Springe zum Inhalt oder Footer
SerloDie freie Lernplattform

Spiegelung einer Geraden an einer Geraden

Der Artikel beschreibt die Spiegelung einer Geraden gg an einer Geraden hh.

Es werden zwei verschiedene Berechnungsmöglichkeiten vorgestellt.

1. Berechnung mit dem Lotfußpunkt FF

2 Berechnung mit einer Hilfsebene HH

Berechnungsmöglichkeit 1 mit Lotfußpunkt FF

Gegeben sind zwei Geraden g:x=OA+rug:\vec{x}=\overrightarrow{OA}+r\cdot\vec{u} und h:x=OB+svh: \vec x= \overrightarrow{OB}+s\cdot \vec v.

Die Gerade gg wird an der Geraden h h gespiegelt.

Vorgehensweise

1. Ermittle je nach Lagebeziehung zwischen den beiden Geraden entweder von einem Punkt auf der Geraden gg oder von 2 Punkten auf der Geraden gg die Koordinaten der Punkte PP und QQ. Spiegele dann den Punkt P P an der Geraden hh und gegebenenfalls auch den Punkt QQ.

2. Schreibe einen allgemeinen Vektor für einen Punkt F1F_1 auf der Geraden hh:

OF1=(b1+sv1b2+sv2b3+sv3)\overrightarrow{OF_1}=\begin{pmatrix}b_1+s\cdot v_1\\b_2+s\cdot v_2\\b_3+s\cdot v_3\end{pmatrix}

3. Bilde den Vektor PF1=OF1OP \overrightarrow{PF_1}=\overrightarrow{OF_1}-\overrightarrow{OP}.

4. Der Vektor PF1\overrightarrow{PF_1} muss senkrecht auf der Geraden hh stehen, d.h. das Skalarprodukt ist gleich null: PF1v=0 \overrightarrow{PF_1}\circ \vec v=0. Diese Gleichung liefert für den Parameter ss einen Wert sFs_F.

5. Setze sFs_F in OF1 \overrightarrow{OF_1} ein und berechne den Spiegelpunkt mithilfe der Gleichung:

OP=OP+2PF1\overrightarrow{OP'}=\overrightarrow{OP}+2\cdot\overrightarrow{PF_1} oder OP=OF1+PF1 \overrightarrow{OP'}=\overrightarrow{OF_1}+\overrightarrow{PF_1}

6. Verfahre gegebenenfalls für den zweiten Punkt QQ entsprechend und berechne den Spiegelpunkt QQ'.

Beispiel zu Berechnungsmöglichkeit 1

Gegeben sind die beiden (echt) parallelen Geraden g:x=(112)+r(222)g: \vec x= \begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}und h:x=(321)+s(222)h: \vec x= \begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}. Die Gerade gg wird an der Geraden h h gespiegelt.

1. Benutze den Aufpunkt der Geraden gg: P(112)P(1|1|2) .

(Da die beiden Geraden parallel zueinander sind, genügt es diesen Punkt zu spiegeln.)

Spiegele den Punkt P P an der Geraden hh.

2. Schreibe einen allgemeinen Vektor für einen Punkt FF auf der Geraden hh:

OF=(3+2s2+2s1+2s)\overrightarrow{OF}=\begin{pmatrix}3+2s\\2+2s\\1+2s\end{pmatrix}

3. Bilde den Vektor PF=OFOP \overrightarrow{PF}=\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OP}.

PF=(3+2s2+2s1+2s)(112)=(2+2s1+2s1+2s) \overrightarrow{PF}=\begin{pmatrix}3+2s\\2+2s\\1+2s\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2+2s\\1+2s\\-1+2s\end{pmatrix}.

4. Berechne das Skalarprodukt: PFv=0 \overrightarrow{PF}\circ \vec v=0.

(2+2s1+2s1+2s)(222)=0\begin{pmatrix}2+2s\\1+2s\\-1+2s\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}=0

(2+2s)2+(1+2s)2+(1+2s)2\displaystyle (2+2s)\cdot2+(1+2s)\cdot2+(-1+2s)\cdot2==0\displaystyle 0

Löse die Klammern auf.

