B3 - lernen mit Serlo!

Aufgabe 3

Die Aufgabe 3 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte $A (0 ∣ 0 ∣ 0), B, C (0 ∣ 100 ∣ 0)$ , $D (0 ∣ 0 ∣ 246), E (48 ∣ 64 ∣ 246)$ und $F (0 ∣ 100 ∣ 246)$ sowie der Punkt $G (0 ∣ 0 ∣ 146)$ gegeben.

Zeigen Sie, dass $\def\arraystretch{1.25} E_{\text {Dach }}: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}48 \\ 64 \\ 246\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{c}-48 \\ -64 \\ -100\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c}-48 \\ 36 \\ 0\end{array}\right), s \in \mathbb{R}, t \in \mathbb{R}$ , eine Parametergleichung der Ebene ist, in der die Dachfläche $G E F$ liegt. (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene aus drei Punkten
Zeige, dass
$\def\arraystretch{1.25} E_{\text {Dach }}: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}48 \\ 64 \\ 246\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{c}-48 \\ -64 \\ -100\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c}-48 \\ 36 \\ 0\end{array}\right), s \in \mathbb{R}, t \in \mathbb{R}$ ,
eine Parametergleichung der Ebene ist, in der die Dachfläche $G E F$ liegt
Berechne die Vektoren $\overrightarrow{EG}$ und $\overrightarrow{EF}$ .
$\overrightarrow{EG}=\overrightarrow{OG}-\overrightarrow{OE}=\begin{pmatrix}0\\0\\146\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}48\\64\\246\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-48\\-64\\-100\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OE}=\begin{pmatrix}0\\100\\246\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}48\\64\\246\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-48\\36\\0\end{pmatrix}$
Dann folgt für die Parametergleichung der Ebene $E_{\text {Dach }}$ :
$E_{\text {Dach }}: \vec{x}=\overrightarrow{O E}+s \cdot \overrightarrow{E G}+t \cdot \overrightarrow{E F}=\begin{pmatrix}48\\64\\246\end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix}-48\\-64\\-100\end{pmatrix}+t \cdot \begin{pmatrix}-48\\36\\0\end{pmatrix}$
(mit $s \in \mathbb{R}, t \in \mathbb{R}$ )
Somit ist die gegebene Ebene eine Parametergleichung der Ebene $E_{\text {Dach }}$ .
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Berechne die Vektoren $\overrightarrow{EG}$ und $\overrightarrow{EF}$ .
Berechne dann die Ebenengleichung $E_{\text {Dach }}: \vec{x}=\overrightarrow{O E}+s \cdot \overrightarrow{E G}+t \cdot \overrightarrow{E F}$ und vergleiche mit der gegebenen Ebenengleichung.
Alle Punkte der dreieckigen Dachfläche $G E F$ sind gegeben durch
$\def\arraystretch{1.25} \vec{x}=\left(\begin{array}{c}48 \\64 \\246\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{c}-48 \\-64 \\-100\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c}-48 \\36 \\0\end{array}\right), s \geq 0, t \geq 0, s+t \leq 1$
Ein Lufttaxi soll den Wolkenkratzer mit einem anderen Wolkenkratzer verbinden. Im letzten Teil des Fluges soll es auf einer Strecke fliegen, die vereinfachend als Teil der Geraden $\def\arraystretch{1.25} g: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}4 \\ 10 \\ 200\end{array}\right)+k \cdot\left(\begin{array}{c}3 \\ 7 \\ -1\end{array}\right), k \in \mathbb{R}$ , modelliert werden kann.
Zeigen Sie rechnerisch, dass die Gerade $g$ einen Punkt der dreieckigen Dachfläche $G E F$ enthält. (4 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen
Zeige rechnerisch, dass die Gerade $g$ einen Punkt der dreieckigen Dachfläche $G E F$ enthält
Gegeben sind $\def\arraystretch{1.25} E_{\text {GEF }}: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}48 \\64 \\246\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{c}-48 \\-64 \\-100\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c}-48 \\36 \\0\end{array}\right), s \geq 0, t \geq 0, s+t \leq 1$ und $\def\arraystretch{1.25} g: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}4 \\ 10 \\ 200\end{array}\right)+k \cdot\left(\begin{array}{c}3 \\ 7 \\ -1\end{array}\right), k \in \mathbb{R}$
