B3

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Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 1
In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte $A (0 ∣ 0 ∣ 0), B, C (0 ∣ 100 ∣ 0)$ , $D (0 ∣ 0 ∣ 246), E (48 ∣ 64 ∣ 246)$ und $F (0 ∣ 100 ∣ 246)$ sowie der Punkt $G (0 ∣ 0 ∣ 146)$ gegeben.
Abbildung
1. Der in der Abbildung dargestellte Körper $A B C D E F$ ist ein dreieckiges Prisma.
  Geben Sie die Koordinaten des Punktes $B$ an. (1 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektor
  Gib die Koordinaten des Punktes $B$ an
  Der Punkt $B$ liegt in der $x_{1} x_{2}$ -Ebene senkrecht unterhalb von $E (48 ∣ 64 ∣ 246)$ .
  Somit hat $B$ die Koordinaten $B (48 ∣ 64 ∣ 0)$ .
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  Der Punkt $B$ liegt in der $x_{1} x_{2}$ -Ebene senkrecht unterhalb von $E (48 ∣ 64 ∣ 246)$ .
2. Für $a \geq 0$ ist der Punkt $G_{a}(0|0| a)$ gegeben.
  Zeigen Sie, dass das Dreieck $G_{a} E F$ für jedes $a \geq 0$ im Punkt $E$ rechtwinklig ist. (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt
  Zeige, dass das Dreieck $G_{a} E F$ für jedes $a \geq 0$ im Punkt $E$ rechtwinklig ist
  Berechne die Vektoren $\overrightarrow{E G_{a}}$ und $\overrightarrow{E F}$ .
  $\overrightarrow{E G_{a}}=\overrightarrow{O G_{a}}-\overrightarrow{OE}=\begin{pmatrix}0\\0\\a\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}48\\64\\246\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-48\\-64\\a-246\end{pmatrix}$
  $\overrightarrow{E F}=\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OE}=\begin{pmatrix}0\\100\\246\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}48\\64\\246\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-48\\36\\0\end{pmatrix}$
  Damit das Dreieck $G_{a} E F$ für jedes $a \geq 0$ im Punkt $E$ rechtwinklig ist, muss das Skalarprodukt der beiden Vektoren $\overrightarrow{E G_{a}}$ und $\overrightarrow{E F}$ null ergeben.
  $\overrightarrow{E G_{a}} \cdot \overrightarrow{E F}=\begin{pmatrix}-48\\-64\\a-246\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}-48\\36\\0\end{pmatrix}=2304-2304+0=0$
  Für jedes $a \geq 0$ ist die Rechtwinkligkeit des Dreiecks $G_{a} E F$ im Punkt $E$ gegeben.
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  Berechne die Vektoren $\overrightarrow{E G_{a}}$ und $\overrightarrow{E F}$ und ihr Skalarprodukt, das gleich null sein muss.
3. Der Punkt $G_{a}$ soll die Strecke $\overline{A D}$ im Verhältnis $2 : 1$ teilen.
  Geben Sie ein $a \geq 0$ so an, dass $G_{a}$ diese Bedingung erfüllt. (1 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Strecke im Verhältnis teilen
  Gib ein $a \geq 0$ so an, dass $G_{a}$ diese Bedingung erfüllt
  Es ist $g_{AD}:\vec x=r\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\246\end{pmatrix}$ .
  Wenn der Punkt $G_{a}$ die Strecke $\overline{A D}$ im Verhältnis $2 : 1$ teilen soll, dann muss $r=\dfrac{2}{3}$ sein.
  $G_{a}$ liegt auf $g_{AD}$ $\;\Rightarrow\;\begin{pmatrix}0\\0\\a\end{pmatrix}=\dfrac{2}{3}\cdot \begin{pmatrix}0\\0\\246\end{pmatrix}$ $\;\Rightarrow\;a=\dfrac{2}{3}\cdot 246=164$
  Für $a = 164$ (bzw. $a = 82$ ) teilt $G_{a}$ die Strecke $\overline{A D}$ im Verhältnis $2 : 1$ .
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  $G_{a}$ liegt auf $g_{AD}$ .
  Wenn der Punkt $G_{a}$ die Strecke $\overline{A D}$ im Verhältnis $2 : 1$ teilen soll, dann muss der Parameter der Geraden $g_{AD}$ gleich $\dfrac{2}{3}$ sein.
4. Für $a = 246$ gilt $G_{a}=D$ .
  Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks $D E F$ und das Volumen des Prismas $A B C D E F$ . (3 P)
  $[$ Zur Kontrolle: $V_{\text {Prisma }}=590400\;\mathrm{VE}$ . $]$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prisma
  Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks $D E F$
  Das Dreieck $D E F$ ist rechtwinklig (siehe Aufgabe b) im Punkt $E$ .
  $A_{DEF}=\dfrac{1}{2}\cdot |\overrightarrow{E D}|\cdot |\overrightarrow{E F}|$
