Spiegelung einer Geraden an einer Geraden

Berechnungsmöglichkeit 1 mit Lotfußpunkt $F$

Gegeben sind zwei Geraden $g:\vec{x}=\overrightarrow{OA}+r\cdot\vec{u}$ und $h: \vec x= \overrightarrow{OB}+s\cdot \vec v$.

Die Gerade $g$ wird an der Geraden $h$ gespiegelt.

Vorgehensweise

1. Ermittle je nach Lagebeziehung zwischen den beiden Geraden entweder von einem Punkt auf der Geraden $g$ oder von 2 Punkten auf der Geraden $g$ die Koordinaten der Punkte $P$ und $Q$. Spiegele dann den Punkt $P$ an der Geraden $h$ und gegebenenfalls auch den Punkt $Q$.

2. Schreibe einen allgemeinen Vektor für einen Punkt $F_1$ auf der Geraden $h$:

$\overrightarrow{OF_1}=\begin{pmatrix}b_1+s\cdot v_1\\b_2+s\cdot v_2\\b_3+s\cdot v_3\end{pmatrix}$

3. Bilde den Vektor $\overrightarrow{PF_1}=\overrightarrow{OF_1}-\overrightarrow{OP}$.

4. Der Vektor $\overrightarrow{PF_1}$ muss senkrecht auf der Geraden $h$ stehen, d.h. das Skalarprodukt ist gleich null: $\overrightarrow{PF_1}\circ \vec v=0$. Diese Gleichung liefert für den Parameter $s$ einen Wert $s_F$.

5. Setze $s_F$ in $\overrightarrow{OF_1}$ ein und berechne den Spiegelpunkt mithilfe der Gleichung:

$\overrightarrow{OP'}=\overrightarrow{OP}+2\cdot\overrightarrow{PF_1}$ oder $\overrightarrow{OP'}=\overrightarrow{OF_1}+\overrightarrow{PF_1}$

6. Verfahre gegebenenfalls für den zweiten Punkt $Q$ entsprechend und berechne den Spiegelpunkt $Q'$.

Beispiel zu Berechnungsmöglichkeit 1

Gegeben sind die beiden (echt) parallelen Geraden $g: \vec x= \begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}$und $h: \vec x= \begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}$. Die Gerade $g$ wird an der Geraden $h$ gespiegelt.

1. Benutze den Aufpunkt der Geraden $g$: $P(1|1|2)$.

(Da die beiden Geraden parallel zueinander sind, genügt es diesen Punkt zu spiegeln.)

Spiegele den Punkt $P$ an der Geraden $h$.

2. Schreibe einen allgemeinen Vektor für einen Punkt $F$ auf der Geraden $h$:

$\overrightarrow{OF}=\begin{pmatrix}3+2s\\2+2s\\1+2s\end{pmatrix}$

3. Bilde den Vektor $\overrightarrow{PF}=\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OP}$.

$\overrightarrow{PF}=\begin{pmatrix}3+2s\\2+2s\\1+2s\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2+2s\\1+2s\\-1+2s\end{pmatrix}$.

4. Berechne das Skalarprodukt: $\overrightarrow{PF}\circ \vec v=0$.

$\begin{pmatrix}2+2s\\1+2s\\-1+2s\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}=0$

5. Setze $s=-\frac{1}{3}$ in $\overrightarrow{PF}$ ein:

$\overrightarrow{PF}=\begin{pmatrix}2+2\cdot(-\frac{1}{3})\\[1ex]1+2\cdot(-\frac{1}{3})\\[1ex]-1+2\cdot(-\frac{1}{3})\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{4}{3}\\[1ex]\frac{1}{3}\\[1ex]-\frac{5}{3}\end{pmatrix}$

Berechne den Spiegelpunkt mithilfe der Gleichung: $\overrightarrow{OP'}=\overrightarrow{OP}+2\cdot\overrightarrow{PF}$

