B3

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1
Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 1
In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte $A (0 | 0 | 0), B, C (0 | 100 | 0)$ , $D (0 | 0 | 246), E (48 | 64 | 246)$ und $F (0 | 100 | 246)$ sowie der Punkt $G (0 | 0 | 146)$ gegeben.
Abbildung
1. Der in der Abbildung dargestellte Körper $A B C D E F$ ist ein dreieckiges Prisma.
  Geben Sie die Koordinaten des Punktes $B$ an. (1 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektor
  Gib die Koordinaten des Punktes $B$ an
  Der Punkt $B$ liegt in der $x_{1} x_{2}$ -Ebene senkrecht unterhalb von $E (48 | 64 | 246)$ .
  Somit hat $B$ die Koordinaten $B (48 | 64 | 0)$ .
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  Der Punkt $B$ liegt in der $x_{1} x_{2}$ -Ebene senkrecht unterhalb von $E (48 | 64 | 246)$ .
2. Für $a \geq 0$ ist der Punkt $G_{a} (0 | 0 | a)$ gegeben.
  Zeigen Sie, dass das Dreieck $G_{a} E F$ für jedes $a \geq 0$ im Punkt $E$ rechtwinklig ist. (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt
  Zeige, dass das Dreieck $G_{a} E F$ für jedes $a \geq 0$ im Punkt $E$ rechtwinklig ist
  Berechne die Vektoren $\vec{E G_{a}}$ und $\vec{E F}$ .
  $\vec{E G_{a}} = \vec{O G_{a}} - \vec{O E} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ a \end{array}) - (\begin{array}{c} 48 \\ 64 \\ 246 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 48 \\ - 64 \\ a - 246 \end{array})$
  $\vec{E F} = \vec{O F} - \vec{O E} = (\begin{array}{c} 0 \\ 100 \\ 246 \end{array}) - (\begin{array}{c} 48 \\ 64 \\ 246 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 48 \\ 36 \\ 0 \end{array})$
  Damit das Dreieck $G_{a} E F$ für jedes $a \geq 0$ im Punkt $E$ rechtwinklig ist, muss das Skalarprodukt der beiden Vektoren $\vec{E G_{a}}$ und $\vec{E F}$ null ergeben.
  $\vec{E G_{a}} \cdot \vec{E F} = (\begin{array}{c} - 48 \\ - 64 \\ a - 246 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} - 48 \\ 36 \\ 0 \end{array}) = 2304 - 2304 + 0 = 0$
  Für jedes $a \geq 0$ ist die Rechtwinkligkeit des Dreiecks $G_{a} E F$ im Punkt $E$ gegeben.
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  Berechne die Vektoren $\vec{E G_{a}}$ und $\vec{E F}$ und ihr Skalarprodukt, das gleich null sein muss.
3. Der Punkt $G_{a}$ soll die Strecke $A D$ im Verhältnis $2 : 1$ teilen.
  Geben Sie ein $a \geq 0$ so an, dass $G_{a}$ diese Bedingung erfüllt. (1 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Strecke im Verhältnis teilen
  Gib ein $a \geq 0$ so an, dass $G_{a}$ diese Bedingung erfüllt
  Es ist $g_{A D} : \vec{x} = r \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 246 \end{array})$ .
  Wenn der Punkt $G_{a}$ die Strecke $A D$ im Verhältnis $2 : 1$ teilen soll, dann muss $r = \frac{2}{3}$ sein.
  $G_{a}$ liegt auf $g_{A D}$ $\Rightarrow (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ a \end{array}) = \frac{2}{3} \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 246 \end{array})$ $\Rightarrow a = \frac{2}{3} \cdot 246 = 164$
  Für $a = 164$ (bzw. $a = 82$ ) teilt $G_{a}$ die Strecke $A D$ im Verhältnis $2 : 1$ .
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  $G_{a}$ liegt auf $g_{A D}$ .
  Wenn der Punkt $G_{a}$ die Strecke $A D$ im Verhältnis $2 : 1$ teilen soll, dann muss der Parameter der Geraden $g_{A D}$ gleich $\frac{2}{3}$ sein.
4. Für $a = 246$ gilt $G_{a} = D$ .
  Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks $D E F$ und das Volumen des Prismas $A B C D E F$ . (3 P)
  $[$ Zur Kontrolle: $V_{Prisma} = 590400 VE$ . $]$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prisma
  Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks $D E F$
  Das Dreieck $D E F$ ist rechtwinklig (siehe Aufgabe b) im Punkt $E$ .