4+4s+2+4s2+4s\displaystyle 4+4s+2+4s-2+4s==0\displaystyle 0

Fasse zusammen.

4+12s\displaystyle 4+12s==0\displaystyle 04\displaystyle -4
12s\displaystyle 12s==4\displaystyle -4:12\displaystyle :12
s\displaystyle s==412\displaystyle -\frac{4}{12}

Kürze.

s\displaystyle s==13\displaystyle -\frac{1}{3}

5. Setze s=13s=-\frac{1}{3} in PF \overrightarrow{PF} ein:

PF=(2+2(13)1+2(13)1+2(13))=(431353)\overrightarrow{PF}=\begin{pmatrix}2+2\cdot(-\frac{1}{3})\\[1ex]1+2\cdot(-\frac{1}{3})\\[1ex]-1+2\cdot(-\frac{1}{3})\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{4}{3}\\[1ex]\frac{1}{3}\\[1ex]-\frac{5}{3}\end{pmatrix}

Berechne den Spiegelpunkt mithilfe der Gleichung: OP=OP+2PF\overrightarrow{OP'}=\overrightarrow{OP}+2\cdot\overrightarrow{PF}

OP=(112)+2(431353)=(1+831+232103)=(1135343)\overrightarrow{OP'}=\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}+2\cdot\begin{pmatrix}\frac{4}{3}\\[1ex]\frac{1}{3}\\[1ex]-\frac{5}{3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1+\frac{8}{3}\\[1ex]1+\frac{2}{3}\\[1ex]2-\frac{10}{3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{11}{3}\\[1ex]\frac{5}{3}\\[1ex]-\frac{4}{3}\end{pmatrix}

Der Spiegelpunkt PP' hat die Koordinaten: P(1135343)P'\left(\frac{11}{3}|\frac{5}{3}|-\frac{4}{3}\right) .

6. Der berechnete Spiegelpunkt ist der Aufpunkt der Spiegelgeraden gg' . Für den Richtungsvektor der Spiegelgeraden nimmt man den Richtungsvektor u=(112)\vec u= \begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix} der Geraden gg. Somit ergibt sich für die Gleichung der Spiegelgeraden:

g:x=OP+tug':\vec{x}=\overrightarrow{OP'}+t\cdot\vec{u}     g:x=(1135343)+t(222)\;\Rightarrow\;g': \vec x=\begin{pmatrix}\frac{11}{3}\\[1ex]\frac{5}{3}\\[1ex]-\frac{4}{3}\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}

Berechnung für sich schneidende Geraden und windschiefe Geraden

1. Im Fall sich schneidender Geraden gg und hh muss ein beliebiger Punkt PP der Geraden gg an der Geraden hh gespiegelt werden. Der gespiegelte Punkt PP{}' und der Schnittpunkt SS, der bei der Spiegelung erhalten bleibt, sind zwei Punkte, die auf der gespiegelten Geraden gg{}' liegen. Mit diesen beiden Punkten kann die Geradengleichung erstellt werden:

2. Im Fall windschiefer Geraden gg und hh müssen jeweils zwei Punkte PP und QQ der Geraden g g ermittelt und an der Geraden hh gespiegelt werden. Mit diesen beiden Spiegelpunkten PP{}' und QQ{}' kann die Geradengleichung gg{}' erstellt werden:

Berechnungsmöglichkeit 2 mit einer Hilfsebene H

Hier werden zwei Fälle unterschieden:

Fall 1: Die beiden Geraden sind (echt) parallel zueinander

Fall 2: Die beiden Geraden schneiden sich in einem Punkt SS.

(Der Fall windschiefer Geraden wird als Sonderfall in einem Spoiler am Artikelende behandelt.)

1. Fall:

Gegeben sind zwei (echt) parallele Geraden g:x=OP+rug:\vec{x}=\overrightarrow{OP}+r\cdot\vec{u} und h:x=OQ+suh: \vec x= \overrightarrow{OQ}+s\cdot \vec u.

Die Gerade gg wird an der Geraden h h gespiegelt.