$\overrightarrow{OP'}=\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}+2\cdot\begin{pmatrix}\frac{4}{3}\\[1ex]\frac{1}{3}\\[1ex]-\frac{5}{3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1+\frac{8}{3}\\[1ex]1+\frac{2}{3}\\[1ex]2-\frac{10}{3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{11}{3}\\[1ex]\frac{5}{3}\\[1ex]-\frac{4}{3}\end{pmatrix}$

Der Spiegelpunkt $P'$ hat die Koordinaten: $P'\left(\frac{11}{3}|\frac{5}{3}|-\frac{4}{3}\right)$.

6. Der berechnete Spiegelpunkt ist der Aufpunkt der Spiegelgeraden $g'$. Für den Richtungsvektor der Spiegelgeraden nimmt man den Richtungsvektor $\vec u= \begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}$ der Geraden $g$. Somit ergibt sich für die Gleichung der Spiegelgeraden:

$g':\vec{x}=\overrightarrow{OP'}+t\cdot\vec{u}$ $\;\Rightarrow\;g': \vec x=\begin{pmatrix}\frac{11}{3}\\[1ex]\frac{5}{3}\\[1ex]-\frac{4}{3}\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}$

Berechnung für sich schneidende Geraden und windschiefe Geraden

1. Im Fall sich schneidender Geraden $g$ und $h$ muss ein beliebiger Punkt $P$ der Geraden $g$ an der Geraden $h$ gespiegelt werden. Der gespiegelte Punkt $P{}'$ und der Schnittpunkt $S$, der bei der Spiegelung erhalten bleibt, sind zwei Punkte, die auf der gespiegelten Geraden $g{}'$ liegen. Mit diesen beiden Punkten kann die Geradengleichung erstellt werden:

2. Im Fall windschiefer Geraden $g$ und $h$ müssen jeweils zwei Punkte $P$ und $Q$ der Geraden $g$ ermittelt und an der Geraden $h$ gespiegelt werden. Mit diesen beiden Spiegelpunkten $P{}'$ und $Q{}'$ kann die Geradengleichung $g{}'$ erstellt werden:

Berechnungsmöglichkeit 2 mit einer Hilfsebene H

Hier werden zwei Fälle unterschieden:

Fall 1: Die beiden Geraden sind (echt) parallel zueinander

Fall 2: Die beiden Geraden schneiden sich in einem Punkt $S$.

(Der Fall windschiefer Geraden wird als Sonderfall in einem Spoiler am Artikelende behandelt.)

1. Fall:

Gegeben sind zwei (echt) parallele Geraden $g:\vec{x}=\overrightarrow{OP}+r\cdot\vec{u}$ und $h: \vec x= \overrightarrow{OQ}+s\cdot \vec u$.

Die Gerade $g$ wird an der Geraden $h$ gespiegelt.

Vorgehensweise

Berechnung der gespiegelten Geraden g' mit einer Hilfsebene $H$

1. Erstelle eine Hilfsebene $H$ in Normalenform $E: \;\left(\vec x-\overrightarrow{OA}\right)\circ \vec n=0$

Verwende dabei für $H$ den Aufpunkt $P$ der Geraden $g$ und setze für den Normalenvektor $\vec n$ den Richtungsvektor $\vec u$ der Geraden $g$ ein.

$H: \;\left(\vec x-\overrightarrow{OP}\right)\circ \vec u=0$

2. Schneide die Gerade $h$ mit der Hilfsebene $H$. Du erhältst den Fußpunkt $F$.

3. Berechne den Vektor $\overrightarrow{PF}$

4. Zur Berechnung des Spiegelpunktes $P'$ setze $\overrightarrow{OP}$ und $\overrightarrow{PF}$ in die Vektorgleichung $\overrightarrow{OP'}=\overrightarrow{OP}+2\cdot\overrightarrow{PF}$ ein.