  $A_{D E F} = \frac{1}{2} \cdot | \vec{E D} | \cdot | \vec{E F} |$
  $\vec{E D} = (\begin{array}{c} - 48 \\ - 64 \\ 0 \end{array}) \Rightarrow | \vec{E D} | = \sqrt{(- 48)^{2} + (- 64)^{2}} = 80$
  $\vec{E F} = (\begin{array}{c} - 48 \\ 36 \\ 0 \end{array}) \Rightarrow | \vec{E F} | = \sqrt{(- 48)^{2} + 36^{2}} = 60$
  $A_{D E F} = \frac{1}{2} \cdot 80 \cdot 60 = 2400$
  Der Flächeninhalt des Dreiecks $D E F$ beträgt $2400 FE .$
  Berechne das Volumen des Prismas $A B C D E F$
  Es gilt: $V_{Prisma} = A_{DEF} \cdot h_{Prisma}$
  Dabei ist $A_{D E F} = 2400$ und $h_{Prisma}$ ist gleich der $x_{3}$ -Koordinate von $D$ .
  $\Rightarrow V_{Prisma} = 2400 \cdot 246 = 590400$
  Das Volumen des Prismas $A B C D E F$ beträgt $590400 VE$ .
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  Teil 1
  Das Dreieck $D E F$ ist rechtwinklig (siehe Aufgabe b) im Punkt $E$ . $A_{D E F} = \frac{1}{2} \cdot | \vec{E D} | \cdot | \vec{E F} |$
  Teil 2
  Es gilt: $V_{Prisma} = A_{DEF} \cdot h_{Prisma}$
  $A_{D E F}$ wurde im Teil 1 berechnet und $h_{Prisma}$ ist gleich der $x_{3}$ -Koordinate von $D$ .
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Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 2
Die Aufgabe 2 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.
In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte $A (0 | 0 | 0), B, C (0 | 100 | 0)$ , $D (0 | 0 | 246), E (48 | 64 | 246)$ und $F (0 | 100 | 246)$ sowie der Punkt $G (0 | 0 | 146)$ gegeben.
Weiterhin bekannt ist der Flächeninhalt des Dreiecks $A_{D E F} = 2400 F E$ und das Volumen des Prismas aus Aufgabe 1: $V_{Prisma} = 590400 V E .$
Abbildung
Ein Architekturbüro plant den Neubau eines Wolkenkratzers, der durch den Körper mit den Eckpunkten $A B C G E F$ modelliert wird, wobei im gewählten Koordinatensystem eine Längeneinheit einem Meter in der Realität entspricht.
1. Die Länge der Kante $A G$ musste wegen der geltenden Bauvorschriften im Vergleich zur Länge der Kante $A D$ um $100 m$ auf $146 m$ reduziert werden. Durch diese Reduzierung wird von dem Prisma $A B C D E F$ eine Pyramide mit der Grundfläche $D E F$ abgeschnitten.
  Berechnen Sie, um wie viel Prozent sich das Volumen des Gebäudes $A B C G E F$ im Vergleich zum Volumen des Prismas $A B C D E F$ verkleinert hat. (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pyramide
  Berechne, um wie viel Prozent sich das Volumen des Gebäudes $A B C G E F$ im Vergleich zum Volumen des Prismas $A B C D E F$ verkleinert hat
  Bekannt sind $A_{D E F} = 2400 F E$ und $V_{Prisma} = 590400 V E .$
  Das Pyramidenvolumen berechnet sich mit $V_{Pyramide} = \frac{1}{3} \cdot A_{D E F} \cdot h$ .
  Dabei ist $h = 246 - 146 = 100 m$ .
  $\Rightarrow V_{Pyramide} = \frac{1}{3} \cdot 2400 \cdot 100 = 80000 V E$
  Mit $\frac{80000}{590400} \approx 0,1355$ hat sich das Volumen um ca. $13,55 %$ verkleinert.
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  Das Pyramidenvolumen berechnet sich mit $V_{Pyramide} = \frac{1}{3} \cdot A_{D E F} \cdot h$ .
  Bilde das Verhältnis $\frac{V_{Pyramide}}{V_{Prisma}}$ .
2. Berechnen Sie den Winkel zwischen den Kanten $F C$ und $F G$ . (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Winkel zwischen zwei Vektoren
  Berechne den Winkel zwischen den Kanten $F C$ und $F G$
  Berechne die Vektoren $\vec{F C}$ und $\vec{F G}$ und ihre Beträge:
  $\vec{F C} = \vec{O C} - \vec{O F} = (\begin{array}{c} 0 \\ 100 \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ 100 \\ 246 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ - 246 \end{array})$
  $| \vec{F C} | = 246$
  $\vec{F G} = \vec{O G} - \vec{O F} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 146 \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ 100 \\ 246 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ - 100 \\ - 100 \end{array})$