  $\overrightarrow{ED}=\begin{pmatrix}-48\\-64\\0\end{pmatrix}\;\Rightarrow\;\left|\overrightarrow{ED}\right|=\sqrt{(-48)^2+(-64)^2}=80$
  $\overrightarrow{E F}=\begin{pmatrix}-48\\36\\0\end{pmatrix}\;\Rightarrow\;\left|\overrightarrow{EF}\right|=\sqrt{(-48)^2+36^2}=60$
  $A_{DEF}=\dfrac{1}{2}\cdot 80\cdot 60=2400$
  Der Flächeninhalt des Dreiecks $D E F$ beträgt $2400\;\text{FE}.$
  Berechne das Volumen des Prismas $A B C D E F$
  Es gilt: $V_{\text {Prisma }}=A_{\text {DEF }} \cdot h_{\text {Prisma }}$
  Dabei ist $A_{DEF}=2400$ und $h_{\text {Prisma }}$ ist gleich der $x_{3}$ -Koordinate von $D$ .
  $\Rightarrow\;V_{\text {Prisma }}=2400 \cdot 246=590400$
  Das Volumen des Prismas $A B C D E F$ beträgt $590400\;\text{VE}$ .
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  Teil 1
  Das Dreieck $D E F$ ist rechtwinklig (siehe Aufgabe b) im Punkt $E$ . $A_{DEF}=\dfrac{1}{2}\cdot |\overrightarrow{E D}|\cdot |\overrightarrow{E F}|$
  Teil 2
  Es gilt: $V_{\text {Prisma }}=A_{\text {DEF }} \cdot h_{\text {Prisma }}$
  $A_{DEF}$ wurde im Teil 1 berechnet und $h_{\text {Prisma }}$ ist gleich der $x_{3}$ -Koordinate von $D$ .
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Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 2
Die Aufgabe 2 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.
In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte $A (0 ∣ 0 ∣ 0), B, C (0 ∣ 100 ∣ 0)$ , $D (0 ∣ 0 ∣ 246), E (48 ∣ 64 ∣ 246)$ und $F (0 ∣ 100 ∣ 246)$ sowie der Punkt $G (0 ∣ 0 ∣ 146)$ gegeben.
Weiterhin bekannt ist der Flächeninhalt des Dreiecks $A_{DEF}=2400\mathrm{~FE}$ und das Volumen des Prismas aus Aufgabe 1: $V_{\text {Prisma }}=590400\mathrm{~VE}.$
Abbildung
Ein Architekturbüro plant den Neubau eines Wolkenkratzers, der durch den Körper mit den Eckpunkten $A B C G E F$ modelliert wird, wobei im gewählten Koordinatensystem eine Längeneinheit einem Meter in der Realität entspricht.
1. Die Länge der Kante $\overline{A G}$ musste wegen der geltenden Bauvorschriften im Vergleich zur Länge der Kante $\overline{A D}$ um $100\mathrm{~m}$ auf $146\mathrm{~m}$ reduziert werden. Durch diese Reduzierung wird von dem Prisma $A B C D E F$ eine Pyramide mit der Grundfläche $D E F$ abgeschnitten.
  Berechnen Sie, um wie viel Prozent sich das Volumen des Gebäudes $A B C G E F$ im Vergleich zum Volumen des Prismas $A B C D E F$ verkleinert hat. (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pyramide
  Berechne, um wie viel Prozent sich das Volumen des Gebäudes $A B C G E F$ im Vergleich zum Volumen des Prismas $A B C D E F$ verkleinert hat
  Bekannt sind $A_{DEF}=2400\mathrm{~FE}$ und $V_{\text {Prisma }}=590400\mathrm{~VE}.$
  Das Pyramidenvolumen berechnet sich mit $V_{\text {Pyramide }}=\dfrac{1}{3}\cdot A_{DEF} \cdot h$ .
  Dabei ist $h=246-146=100\mathrm{~m}$ .
  $\Rightarrow\;V_{\text {Pyramide }}=\dfrac{1}{3}\cdot 2400 \cdot 100=80000\mathrm{~VE}$
  Mit $\dfrac{80000}{590400} \approx 0{,}1355$ hat sich das Volumen um ca. $13{,}55 \;\%$ verkleinert.
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  Das Pyramidenvolumen berechnet sich mit $V_{\text {Pyramide }}=\dfrac{1}{3}\cdot A_{DEF} \cdot h$ .
  Bilde das Verhältnis $\dfrac{V_{\text {Pyramide }}}{V_{\text {Prisma }}}$ .
2. Berechnen Sie den Winkel zwischen den Kanten $\overline{F C}$ und $\overline{F G}$ . (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Winkel zwischen zwei Vektoren
  Berechne den Winkel zwischen den Kanten $\overline{F C}$ und $\overline{F G}$
  Berechne die Vektoren $\overrightarrow{FC}$ und $\overrightarrow{ FG}$ und ihre Beträge:
  $\overrightarrow{FC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OF}=\begin{pmatrix}0\\100\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\100\\246\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\-246\end{pmatrix}$
  $\left|\overrightarrow{FC}\right|=246$
  $\overrightarrow{FG}=\overrightarrow{OG}-\overrightarrow{OF}=\begin{pmatrix}0\\0\\146\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\100\\246\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\-100\\-100\end{pmatrix}$