5. Der berechnete Punkt $P'$ ist der Aufpunkt der Spiegelgeraden g'. Die Spiegelgerade hat den Richtungsvektor $\vec u$ (parallele Gerade zu $g$ und $h$) $\;\Rightarrow\;g': \vec x= \overrightarrow{OP'}+t\cdot \vec u$

Beispiel zu Fall 1

Gegeben sind die beiden (echt) parallelen Geraden $g: \vec x= \begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}$und $h: \vec x= \begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}$. Die Gerade $g$ wird an der Geraden $h$ gespiegelt.

1. Erstelle die Gleichung einer Hilfsebene $H$ mit dem Aufpunkt $P$ der Geraden $g$ und dem Richtungsvektor $\vec u$ der Geraden $g$ als Normalenvektor:

$H: \;\left(\vec x- \begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}\right)\circ \begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}=0$

2. Schneide $h$ mit $H$:

Setze $s=-\dfrac{1}{3}$ in die Geradengleichung $h$ ein, um den Punkt $F$ zu berechnen.

$\vec x_F= \begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}+(-\frac{1}{3})\cdot \begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3-\frac{2}{3}\\[1ex] 2-\frac{2}{3}\\[1ex]1-\frac{2}{3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{7}{3}\\[1ex] \frac{4}{3}\\[1ex]\frac{1}{3}\end{pmatrix}\;\Rightarrow\;$$F(\frac{7}{3}|\frac{4}{3}|\frac{1}{3})$

3. Berechne den Vektor $\overrightarrow{PF}$

$\overrightarrow{PF}=\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OP}=\begin{pmatrix}\frac{7}{3}\\[1ex] \frac{4}{3}\\[1ex]\frac{1}{3}\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{4}{3}\\[1ex] \frac{1}{3}\\[1ex]-\frac{5}{3}\end{pmatrix}$

4. Setze $\overrightarrow{OP}$ und $\overrightarrow{PF}$ in die Vektorgleichung $\overrightarrow{OP'}=\overrightarrow{OP}+2\cdot\overrightarrow{PF}$ ein:

$\overrightarrow{OP'}=\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}+2\cdot \begin{pmatrix}\frac{4}{3}\\[1ex] \frac{1}{3}\\[1ex]-\frac{5}{3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1+\frac{8}{3}\\[1ex]1+\frac{2}{3}\\[1ex]2-\frac{10}{3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{11}{3}\\[1ex] \frac{5}{3}\\[1ex]-\frac{4}{3}\end{pmatrix}$

Der Spiegelpunkt hat die Koordinaten $P'(\frac{11}{3}|\frac{5}{3}|-\frac{4}{3})$.

5. Setze in $g': \vec x= \overrightarrow{OP'}+t\cdot \vec u$ den Spiegelpunkt $P'$ und den Richtungsvektor $\vec u$ der Geraden $g$ ein.

Antwort: Die Gleichung der Spiegelgeraden lautet: $g': \vec x= \begin{pmatrix}\frac{11}{3}\\[1ex] \frac{5}{3}\\[1ex]-\frac{4}{3}\end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}$

Anmerkung: Die obige Darstellung zeigt das berechnete Beispiel im 1. Fall.

2. Fall:

Gegeben sind zwei sich im Punkt $S$ schneidende Geraden $g: \vec x= \overrightarrow{OP}+r\cdot \vec u$ und $h: \vec x= \overrightarrow{OQ}+s\cdot \vec v$. Die Gerade $g$ wird an der Geraden $h$ gespiegelt.

Vorgehensweise

Berechnung der gespiegelten Geraden g' mit einer Hilfsebene $H$

1. Erstelle eine Hilfsebene $H$ in Normalenform $E: \;\left(\vec x-\overrightarrow{OA}\right)\circ \vec n=0$

Verwende dabei für $H$ den Aufpunkt $P$ der Geraden $g$ und setze für den Normalenvektor $\vec n$ den Richtungsvektor $\vec v$ der Geraden $h$ ein.