  $| \vec{F G} | = \sqrt{0 + (- 100)^{2} + (- 100)^{2}} = \sqrt{20000} = 100 \cdot \sqrt{2}$
  Für den Winkel $α$ zwischen den Kanten $F C$ und $F G$ gilt dann:
  $\cos α = \frac{\vec{F C} \circ \vec{F G}}{| \vec{F C} | \cdot | \vec{F G} |} = \frac{(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ - 246 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 0 \\ - 100 \\ - 100 \end{array})}{246 \cdot 100 \cdot \sqrt{2}} = \frac{(- 246) \cdot (- 100)}{246 \cdot 100 \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .
  Dann ist $α = c o s^{- 1} (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 45^{\circ}$ .
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  Berechne die Vektoren $\vec{F C}$ und $\vec{F G}$ und ihre Beträge.
  Dann ist $\cos α = \frac{\vec{F C} \circ \vec{F G}}{| \vec{F C} | \cdot | \vec{F G} |} .$
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Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 3
Die Aufgabe 3 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.
In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte $A (0 | 0 | 0), B, C (0 | 100 | 0)$ , $D (0 | 0 | 246), E (48 | 64 | 246)$ und $F (0 | 100 | 246)$ sowie der Punkt $G (0 | 0 | 146)$ gegeben.
Abbildung
1. Zeigen Sie, dass $E_{Dach} : \vec{x} = (\begin{array}{c} 48 \\ 64 \\ 246 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} - 48 \\ - 64 \\ - 100 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} - 48 \\ 36 \\ 0 \end{array}), s \in ℝ, t \in ℝ$ , eine Parametergleichung der Ebene ist, in der die Dachfläche $G E F$ liegt. (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene aus drei Punkten
  Zeige, dass
  $E_{Dach} : \vec{x} = (\begin{array}{c} 48 \\ 64 \\ 246 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} - 48 \\ - 64 \\ - 100 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} - 48 \\ 36 \\ 0 \end{array}), s \in ℝ, t \in ℝ$ ,
  eine Parametergleichung der Ebene ist, in der die Dachfläche $G E F$ liegt
  Berechne die Vektoren $\vec{E G}$ und $\vec{E F}$ .
  $\vec{E G} = \vec{O G} - \vec{O E} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 146 \end{array}) - (\begin{array}{c} 48 \\ 64 \\ 246 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 48 \\ - 64 \\ - 100 \end{array})$
  $\vec{E F} = \vec{O F} - \vec{O E} = (\begin{array}{c} 0 \\ 100 \\ 246 \end{array}) - (\begin{array}{c} 48 \\ 64 \\ 246 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 48 \\ 36 \\ 0 \end{array})$
  Dann folgt für die Parametergleichung der Ebene $E_{Dach}$ :
  $E_{Dach} : \vec{x} = \vec{O E} + s \cdot \vec{E G} + t \cdot \vec{E F} = (\begin{array}{c} 48 \\ 64 \\ 246 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} - 48 \\ - 64 \\ - 100 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} - 48 \\ 36 \\ 0 \end{array})$
  (mit $s \in ℝ, t \in ℝ$ )
  Somit ist die gegebene Ebene eine Parametergleichung der Ebene $E_{Dach}$ .
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  Berechne die Vektoren $\vec{E G}$ und $\vec{E F}$ .
  Berechne dann die Ebenengleichung $E_{Dach} : \vec{x} = \vec{O E} + s \cdot \vec{E G} + t \cdot \vec{E F}$ und vergleiche mit der gegebenen Ebenengleichung.
2. Alle Punkte der dreieckigen Dachfläche $G E F$ sind gegeben durch
  $\vec{x} = (\begin{array}{c} 48 \\ 64 \\ 246 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} - 48 \\ - 64 \\ - 100 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} - 48 \\ 36 \\ 0 \end{array}), s \geq 0, t \geq 0, s + t \leq 1$
