B3 - lernen mit Serlo!

Aufgabe 3

Die Aufgabe 3 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte $A (0 | 0 | 0), B, C (0 | 100 | 0)$ , $D (0 | 0 | 246), E (48 | 64 | 246)$ und $F (0 | 100 | 246)$ sowie der Punkt $G (0 | 0 | 146)$ gegeben.

Zeigen Sie, dass $E_{Dach} : \vec{x} = (\begin{array}{c} 48 \\ 64 \\ 246 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} - 48 \\ - 64 \\ - 100 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} - 48 \\ 36 \\ 0 \end{array}), s \in ℝ, t \in ℝ$ , eine Parametergleichung der Ebene ist, in der die Dachfläche $G E F$ liegt. (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene aus drei Punkten
Zeige, dass
$E_{Dach} : \vec{x} = (\begin{array}{c} 48 \\ 64 \\ 246 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} - 48 \\ - 64 \\ - 100 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} - 48 \\ 36 \\ 0 \end{array}), s \in ℝ, t \in ℝ$ ,
eine Parametergleichung der Ebene ist, in der die Dachfläche $G E F$ liegt
Berechne die Vektoren $\vec{E G}$ und $\vec{E F}$ .
$\vec{E G} = \vec{O G} - \vec{O E} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 146 \end{array}) - (\begin{array}{c} 48 \\ 64 \\ 246 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 48 \\ - 64 \\ - 100 \end{array})$
$\vec{E F} = \vec{O F} - \vec{O E} = (\begin{array}{c} 0 \\ 100 \\ 246 \end{array}) - (\begin{array}{c} 48 \\ 64 \\ 246 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 48 \\ 36 \\ 0 \end{array})$
Dann folgt für die Parametergleichung der Ebene $E_{Dach}$ :
$E_{Dach} : \vec{x} = \vec{O E} + s \cdot \vec{E G} + t \cdot \vec{E F} = (\begin{array}{c} 48 \\ 64 \\ 246 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} - 48 \\ - 64 \\ - 100 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} - 48 \\ 36 \\ 0 \end{array})$
(mit $s \in ℝ, t \in ℝ$ )
Somit ist die gegebene Ebene eine Parametergleichung der Ebene $E_{Dach}$ .
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Berechne die Vektoren $\vec{E G}$ und $\vec{E F}$ .
Berechne dann die Ebenengleichung $E_{Dach} : \vec{x} = \vec{O E} + s \cdot \vec{E G} + t \cdot \vec{E F}$ und vergleiche mit der gegebenen Ebenengleichung.
Alle Punkte der dreieckigen Dachfläche $G E F$ sind gegeben durch
$\vec{x} = (\begin{array}{c} 48 \\ 64 \\ 246 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} - 48 \\ - 64 \\ - 100 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} - 48 \\ 36 \\ 0 \end{array}), s \geq 0, t \geq 0, s + t \leq 1$
Ein Lufttaxi soll den Wolkenkratzer mit einem anderen Wolkenkratzer verbinden. Im letzten Teil des Fluges soll es auf einer Strecke fliegen, die vereinfachend als Teil der Geraden $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 4 \\ 10 \\ 200 \end{array}) + k \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ 7 \\ - 1 \end{array}), k \in ℝ$ , modelliert werden kann.
Zeigen Sie rechnerisch, dass die Gerade $g$ einen Punkt der dreieckigen Dachfläche $G E F$ enthält. (4 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen
Zeige rechnerisch, dass die Gerade $g$ einen Punkt der dreieckigen Dachfläche $G E F$ enthält
Gegeben sind $E_{GEF} : \vec{x} = (\begin{array}{c} 48 \\ 64 \\ 246 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} - 48 \\ - 64 \\ - 100 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} - 48 \\ 36 \\ 0 \end{array}), s \geq 0, t \geq 0, s + t \leq 1$ und $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 4 \\ 10 \\ 200 \end{array}) + k \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ 7 \\ - 1 \end{array}), k \in ℝ$
