Vorgehen VorgehenFormel fĂŒr den Ortsvektor zum gespiegelten Punkt Betrachte die obige Zeichnung. Vom Ursprung O OO auskommst du mit dem Vektor O P â \overrightarrow{OP} OP zum Punkt P PP . Trage an P PP den Vektor P Z â \overrightarrow{PZ}PZ an, um zu Z ZZ zu gelangen. Trage an Z ZZ erneut den Vektor P Z â \overrightarrow{PZ}PZ an. Du bist beim Spiegelpunkt P âČ P'P âČ angekommen. Insgesamt erhĂ€ltst du die Vektorgleichung:
O P âČ â = O P â + P Z â + P Z â = O P â + 2 â
P Z â \displaystyle \overrightarrow{OP'}=\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{PZ}+\overrightarrow{PZ}=\overrightarrow{OP}+2\cdot\overrightarrow{PZ}O P âČ = OP + PZ + PZ = OP + 2 â
PZ Beispiel Spiegele den Punkt P ( 1 ⣠2 ⣠â 3 ) P(1|2|-3)P ( 1âŁ2⣠â 3 ) am Punkt Z ( 3 ⣠1 ⣠2 ) Z(3|1|2)Z ( 3âŁ1âŁ2 ) .
O P â = ( 1 2 â 3 ) \displaystyle \overrightarrow{OP}=\begin{pmatrix}1\\2\\-3\end{pmatrix}OP = â 1 2 â 3 â â und
O Z â = ( 3 1 2 ) \displaystyle \overrightarrow{OZ}=\begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix}OZ = â 3 1 2 â â Berechne den Vektor:
P Z â = O Z â â O P â = ( 3 1 2 ) â ( 1 2 â 3 ) = ( 2 â 1 5 ) \displaystyle \overrightarrow{PZ}=\overrightarrow{OZ}-\overrightarrow{OP}=\begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\2\\-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\-1\\5\end{pmatrix}PZ = OZ â OP = â 3 1 2 â â â â 1 2 â 3 â â = â 2 â 1 5 â â .
Setze die Vektoren in O P âČ â = O P â + 2 â
P Z â \overrightarrow{OP'}=\overrightarrow{OP}+2\cdot\overrightarrow{PZ} O P âČ = OP + 2 â
PZ ein:
O P âČ â = ( 1 2 â 3 ) + 2 â
( 2 â 1 5 ) = ( 5 0 7 ) \displaystyle \overrightarrow{OP'}=\begin{pmatrix}1\\2\\-3\end{pmatrix}+2\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\\5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\0\\7\end{pmatrix}O P âČ = â 1 2 â 3 â â + 2 â
â 2 â 1 5 â â = â 5 0 7 â â Der gespiegelte Punkt P âČ P' P âČ hat die Koordinaten P âČ ( 5 ⣠0 ⣠7 ) P'(5|0|7)P âČ ( 5âŁ0âŁ7 ) .
âž Grafische Darstellung
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