  $\left|\overrightarrow{FG}\right|=\sqrt{0+(-100)^2+(-100)^2}=\sqrt{20000}=100\cdot\sqrt{2}$
  Für den Winkel $\alpha$ zwischen den Kanten $\overline{F C}$ und $\overline{F G}$ gilt dann:
  $\cos \alpha=\dfrac{\overrightarrow{FC}\circ \overrightarrow{FG}}{\left|\overrightarrow{FC}\right|\cdot\left|\overrightarrow{FG}\right|}=\dfrac{\begin{pmatrix}0\\0\\-246\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}0\\-100\\-100\end{pmatrix}}{246\cdot100\cdot\sqrt{2}}=\dfrac{(-246)\cdot(-100)}{246\cdot100\cdot\sqrt{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ .
  Dann ist $\alpha=cos^{-1}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=45^{\circ}$ .
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  Berechne die Vektoren $\overrightarrow{FC}$ und $\overrightarrow{ FG}$ und ihre Beträge.
  Dann ist $\cos \alpha=\dfrac{\overrightarrow{FC}\circ \overrightarrow{FG}}{\left|\overrightarrow{FC}\right|\cdot\left|\overrightarrow{FG}\right|}.$
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Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 3
Die Aufgabe 3 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.
In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte $A (0 ∣ 0 ∣ 0), B, C (0 ∣ 100 ∣ 0)$ , $D (0 ∣ 0 ∣ 246), E (48 ∣ 64 ∣ 246)$ und $F (0 ∣ 100 ∣ 246)$ sowie der Punkt $G (0 ∣ 0 ∣ 146)$ gegeben.
Abbildung
1. Zeigen Sie, dass $\def\arraystretch{1.25} E_{\text {Dach }}: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}48 \\ 64 \\ 246\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{c}-48 \\ -64 \\ -100\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c}-48 \\ 36 \\ 0\end{array}\right), s \in \mathbb{R}, t \in \mathbb{R}$ , eine Parametergleichung der Ebene ist, in der die Dachfläche $G E F$ liegt. (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene aus drei Punkten
  Zeige, dass
  $\def\arraystretch{1.25} E_{\text {Dach }}: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}48 \\ 64 \\ 246\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{c}-48 \\ -64 \\ -100\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c}-48 \\ 36 \\ 0\end{array}\right), s \in \mathbb{R}, t \in \mathbb{R}$ ,
  eine Parametergleichung der Ebene ist, in der die Dachfläche $G E F$ liegt
  Berechne die Vektoren $\overrightarrow{EG}$ und $\overrightarrow{EF}$ .
  $\overrightarrow{EG}=\overrightarrow{OG}-\overrightarrow{OE}=\begin{pmatrix}0\\0\\146\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}48\\64\\246\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-48\\-64\\-100\end{pmatrix}$
  $\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OE}=\begin{pmatrix}0\\100\\246\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}48\\64\\246\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-48\\36\\0\end{pmatrix}$
  Dann folgt für die Parametergleichung der Ebene $E_{\text {Dach }}$ :
  $E_{\text {Dach }}: \vec{x}=\overrightarrow{O E}+s \cdot \overrightarrow{E G}+t \cdot \overrightarrow{E F}=\begin{pmatrix}48\\64\\246\end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix}-48\\-64\\-100\end{pmatrix}+t \cdot \begin{pmatrix}-48\\36\\0\end{pmatrix}$
  (mit $s \in \mathbb{R}, t \in \mathbb{R}$ )
  Somit ist die gegebene Ebene eine Parametergleichung der Ebene $E_{\text {Dach }}$ .
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  Berechne die Vektoren $\overrightarrow{EG}$ und $\overrightarrow{EF}$ .
  Berechne dann die Ebenengleichung $E_{\text {Dach }}: \vec{x}=\overrightarrow{O E}+s \cdot \overrightarrow{E G}+t \cdot \overrightarrow{E F}$ und vergleiche mit der gegebenen Ebenengleichung.
2. Alle Punkte der dreieckigen Dachfläche $G E F$ sind gegeben durch
  $\def\arraystretch{1.25} \vec{x}=\left(\begin{array}{c}48 \\64 \\246\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{c}-48 \\-64 \\-100\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c}-48 \\36 \\0\end{array}\right), s \geq 0, t \geq 0, s+t \leq 1$