  Ein Lufttaxi soll den Wolkenkratzer mit einem anderen Wolkenkratzer verbinden. Im letzten Teil des Fluges soll es auf einer Strecke fliegen, die vereinfachend als Teil der Geraden $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 4 \\ 10 \\ 200 \end{array}) + k \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ 7 \\ - 1 \end{array}), k \in ℝ$ , modelliert werden kann.
  Zeigen Sie rechnerisch, dass die Gerade $g$ einen Punkt der dreieckigen Dachfläche $G E F$ enthält. (4 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen
  Zeige rechnerisch, dass die Gerade $g$ einen Punkt der dreieckigen Dachfläche $G E F$ enthält
  Gegeben sind $E_{GEF} : \vec{x} = (\begin{array}{c} 48 \\ 64 \\ 246 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} - 48 \\ - 64 \\ - 100 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} - 48 \\ 36 \\ 0 \end{array}), s \geq 0, t \geq 0, s + t \leq 1$ und $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 4 \\ 10 \\ 200 \end{array}) + k \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ 7 \\ - 1 \end{array}), k \in ℝ$
  Schneide $g$ mit $E$ :
  $(\begin{array}{c} 48 \\ 64 \\ 246 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} - 48 \\ - 64 \\ - 100 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} - 48 \\ 36 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 4 \\ 10 \\ 200 \end{array}) + k \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ 7 \\ - 1 \end{array})$
  Man erhält das Gleichungssystem:
  $| \begin{array}{l} - 48 s - 48 t - 3 k = - 44 \\ - 64 s + 36 t - 7 k = - 54 \\ - 100 s + 0 t + k = - 46 \end{array} |$ .
  Der TR liefert als Lösung $s = \frac{1}{2}, t = \frac{1}{6}$ und $k = 4$ .
  Wenn der Schnittpunkt im Dreieck $G E F$ liegen soll, dann müssen die Bedingungen $s \geq 0, t \geq 0, s + t \leq 1$ erfüllt sein.
  $s = \frac{1}{2} \geq 0, t = \frac{1}{6} \geq 0$ und $\frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{2}{3} \leq 1 ✓$
  Alle 3 Bedingungen sind erfüllt. Somit enthält die Gerade $g$ einen Punkt der dreieckigen Dachfläche $G E F$ .
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  Schneide $g$ mit $E$ $\Rightarrow s, t, k .$
  Wenn der Schnittpunkt im Dreieck $G E F$ liegen soll, dann müssen die Bedingungen $s \geq 0, t \geq 0, s + t \leq 1$ erfüllt sein.
  Überprüfe die Bedingungen mit Deinen Lösungen.
3. Ein weiteres Lufttaxi erreicht im Punkt $Q (16 | 38 | 196)$ die Dachfläche, nachdem es $45 m$ auf einer Strecke in Richtung $\vec{v} = (\begin{array}{c} 10 \\ 11 \\ - 2 \end{array})$ geflogen ist.
  Ermitteln Sie den Startpunkt dieser geradlinigen Flugstrecke. (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektor
  Ermittele den Startpunkt dieser geradlinigen Flugstrecke
  Gegeben: Das Lufttaxi fliegt $45 m$ auf einer Strecke in Richtung $\vec{v} = (\begin{array}{c} 10 \\ 11 \\ - 2 \end{array})$ und erreicht im Punkt $Q (16 | 38 | 196)$ die Dachfläche.
  Berechne $| \vec{v} |$ :
  $| \vec{v} | = \sqrt{10^{2} + 11^{2} + (- 2)^{2}} = \sqrt{225} = 15$
  Da das Lufttaxi $45 m$ geflogen ist, muss vom Punkt $P$ aus dreimal der Vektor $\vec{v}$ addiert werden, um zum Punkt $Q (16 | 38 | 196)$ zu gelangen.
  $\Rightarrow \vec{O P} + 3 \cdot (\begin{array}{c} 10 \\ 11 \\ - 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 16 \\ 38 \\ 196 \end{array}) \Rightarrow \vec{O P} = (\begin{array}{c} 16 \\ 38 \\ 196 \end{array}) - 3 \cdot (\begin{array}{c} 10 \\ 11 \\ - 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 14 \\ 5 \\ 202 \end{array})$
  Der Startpunkt dieser geradlinigen Flugstrecke hat die Koordinaten $P (- 14 | 5 | 202)$ .
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  Berechne $| \vec{v} |$ .
  Da das Lufttaxi $45 m$ geflogen ist, muss vom Punkt $P$ aus dreimal der Vektor $\vec{v}$ addiert werden, um zum Punkt $Q (16 | 38 | 196)$ zu gelangen.
  Löse die Gleichung nach $P$ auf.