Schneide $g$ mit $E$ :
$\def\arraystretch{1.25} \left(\begin{array}{c}48 \\ 64 \\ 246\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{c}-48 \\ -64 \\ -100\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c}-48 \\ 36 \\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4 \\ 10 \\ 200\end{array}\right)+k \cdot\left(\begin{array}{c}3 \\ 7 \\ -1\end{array}\right)$
Man erhält das Gleichungssystem:
$\def\arraystretch{1.25} \left|\begin{array}{l}-48 s\;-48 t-3 k=-44 \\ -64 s\;+36 t-7 k=-54 \\ -100 s+0t\;+\;k=-46\end{array}\right|$ .
Der TR liefert als Lösung $s=\frac{1}{2}, t=\frac{1}{6}$ und $k = 4$ .
Wenn der Schnittpunkt im Dreieck $G E F$ liegen soll, dann müssen die Bedingungen $s \geq 0, t \geq 0, s+t \leq 1$ erfüllt sein.
$s=\frac{1}{2}\geq 0, t=\frac{1}{6}\geq 0$ und $\frac{1}{2}+\frac{1}{6}=\frac{2}{3}\leq 1\;\checkmark$
Alle 3 Bedingungen sind erfüllt. Somit enthält die Gerade $g$ einen Punkt der dreieckigen Dachfläche $G E F$ .
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Schneide $g$ mit $E$ $\;\Rightarrow\;s, t, k.$
Wenn der Schnittpunkt im Dreieck $G E F$ liegen soll, dann müssen die Bedingungen $s \geq 0, t \geq 0, s+t \leq 1$ erfüllt sein.
Überprüfe die Bedingungen mit Deinen Lösungen.
Ein weiteres Lufttaxi erreicht im Punkt $Q (16 ∣ 38 ∣ 196)$ die Dachfläche, nachdem es $45\mathrm{~m}$ auf einer Strecke in Richtung $\def\arraystretch{1.25} \vec{v}=\left(\begin{array}{c}10 \\ 11 \\ -2\end{array}\right)$ geflogen ist.
Ermitteln Sie den Startpunkt dieser geradlinigen Flugstrecke. (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektor
Ermittele den Startpunkt dieser geradlinigen Flugstrecke
Gegeben: Das Lufttaxi fliegt $45\mathrm{~m}$ auf einer Strecke in Richtung $\def\arraystretch{1.25} \vec{v}=\left(\begin{array}{c}10 \\ 11 \\ -2\end{array}\right)$ und erreicht im Punkt $Q (16 ∣ 38 ∣ 196)$ die Dachfläche.
Berechne $|\vec v|$ :
$|\vec v|=\sqrt{10^2+11^2+(-2)^2}=\sqrt{225}=15$
Da das Lufttaxi $45\mathrm{~m}$ geflogen ist, muss vom Punkt $P$ aus dreimal der Vektor $\vec v$ addiert werden, um zum Punkt $Q (16 ∣ 38 ∣ 196)$ zu gelangen.
$\;\Rightarrow\;\overrightarrow{O P}+3\cdot \begin{pmatrix}10\\11\\-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}16\\38\\196\end{pmatrix}\;\Rightarrow\;\overrightarrow{O P}=\begin{pmatrix}16\\38\\196\end{pmatrix}-3\cdot \begin{pmatrix}10\\11\\-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-14\\5\\202\end{pmatrix}$
Der Startpunkt dieser geradlinigen Flugstrecke hat die Koordinaten $P (- 14 ∣ 5 ∣ 202)$ .
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Berechne $|\vec v|$ .
Da das Lufttaxi $45\mathrm{~m}$ geflogen ist, muss vom Punkt $P$ aus dreimal der Vektor $\vec v$ addiert werden, um zum Punkt $Q (16 ∣ 38 ∣ 196)$ zu gelangen.
Löse die Gleichung nach $P$ auf.

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das?

Aufgabe 3

Zeige, dass

eine Parametergleichung der Ebene ist, in der die Dachfläche GEFGEFGEF liegt

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Zeige rechnerisch, dass die Gerade ggg einen Punkt der dreieckigen Dachfläche GEFGEFGEF enthält

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Ermittele den Startpunkt dieser geradlinigen Flugstrecke

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eine Parametergleichung der Ebene ist, in der die Dachfläche $G E F$ liegt

Zeige rechnerisch, dass die Gerade $g$ einen Punkt der dreieckigen Dachfläche $G E F$ enthält