Vorgehensweise

Berechnung der gespiegelten Geraden g' mit einer Hilfsebene HH

Berechnung der gespiegelten Geraden g' mit einer Hilfsebene H

1. Erstelle eine Hilfsebene HH in Normalenform E:  (xOA)n=0 E: \;\left(\vec x-\overrightarrow{OA}\right)\circ \vec n=0

Verwende dabei für HH den Aufpunkt PP der Geraden gg und setze für den Normalenvektor n\vec n den Richtungsvektor u\vec u der Geraden gg ein.

H:  (xOP)u=0H: \;\left(\vec x-\overrightarrow{OP}\right)\circ \vec u=0

2. Schneide die Gerade hh mit der Hilfsebene HH. Du erhältst den Fußpunkt FF.

3. Berechne den Vektor PF\overrightarrow{PF}

4. Zur Berechnung des Spiegelpunktes PP' setze OP\overrightarrow{OP} und PF\overrightarrow{PF} in die Vektorgleichung OP=OP+2PF\overrightarrow{OP'}=\overrightarrow{OP}+2\cdot\overrightarrow{PF} ein.

5. Der berechnete Punkt PP' ist der Aufpunkt der Spiegelgeraden g'. Die Spiegelgerade hat den Richtungsvektor u \vec u (parallele Gerade zu gg und h h)     g:x=OP+tu\;\Rightarrow\;g': \vec x= \overrightarrow{OP'}+t\cdot \vec u

Beispiel zu Fall 1

Gegeben sind die beiden (echt) parallelen Geraden g:x=(112)+r(222)g: \vec x= \begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}und h:x=(321)+s(222)h: \vec x= \begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}. Die Gerade gg wird an der Geraden h h gespiegelt.

1. Erstelle die Gleichung einer Hilfsebene HH mit dem Aufpunkt PP der Geraden gg und dem Richtungsvektor u\vec u der Geraden gg als Normalenvektor:

H:  (x(112))(222)=0H: \;\left(\vec x- \begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}\right)\circ \begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}=0

2. Schneide hh mit HH:

(x(112))(222)\displaystyle \left(\vec x- \begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}\right)\circ \begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}==0\displaystyle 0

Setze h:x=(321)+s(222)h: \vec x= \begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix} in HH ein.

((321)+s(222)(112))(222)\displaystyle \left(\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}- \begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}\right)\circ \begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}==0\displaystyle 0

Berechne die Vektordifferenz in der Klammer.

((211)+s(222))(222)\displaystyle \left(\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}\right)\circ \begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}==0\displaystyle 0

Fasse zusammen.

(2+2s1+2s1+2s)(222)\displaystyle \begin{pmatrix}2+2s\\1+2s\\-1+2s\end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}==0\displaystyle 0

Berechne das Skalarprodukt.

(2+2s)2+(1+2s)2+(1+2s)2\displaystyle (2+2s)\cdot2+(1+2s)\cdot2+(-1+2s)\cdot2==0\displaystyle 0

Löse die Klammern auf.

4+4s+2+4s2+4s\displaystyle 4+4s+2+4s-2+4s==0\displaystyle 0

Löse nach ss auf.

12s+4\displaystyle 12s+4==0\displaystyle 04\displaystyle -4
12s\displaystyle 12s==4\displaystyle -4:12\displaystyle :12
s\displaystyle s==412\displaystyle -\dfrac{4}{12}

Kürze

s\displaystyle s==13\displaystyle -\dfrac{1}{3}

Setze s=13s=-\dfrac{1}{3} in die Geradengleichung hh ein, um den Punkt FF zu berechnen.

xF=(321)+(13)(222)=(323223123)=(734313)    \vec x_F= \begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}+(-\frac{1}{3})\cdot \begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3-\frac{2}{3}\\[1ex] 2-\frac{2}{3}\\[1ex]1-\frac{2}{3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{7}{3}\\[1ex] \frac{4}{3}\\[1ex]\frac{1}{3}\end{pmatrix}\;\Rightarrow\;F(734313)F(\frac{7}{3}|\frac{4}{3}|\frac{1}{3})

3. Berechne den Vektor PF\overrightarrow{PF}

PF=OFOP=(734313)(112)=(431353)\overrightarrow{PF}=\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OP}=\begin{pmatrix}\frac{7}{3}\\[1ex] \frac{4}{3}\\[1ex]\frac{1}{3}\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{4}{3}\\[1ex] \frac{1}{3}\\[1ex]-\frac{5}{3}\end{pmatrix}