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

B3

Aufgabe 1

Gib die Koordinaten des Punktes B an

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Zeige, dass das Dreieck GaEF für jedes a≥0 im Punkt E rechtwinklig ist

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Gib ein a≥0 so an, dass Ga diese Bedingung erfüllt

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Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks DEF

Berechne das Volumen des Prismas ABCDEF

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Aufgabe 2

Berechne, um wie viel Prozent sich das Volumen des Gebäudes ABCGEF im Vergleich zum Volumen des Prismas ABCDEF verkleinert hat

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Berechne den Winkel zwischen den Kanten FC und FG

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Aufgabe 3

Zeige, dass

eine Parametergleichung der Ebene ist, in der die Dachfläche GEF liegt

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Zeige rechnerisch, dass die Gerade g einen Punkt der dreieckigen Dachfläche GEF enthält

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Ermittele den Startpunkt dieser geradlinigen Flugstrecke

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Gib die Koordinaten des Punktes $B$ an

Zeige, dass das Dreieck $G_{a} E F$ für jedes $a \geq 0$ im Punkt $E$ rechtwinklig ist

Gib ein $a \geq 0$ so an, dass $G_{a}$ diese Bedingung erfüllt

Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks $D E F$

Berechne das Volumen des Prismas $A B C D E F$

Berechne, um wie viel Prozent sich das Volumen des Gebäudes $A B C G E F$ im Vergleich zum Volumen des Prismas $A B C D E F$ verkleinert hat

Berechne den Winkel zwischen den Kanten $F C$ und $F G$

eine Parametergleichung der Ebene ist, in der die Dachfläche $G E F$ liegt

Zeige rechnerisch, dass die Gerade $g$ einen Punkt der dreieckigen Dachfläche $G E F$ enthält