  Ein Lufttaxi soll den Wolkenkratzer mit einem anderen Wolkenkratzer verbinden. Im letzten Teil des Fluges soll es auf einer Strecke fliegen, die vereinfachend als Teil der Geraden $\def\arraystretch{1.25} g: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}4 \\ 10 \\ 200\end{array}\right)+k \cdot\left(\begin{array}{c}3 \\ 7 \\ -1\end{array}\right), k \in \mathbb{R}$ , modelliert werden kann.
  Zeigen Sie rechnerisch, dass die Gerade $g$ einen Punkt der dreieckigen Dachfläche $G E F$ enthält. (4 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen
  Zeige rechnerisch, dass die Gerade $g$ einen Punkt der dreieckigen Dachfläche $G E F$ enthält
  Gegeben sind $\def\arraystretch{1.25} E_{\text {GEF }}: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}48 \\64 \\246\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{c}-48 \\-64 \\-100\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c}-48 \\36 \\0\end{array}\right), s \geq 0, t \geq 0, s+t \leq 1$ und $\def\arraystretch{1.25} g: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}4 \\ 10 \\ 200\end{array}\right)+k \cdot\left(\begin{array}{c}3 \\ 7 \\ -1\end{array}\right), k \in \mathbb{R}$
  Schneide $g$ mit $E$ :
  $\def\arraystretch{1.25} \left(\begin{array}{c}48 \\ 64 \\ 246\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{c}-48 \\ -64 \\ -100\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c}-48 \\ 36 \\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4 \\ 10 \\ 200\end{array}\right)+k \cdot\left(\begin{array}{c}3 \\ 7 \\ -1\end{array}\right)$
  Man erhält das Gleichungssystem:
  $\def\arraystretch{1.25} \left|\begin{array}{l}-48 s\;-48 t-3 k=-44 \\ -64 s\;+36 t-7 k=-54 \\ -100 s+0t\;+\;k=-46\end{array}\right|$ .
  Der TR liefert als Lösung $s=\frac{1}{2}, t=\frac{1}{6}$ und $k = 4$ .
  Wenn der Schnittpunkt im Dreieck $G E F$ liegen soll, dann müssen die Bedingungen $s \geq 0, t \geq 0, s+t \leq 1$ erfüllt sein.
  $s=\frac{1}{2}\geq 0, t=\frac{1}{6}\geq 0$ und $\frac{1}{2}+\frac{1}{6}=\frac{2}{3}\leq 1\;\checkmark$
  Alle 3 Bedingungen sind erfüllt. Somit enthält die Gerade $g$ einen Punkt der dreieckigen Dachfläche $G E F$ .
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  Schneide $g$ mit $E$ $\;\Rightarrow\;s, t, k.$
  Wenn der Schnittpunkt im Dreieck $G E F$ liegen soll, dann müssen die Bedingungen $s \geq 0, t \geq 0, s+t \leq 1$ erfüllt sein.
  Überprüfe die Bedingungen mit Deinen Lösungen.
3. Ein weiteres Lufttaxi erreicht im Punkt $Q (16 ∣ 38 ∣ 196)$ die Dachfläche, nachdem es $45\mathrm{~m}$ auf einer Strecke in Richtung $\def\arraystretch{1.25} \vec{v}=\left(\begin{array}{c}10 \\ 11 \\ -2\end{array}\right)$ geflogen ist.
  Ermitteln Sie den Startpunkt dieser geradlinigen Flugstrecke. (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektor
  Ermittele den Startpunkt dieser geradlinigen Flugstrecke
  Gegeben: Das Lufttaxi fliegt $45\mathrm{~m}$ auf einer Strecke in Richtung $\def\arraystretch{1.25} \vec{v}=\left(\begin{array}{c}10 \\ 11 \\ -2\end{array}\right)$ und erreicht im Punkt $Q (16 ∣ 38 ∣ 196)$ die Dachfläche.
  Berechne $|\vec v|$ :
  $|\vec v|=\sqrt{10^2+11^2+(-2)^2}=\sqrt{225}=15$
  Da das Lufttaxi $45\mathrm{~m}$ geflogen ist, muss vom Punkt $P$ aus dreimal der Vektor $\vec v$ addiert werden, um zum Punkt $Q (16 ∣ 38 ∣ 196)$ zu gelangen.
  $\;\Rightarrow\;\overrightarrow{O P}+3\cdot \begin{pmatrix}10\\11\\-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}16\\38\\196\end{pmatrix}\;\Rightarrow\;\overrightarrow{O P}=\begin{pmatrix}16\\38\\196\end{pmatrix}-3\cdot \begin{pmatrix}10\\11\\-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-14\\5\\202\end{pmatrix}$
  Der Startpunkt dieser geradlinigen Flugstrecke hat die Koordinaten $P (- 14 ∣ 5 ∣ 202)$ .
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  Berechne $|\vec v|$ .
  Da das Lufttaxi $45\mathrm{~m}$ geflogen ist, muss vom Punkt $P$ aus dreimal der Vektor $\vec v$ addiert werden, um zum Punkt $Q (16 ∣ 38 ∣ 196)$ zu gelangen.
  Löse die Gleichung nach $P$ auf.

