sqrt{20000}=100\cdot \sqrt{2}$

Für den Winkel $\alpha$ zwischen den Kanten $\overline{FC}$ und $\overline{FG}$ gilt dann:

$\cos \alpha ={\displaystyle \frac{\overrightarrow{FC}\circ \overrightarrow{FG}}{\left|\overrightarrow{FC}\right|\cdot \left|\overrightarrow{FG}\right|}}={\displaystyle \frac{\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -246\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}0\\ -100\\ -100\end{array}\right)}{246\cdot 100\cdot \sqrt{2}}}={\displaystyle \frac{(-246)\cdot (-100)}{246\cdot 100\cdot \sqrt{2}}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$.

Dann ist $\alpha =co{s}^{-1}\left({\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\right)={45}^{\circ }$.