$H: \;\left(\vec x-\overrightarrow{OP}\right)\circ \vec v=0$

2. Schneide die Gerade $h$ mit der Hilfsebene $H$. Du erhältst den Fußpunkt $F$.

3. Berechne den Vektor $\overrightarrow{PF}$

4. Zur Berechnung des Spiegelpunktes $P'$ setze $\overrightarrow{OP}$ und $\overrightarrow{PF}$ in die Vektorgleichung $\overrightarrow{OP'}=\overrightarrow{OP}+2\cdot\overrightarrow{PF}$ ein.

5. Der berechnete Punkt $P'$ ist der Aufpunkt der Spiegelgeraden $g'$. Die Spiegelgerade hat den Richtungsvektor $\overrightarrow{P'S}$ (mit dem gegebenen Geradenschnittpunkt $S$):

$\;\Rightarrow\;g': \vec x= \overrightarrow{OP'}+t\cdot \overrightarrow{P'S}$

Beispiel zu Fall 2

Gegeben sind die Gerade $g: \vec x= \begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}$, die Gerade $h: \vec x= \begin{pmatrix}3\\2\\2\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}$und der Schnittpunkt der beiden Geraden $S(0|-1|-1)$.

1. Erstelle die Gleichung einer Hilfsebene $H$ mit dem Aufpunkt $P$ der Geraden $g$ und dem Richtungsvektor $\vec{v}$ der Geraden $h$ als Normalenvektor:

$H: \;\left(\vec x- \begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}\right)\circ \begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}=0$

2. Schneide $h$ mit $H$:

Setze $s=-\dfrac{1}{2}$ in die Geradengleichung $h$ ein, um den Punkt $F$ zu berechnen.

$\vec x_F= \begin{pmatrix}3\\2\\2\end{pmatrix}+(-\frac{1}{2})\cdot \begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3-\frac{2}{2}\\[1ex] 2-\frac{2}{2}\\[1ex]2-\frac{2}{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\ 1\\1\end{pmatrix}\;\Rightarrow\;$$F(2|1|1)$

3. Berechne den Vektor $\overrightarrow{PF}$

$\overrightarrow{PF}=\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OP}=\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\\[1ex]-1\end{pmatrix}$

4. Setze $\overrightarrow{OP}$ und $\overrightarrow{PF}$ in die Vektorgleichung $\overrightarrow{OP'}=\overrightarrow{OP}+2\cdot\overrightarrow{PF}$ ein:

$\overrightarrow{OP'}=\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}+2\cdot \begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1+2\\1+0\\2-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\1\\0\end{pmatrix}$

Der Spiegelpunkt hat die Koordinaten $P'(3|1|0 )$.

5. Berechne den Vektor $\overrightarrow{P'S}=\overrightarrow{OS}-\overrightarrow{OP'}=\begin{pmatrix}0\\-1\\-1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3\\-2\\-1\end{pmatrix}$

Der berechnete Punkt $P'$ ist der Aufpunkt der Spiegelgeraden $g'$. Die Spiegelgerade hat den Richtungsvektor $\overrightarrow{P'S}$ (mit dem gegebenen Geradenschnittpunkt $S$):

$\;\Rightarrow\;g': \vec x= \overrightarrow{OP'}+t\cdot \overrightarrow{P'S}$

Setze in $g'$ den Spiegelpunkt $P'$ und den Richtungsvektor $\overrightarrow{P'S}$ ein.

Antwort: Die Gleichung der Spiegelgeraden lautet $g': \vec x= \begin{pmatrix}3\\1\\0\end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix}-3\\-2\\-1\end{pmatrix}$bzw.

$g': \vec x= \begin{pmatrix}3\\1\\0\end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}$.

Anmerkung: Die obige Darstellung zeigt das berechnete Beispiel im 2. Fall.