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

B3

Aufgabe 1

Gib die Koordinaten des Punktes BBB an

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Zeige, dass das Dreieck GaEFG_{a} E FGa​EF für jedes a≥0a \geq 0a≥0 im Punkt EEE rechtwinklig ist

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Gib ein a≥0a \geq 0a≥0 so an, dass GaG_{a}Ga​ diese Bedingung erfüllt

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Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks DEFDEFDEF

Berechne das Volumen des Prismas ABCDEFABCDEFABCDEF

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Aufgabe 2

Berechne, um wie viel Prozent sich das Volumen des Gebäudes ABCGEFABCGEFABCGEF im Vergleich zum Volumen des Prismas ABCDEFABCDEFABCDEF verkleinert hat

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Berechne den Winkel zwischen den Kanten FC‾\overline{F C}FC und FG‾\overline{F G}FG

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Aufgabe 3

Zeige, dass

eine Parametergleichung der Ebene ist, in der die Dachfläche GEFGEFGEF liegt

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Zeige rechnerisch, dass die Gerade ggg einen Punkt der dreieckigen Dachfläche GEFGEFGEF enthält

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Ermittele den Startpunkt dieser geradlinigen Flugstrecke

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Gib die Koordinaten des Punktes $B$ an

Zeige, dass das Dreieck $G_{a} E F$ für jedes $a \geq 0$ im Punkt $E$ rechtwinklig ist

Gib ein $a \geq 0$ so an, dass $G_{a}$ diese Bedingung erfüllt

Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks $D E F$

Berechne das Volumen des Prismas $A B C D E F$

Berechne, um wie viel Prozent sich das Volumen des Gebäudes $A B C G E F$ im Vergleich zum Volumen des Prismas $A B C D E F$ verkleinert hat

Berechne den Winkel zwischen den Kanten $\overline{F C}$ und $\overline{F G}$

eine Parametergleichung der Ebene ist, in der die Dachfläche $G E F$ liegt

Zeige rechnerisch, dass die Gerade $g$ einen Punkt der dreieckigen Dachfläche $G E F$ enthält