Schneide $g$ mit $E$ :
$(\begin{array}{c} 48 \\ 64 \\ 246 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} - 48 \\ - 64 \\ - 100 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} - 48 \\ 36 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 4 \\ 10 \\ 200 \end{array}) + k \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ 7 \\ - 1 \end{array})$
Man erhält das Gleichungssystem:
$| \begin{array}{l} - 48 s - 48 t - 3 k = - 44 \\ - 64 s + 36 t - 7 k = - 54 \\ - 100 s + 0 t + k = - 46 \end{array} |$ .
Der TR liefert als Lösung $s = \frac{1}{2}, t = \frac{1}{6}$ und $k = 4$ .
Wenn der Schnittpunkt im Dreieck $G E F$ liegen soll, dann müssen die Bedingungen $s \geq 0, t \geq 0, s + t \leq 1$ erfüllt sein.
$s = \frac{1}{2} \geq 0, t = \frac{1}{6} \geq 0$ und $\frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{2}{3} \leq 1 ✓$
Alle 3 Bedingungen sind erfüllt. Somit enthält die Gerade $g$ einen Punkt der dreieckigen Dachfläche $G E F$ .
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Schneide $g$ mit $E$ $\Rightarrow s, t, k .$
Wenn der Schnittpunkt im Dreieck $G E F$ liegen soll, dann müssen die Bedingungen $s \geq 0, t \geq 0, s + t \leq 1$ erfüllt sein.
Überprüfe die Bedingungen mit Deinen Lösungen.
Ein weiteres Lufttaxi erreicht im Punkt $Q (16 | 38 | 196)$ die Dachfläche, nachdem es $45 m$ auf einer Strecke in Richtung $\vec{v} = (\begin{array}{c} 10 \\ 11 \\ - 2 \end{array})$ geflogen ist.
Ermitteln Sie den Startpunkt dieser geradlinigen Flugstrecke. (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektor
Ermittele den Startpunkt dieser geradlinigen Flugstrecke
Gegeben: Das Lufttaxi fliegt $45 m$ auf einer Strecke in Richtung $\vec{v} = (\begin{array}{c} 10 \\ 11 \\ - 2 \end{array})$ und erreicht im Punkt $Q (16 | 38 | 196)$ die Dachfläche.
Berechne $| \vec{v} |$ :
$| \vec{v} | = \sqrt{10^{2} + 11^{2} + (- 2)^{2}} = \sqrt{225} = 15$
Da das Lufttaxi $45 m$ geflogen ist, muss vom Punkt $P$ aus dreimal der Vektor $\vec{v}$ addiert werden, um zum Punkt $Q (16 | 38 | 196)$ zu gelangen.
$\Rightarrow \vec{O P} + 3 \cdot (\begin{array}{c} 10 \\ 11 \\ - 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 16 \\ 38 \\ 196 \end{array}) \Rightarrow \vec{O P} = (\begin{array}{c} 16 \\ 38 \\ 196 \end{array}) - 3 \cdot (\begin{array}{c} 10 \\ 11 \\ - 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 14 \\ 5 \\ 202 \end{array})$
Der Startpunkt dieser geradlinigen Flugstrecke hat die Koordinaten $P (- 14 | 5 | 202)$ .
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Berechne $| \vec{v} |$ .
Da das Lufttaxi $45 m$ geflogen ist, muss vom Punkt $P$ aus dreimal der Vektor $\vec{v}$ addiert werden, um zum Punkt $Q (16 | 38 | 196)$ zu gelangen.
Löse die Gleichung nach $P$ auf.

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das?

Aufgabe 3

Zeige, dass

eine Parametergleichung der Ebene ist, in der die Dachfläche GEF liegt

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Zeige rechnerisch, dass die Gerade g einen Punkt der dreieckigen Dachfläche GEF enthält

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Ermittele den Startpunkt dieser geradlinigen Flugstrecke

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eine Parametergleichung der Ebene ist, in der die Dachfläche $G E F$ liegt

Zeige rechnerisch, dass die Gerade $g$ einen Punkt der dreieckigen Dachfläche $G E F$ enthält