B3 - lernen mit Serlo!

Aufgabe 3

Die Aufgabe 3 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.

Ein weiteres Unternehmen verwendet als geheimen Code die ersten drei Nachkommastellen der ungerundeten Länge der Höhe $h_{\overline{I J}}$ eines gleichschenkligen Dreiecks $I J K$ mit der Basis $\overline{I J}$ .

Drei eingeweihte Mitarbeitende kennen als Teilgeheimnisse mit $I (4 ∣ 3 ∣ 2), J (8 ∣ 6 ∣ - 1)$ und $K (6 ∣ 5 ∣ 1)$ jeweils die Koordinaten eines Eckpunktes des gleichschenkligen Dreiecks $I J K$ .

Zeigen Sie, dass $I, J$ und $K$ die Eckpunkte eines gleichschenkligen Dreiecks mit der Basis $\overline{I J}$ sind. (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichschenkliges Dreieck
Zeige, dass $I, J$ und $K$ die Eckpunkte eines gleichschenkligen Dreiecks mit der Basis $\overline{I J}$ sind
Berechne die Länge der Strecken $\overline{IJ}$ , $\overline{JK}$ und $\overline{KI}$ :
$\overrightarrow{IJ}=\begin{pmatrix}8\\6\\-1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4\\3\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\3\\-3\end{pmatrix}\;\Rightarrow\;\left|\overrightarrow{IJ}\right|=\sqrt{4^2+3^2+(-3)^2}=\sqrt{34}\approx5{,}831$
$\overrightarrow{JK}=\begin{pmatrix}6\\5\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}8\\6\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\-1\\2\end{pmatrix}\;\Rightarrow\;\left|\overrightarrow{JK}\right|=\sqrt{(-2)^2+(-1)^2+2^2}=\sqrt{9}=3$
$\overrightarrow{KI}=\begin{pmatrix}4\\3\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}6\\5\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\-2\\1\end{pmatrix}\;\Rightarrow\;\left|\overrightarrow{JK}\right|=\sqrt{(-2)^2+(-2)^2+1^2}=\sqrt{9}=3$
Die Strecken $\overline{JK}$ und $\overline{KI}$ haben die gleiche Länge, d.h sie sind die Schenkel des Dreiecks und die Seite $\overline{I J}$ ist die Basis des gleichschenkligen Dreiecks.
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Berechne die Länge der Strecken $\overline{IJ}$ , $\overline{JK}$ und $\overline{KI}$ und vergleiche.
Berechnen Sie den geheimen Code. (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichschenkliges Dreieck
Berechne den geheimen Code
Bekannt ist, dass der geheime Code aus den ersten drei Nachkommastellen der ungerundeten Länge der Höhe $h_{\overline{I J}}$ eines gleichschenkligen Dreiecks $I J K$ mit der Basis $\overline{I J}$ besteht.
Berechne die Höhe des gleichschenkligen Dreiecks:
Dazu wird die Mitte $M$ der Strecke $\overline{I J}$ benötigt.
$\overrightarrow{OM}=\dfrac{1}{2}\cdot \left(\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{O J}\right)=\dfrac{1}{2}\cdot \left(\begin{pmatrix}4\\3\\2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}8\\6\\-1\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}6\\4{,}5\\0{,}5\end{pmatrix}$
Dann ist:
$h=\left|\overrightarrow{OK}-\overrightarrow{OM}\right|=\left|\begin{pmatrix}6\\5\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}6\\4{,}5\\0{,}5\end{pmatrix}\right|=\left|\begin{pmatrix}0\\0{,}5\\0{,}5\end{pmatrix}\right|=\sqrt{0^2+0{,}5^2+0{,}5^2}=\sqrt{0{,}5}$
$h=\sqrt{0{,}5}\approx0{,}707106..$
Der geheime Code ist somit $707$ .
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Bekannt ist, dass der geheime Code aus den ersten drei Nachkommastellen der ungerundeten Länge der Höhe $h_{\overline{I J}}$ eines gleichschenkligen Dreiecks $I J K$ mit der Basis $\overline{I J}$ besteht.
Berechne die Höhe des gleichschenkligen Dreiecks mithilfe der Mitte $M$ der Strecke $\overline{I J}$ $\;\Rightarrow\;h=|\overrightarrow{OK}-\overrightarrow{OM}|$ .
Lies die ersten drei Nachkommastellen ab.
Ein weiterer Mitarbeitender soll die Koordinaten eines von $K$ verschiedenen Punktes $L$ erhalten, der wie $K$ zusammen mit den Punkten $I$ und $J$ ein gleichschenkliges Dreieck $I J L$ mit der Basis $\overline{I J}$ bildet. Auch aus den Koordinaten von $I, J$ und $L$ soll sich in gleicher Weise wie oben beschrieben der in b) berechnete geheime Code ergeben.
Ermitteln Sie rechnerisch die Koordinaten eines geeigneten Punktes $L$ . (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spiegelung Punkt an Punkt
Ermittle rechnerisch die Koordinaten eines geeigneten Punktes $L$
Berechne den Spiegelpunkt von $K (6 ∣ 5 ∣ 1)$ :
Es ist $\overrightarrow{OM}=\begin{pmatrix}6\\4{,}5\\0{,}5\end{pmatrix}$ und $\overrightarrow{KM} =\overrightarrow{OM} -\overrightarrow{OK} =\begin{pmatrix}6\\4{,}5\\0{,}5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}6\\5\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\-0{,}5\\-0{,}5\end{pmatrix}$
$\;\Rightarrow\;\overrightarrow{OL}=\overrightarrow{OK}+2\cdot \overrightarrow{KM}=\begin{pmatrix}6\\5\\1\end{pmatrix}+2\cdot \begin{pmatrix}0\\-0{,}5\\-0{,}5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\4\\0\end{pmatrix}\;\Rightarrow\;L(6|4|0)$
Die Koordinaten eines geeigneten Punktes sind $L (6 ∣ 4 ∣ 0)$ .
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Berechne den Spiegelpunkt von $K (6 ∣ 5 ∣ 1)$ .
Berechne $\overrightarrow{OL}=\overrightarrow{OK}+2\cdot \overrightarrow{KM}$ mit $\overrightarrow{KM} =\overrightarrow{OM} -\overrightarrow{OK}$ und $\overrightarrow{OM}$ aus Aufgabe b).

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das?

Aufgabe 3

Zeige, dass I,JI, JI,J und KKK die Eckpunkte eines gleichschenkligen Dreiecks mit der Basis IJ‾\overline{I J}IJ sind

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Berechne den geheimen Code

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Ermittle rechnerisch die Koordinaten eines geeigneten Punktes LLL

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Zeige, dass $I, J$ und $K$ die Eckpunkte eines gleichschenkligen Dreiecks mit der Basis $\overline{I J}$ sind

Ermittle rechnerisch die Koordinaten eines geeigneten Punktes $L$