Spiegelung Punkt an Punkt

Die Spielgung eines Punktes $P$ an einem Punkt $Z$ führt zu einem Spiegelpunkt, der oft mit einem Strich bezeichnet wird: $P^{'}$

Die Formel zur Spiegelung lautet:

\displaystyle \overrightarrow{OP'}=\overrightarrow{OP}+2\cdot\overrightarrow{PZ}

Vorgehen

VorgehenFormel für den Ortsvektor zum gespiegelten Punkt

Betrachte die obige Zeichnung. Vom Ursprung $O$ auskommst du mit dem Vektor $\overrightarrow{OP}$ zum Punkt $P$ . Trage an $P$ den Vektor $\overrightarrow{PZ}$ an, um zu $Z$ zu gelangen. Trage an $Z$ erneut den Vektor $\overrightarrow{PZ}$ an. Du bist beim Spiegelpunkt $P^{'}$ angekommen. Insgesamt erhältst du die Vektorgleichung:

\displaystyle \overrightarrow{OP'}=\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{PZ}+\overrightarrow{PZ}=\overrightarrow{OP}+2\cdot\overrightarrow{PZ}

Beispiel

Spiegele den Punkt $P (1 ∣ 2 ∣ - 3)$ am Punkt $Z (3 ∣ 1 ∣ 2)$ .

\displaystyle \overrightarrow{OP}=\begin{pmatrix}1\\2\\-3\end{pmatrix}

und

\displaystyle \overrightarrow{OZ}=\begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix}

Berechne den Vektor:

\displaystyle \overrightarrow{PZ}=\overrightarrow{OZ}-\overrightarrow{OP}=\begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\2\\-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\-1\\5\end{pmatrix}

Setze die Vektoren in $\overrightarrow{OP'}=\overrightarrow{OP}+2\cdot\overrightarrow{PZ}$ ein:

\displaystyle \overrightarrow{OP'}=\begin{pmatrix}1\\2\\-3\end{pmatrix}+2\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\\5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\0\\7\end{pmatrix}

Der gespiegelte Punkt $P^{'}$ hat die Koordinaten $P^{'} (5 ∣ 0 ∣ 7)$ .

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