4. Setze OP\overrightarrow{OP} und PF\overrightarrow{PF} in die Vektorgleichung OP=OP+2PF\overrightarrow{OP'}=\overrightarrow{OP}+2\cdot\overrightarrow{PF} ein:

OP=(112)+2(431353)=(1+831+232103)=(1135343)\overrightarrow{OP'}=\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}+2\cdot \begin{pmatrix}\frac{4}{3}\\[1ex] \frac{1}{3}\\[1ex]-\frac{5}{3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1+\frac{8}{3}\\[1ex]1+\frac{2}{3}\\[1ex]2-\frac{10}{3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{11}{3}\\[1ex] \frac{5}{3}\\[1ex]-\frac{4}{3}\end{pmatrix}

Der Spiegelpunkt hat die Koordinaten P(1135343)P'(\frac{11}{3}|\frac{5}{3}|-\frac{4}{3}) .

5. Setze in g:x=OP+tug': \vec x= \overrightarrow{OP'}+t\cdot \vec u den Spiegelpunkt P P' und den Richtungsvektor u\vec u der Geraden gg ein.

Antwort: Die Gleichung der Spiegelgeraden lautet: g:x=(1135343)+t(222)g': \vec x= \begin{pmatrix}\frac{11}{3}\\[1ex] \frac{5}{3}\\[1ex]-\frac{4}{3}\end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}

Anmerkung: Die obige Darstellung zeigt das berechnete Beispiel im 1. Fall.

2. Fall:

Gegeben sind zwei sich im Punkt SS schneidende Geraden g:x=OP+rug: \vec x= \overrightarrow{OP}+r\cdot \vec u und h:x=OQ+svh: \vec x= \overrightarrow{OQ}+s\cdot \vec v. Die Gerade gg wird an der Geraden h h gespiegelt.

Vorgehensweise

Berechnung der gespiegelten Geraden g' mit einer Hilfsebene HH

Spiegelung von zwei sich schneidenden Geraden

1. Erstelle eine Hilfsebene HH in Normalenform E:  (xOA)n=0 E: \;\left(\vec x-\overrightarrow{OA}\right)\circ \vec n=0

Verwende dabei für HH den Aufpunkt PP der Geraden gg und setze für den Normalenvektor n\vec n den Richtungsvektor v\vec v der Geraden hh ein.

H:  (xOP)v=0H: \;\left(\vec x-\overrightarrow{OP}\right)\circ \vec v=0

2. Schneide die Gerade hh mit der Hilfsebene HH. Du erhältst den Fußpunkt FF.

3. Berechne den Vektor PF\overrightarrow{PF}

4. Zur Berechnung des Spiegelpunktes PP' setze OP\overrightarrow{OP} und PF\overrightarrow{PF} in die Vektorgleichung OP=OP+2PF\overrightarrow{OP'}=\overrightarrow{OP}+2\cdot\overrightarrow{PF} ein.

5. Der berechnete Punkt PP' ist der Aufpunkt der Spiegelgeraden gg'. Die Spiegelgerade hat den Richtungsvektor PS\overrightarrow{P'S} (mit dem gegebenen Geradenschnittpunkt SS):

    g:x=OP+tPS\;\Rightarrow\;g': \vec x= \overrightarrow{OP'}+t\cdot \overrightarrow{P'S}

Beispiel zu Fall 2

Gegeben sind die Gerade g:x=(112)+r(123)g: \vec x= \begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}, die Gerade h:x=(322)+s(222)h: \vec x= \begin{pmatrix}3\\2\\2\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}und der Schnittpunkt der beiden Geraden S(011)S(0|-1|-1).

1. Erstelle die Gleichung einer Hilfsebene HH mit dem Aufpunkt PP der Geraden gg und dem Richtungsvektor v\vec{v} der Geraden hh als Normalenvektor:

H:  (x(112))(222)=0H: \;\left(\vec x- \begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}\right)\circ \begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}=0

2. Schneide hh mit HH:

(x(112))(222)\displaystyle \left(\vec x- \begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}\right)\circ \begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}==0\displaystyle 0

Setze h:x=(322)+s(222)h: \vec x= \begin{pmatrix}3\\2\\2\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix} in HH ein.

