A3 - lernen mit Serlo!

Aufgabe 4

Gegeben sind die Punkte $A$ und $B$ mit den Koordinaten $A (3 ∣ 4 ∣ 2)$ und $B (8 ∣ - 11 ∣ 12)$ sowie die Gerade $g$ mit der Gleichung

\displaystyle g: \vec{x}=\begin{pmatrix}6{,}5 \\-6{,}5 \\9\end{pmatrix}+ r\cdot \begin{pmatrix}-7 \\21 \\-14\end{pmatrix}, r \in \mathbb{R}

Geben Sie eine Gleichung der Geraden $h$ an, die durch die Punkte $A$ und $B$ verläuft.
(1 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung in der analytischen Geometrie
Gib eine Gleichung der Geraden $h$ an, die durch die Punkte $A$ und $B$ verläuft
Gegeben sind $A (3 ∣ 4 ∣ 2)$ und $B (8 ∣ - 11 ∣ 12)$ .
Dann folgt für die Gerade $h_{AB}$ :
$h_{AB}:\vec x=\overrightarrow{OA}+s\cdot \overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}3\\4\\2\end{pmatrix}+s\cdot \left(\begin{pmatrix}8\\-11\\12\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\4\\2\end{pmatrix}\right)$
$\Rightarrow\;h_{AB}:\vec x=\begin{pmatrix}3\\4\\2\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}5\\-15\\10\end{pmatrix}$
Die Gleichung der Geraden $h$ , die durch die Punkte $A$ und $B$ verläuft, lautet
$h_{AB}:\vec x=\begin{pmatrix}3\\4\\2\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}5\\-15\\10\end{pmatrix}$ .
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Gegeben sind $A (3 ∣ 4 ∣ 2)$ und $B (8 ∣ - 11 ∣ 12)$ .
Dann folgt für die Gerade $h_{AB}$ : $h_{AB}:\vec x=\overrightarrow{OA}+r\cdot \overrightarrow{AB}$ .
Weisen Sie nach, dass der Punkt $A$ auf der Geraden $g$ liegt.
Untersuchen Sie die Lage der Geraden $g$ und $h$ zueinander. (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung zwischen zwei Geraden
Weise nach, dass der Punkt $A$ auf der Geraden $g$ liegt
Gegeben sind $A (3 ∣ 4 ∣ 2)$ und $g: \vec{x}=\begin{pmatrix}6{,}5 \\-6{,}5 \\9\end{pmatrix}+ r\cdot \begin{pmatrix}-7 \\21 \\-14\end{pmatrix}$ .
Prüfe, ob $A\in g$ :
$\begin{pmatrix}3\\4\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6{,}5 \\-6{,}5 \\9\end{pmatrix}+ r\cdot \begin{pmatrix}-7 \\21 \\-14\end{pmatrix}\;\Rightarrow\;\begin{pmatrix}-3{,}5\\10{,}5\\-7\end{pmatrix}=r \cdot\begin{pmatrix}-7 \\21 \\-14\end{pmatrix}$
Für $r=\dfrac{1}{2}$ erhält man eine Lösung der Gleichung.
$\Rightarrow\;$ Der Punkt $A$ liegt auf der Geraden $g$ .
Untersuche die Lage der Geraden $g$ und $h$ zueinander
Gegeben sind $g: \vec x= \begin{pmatrix}6{,}5 \\-6{,}5 \\9\end{pmatrix}+ r\cdot \begin{pmatrix}-7 \\21 \\-14\end{pmatrix}$ und $h: \vec x=\begin{pmatrix}3\\4\\2\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}5\\-15\\10\end{pmatrix}$ .
Untersuche die Richtungsvektoren auf lineare Abhängigkeit, d.h. ist der Richtungsvektor $\vec u=\begin{pmatrix}5 \\-15 \\10\end{pmatrix}$ der Geraden $h$ ein Vielfaches des Richtungsvektors $\vec v=\begin{pmatrix}-7 \\21 \\-14\end{pmatrix}$ der Geraden $g$ :
$\begin{pmatrix}5 \\-15 \\10\end{pmatrix}=t\cdot \begin{pmatrix}-7 \\21 \\-14\end{pmatrix}$ $\;\Rightarrow\;$ Für $t=-\dfrac{5}{7}$ erhält man eine Lösung der Gleichung.
Die Geraden sind parallel zueinander und da der Punkt $A\in g$ und $A \in h$ ist, sind die beiden Geraden identisch.
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Teil 1
Prüfe, ob $A\in g$ .
Hat die Gleichung eine eindeutige Lösung, dann liegt der Punkt $A$ auf der Geraden $g$ .
Teil 2
Untersuche die Richtungsvektoren der beiden Geraden auf lineare Abhängigkeit.
Wird die lineare Abhängigkeit festgestellt, prüfe, ob die Geraden identisch sind.
Geben Sie eine Gleichung einer Geraden an, die die Gerade $g$ im Punkt $A$ schneidet.
(1 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung in der analytischen Geometrie
Gib eine Gleichung einer Geraden an, die die Gerade $g$ im Punkt $A$ schneidet
Nach Aufgabe b) gilt: Der Punkt $A$ liegt auf der Geraden $g$ .
Damit kann mit dem Punkt $A$ und einem beliebigen Richtungsvektor eine Geradengleichung $j$ angegeben werden, die die Gerade $g$ im Punkt $A$ schneidet.
$j: \vec x=\begin{pmatrix}3\\4\\2\end{pmatrix}+\lambda \cdot \begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}$
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Nach Aufgabe b) gilt: Der Punkt $A$ liegt auf der Geraden $g$ .
Damit kann mit dem Punkt $A$ und einem beliebigen Richtungsvektor eine Geradengleichung $j$ angegeben werden, die die Gerade $g$ im Punkt $A$ schneidet.

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das?

Aufgabe 4

Gib eine Gleichung der Geraden hhh an, die durch die Punkte AAA und BBB verläuft

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Weise nach, dass der Punkt AAA auf der Geraden ggg liegt

Untersuche die Lage der Geraden ggg und hhh zueinander

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Gib eine Gleichung einer Geraden an, die die Gerade ggg im Punkt AAA schneidet

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Gib eine Gleichung der Geraden $h$ an, die durch die Punkte $A$ und $B$ verläuft

Weise nach, dass der Punkt $A$ auf der Geraden $g$ liegt

Untersuche die Lage der Geraden $g$ und $h$ zueinander

Gib eine Gleichung einer Geraden an, die die Gerade $g$ im Punkt $A$ schneidet