((322)+s(222)(112))(222)\displaystyle \left(\begin{pmatrix}3\\2\\2\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}- \begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}\right)\circ \begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}==0\displaystyle 0

Berechne die Vektordifferenz in der Klammer.

((210)+s(222))(222)\displaystyle \left(\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}\right)\circ \begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}==0\displaystyle 0

Fasse zusammen.

(2+2s1+2s0+2s)(222)\displaystyle \begin{pmatrix}2+2s\\1+2s\\0+2s\end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}==0\displaystyle 0

Berechne das Skalarprodukt.

(2+2s)2+(1+2s)2+(0+2s)2\displaystyle (2+2s)\cdot2+(1+2s)\cdot2+(0+2s)\cdot2==0\displaystyle 0

Löse die Klammern auf.

4+4s+2+4s+4s\displaystyle 4+4s+2+4s+4s==0\displaystyle 0

Löse nach ss auf.

12s+6\displaystyle 12s+6==0\displaystyle 06\displaystyle -6
12s\displaystyle 12s==6\displaystyle -6:12\displaystyle :12
s\displaystyle s==612\displaystyle -\dfrac{6}{12}

Kürze

s\displaystyle s==12\displaystyle -\dfrac{1}{2}

Setze s=12s=-\dfrac{1}{2} in die Geradengleichung hh ein, um den Punkt FF zu berechnen.

xF=(322)+(12)(222)=(322222222)=(211)    \vec x_F= \begin{pmatrix}3\\2\\2\end{pmatrix}+(-\frac{1}{2})\cdot \begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3-\frac{2}{2}\\[1ex] 2-\frac{2}{2}\\[1ex]2-\frac{2}{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\ 1\\1\end{pmatrix}\;\Rightarrow\;F(211)F(2|1|1)

3. Berechne den Vektor PF\overrightarrow{PF}

PF=OFOP=(211)(112)=(101)\overrightarrow{PF}=\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OP}=\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\\[1ex]-1\end{pmatrix}

4. Setze OP\overrightarrow{OP} und PF\overrightarrow{PF} in die Vektorgleichung OP=OP+2PF\overrightarrow{OP'}=\overrightarrow{OP}+2\cdot\overrightarrow{PF} ein:

OP=(112)+2(101)=(1+21+022)=(310)\overrightarrow{OP'}=\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}+2\cdot \begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1+2\\1+0\\2-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\1\\0\end{pmatrix}

Der Spiegelpunkt hat die Koordinaten P(310)P'(3|1|0 ) .

5. Berechne den Vektor PS=OSOP=(011)(310)=(321)\overrightarrow{P'S}=\overrightarrow{OS}-\overrightarrow{OP'}=\begin{pmatrix}0\\-1\\-1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3\\-2\\-1\end{pmatrix}

Der berechnete Punkt PP' ist der Aufpunkt der Spiegelgeraden gg'. Die Spiegelgerade hat den Richtungsvektor PS\overrightarrow{P'S} (mit dem gegebenen Geradenschnittpunkt SS):

    g:x=OP+tPS\;\Rightarrow\;g': \vec x= \overrightarrow{OP'}+t\cdot \overrightarrow{P'S}

Setze in gg' den Spiegelpunkt P P' und den Richtungsvektor PS\overrightarrow{P'S} ein.

Antwort: Die Gleichung der Spiegelgeraden lautet g:x=(310)+t(321)g': \vec x= \begin{pmatrix}3\\1\\0\end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix}-3\\-2\\-1\end{pmatrix}bzw.

g:x=(310)+t(321)g': \vec x= \begin{pmatrix}3\\1\\0\end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}.

Anmerkung: Die obige Darstellung zeigt das berechnete Beispiel im 2. Fall.

Übungsaufgaben: Spiegelung einer Geraden an einer Geraden

Weitere Aufgaben zum Thema findest du im folgenden Aufgabenordner:
Aufgaben zur Spiegelung in der analytischen Geometrie


Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0Was bedeutet das?