Die Spielgung eines Punktes P P P Z Z Z P ′ P' P ′
Die Formel zur Spiegelung lautet:
O P ′ → = O P → + 2 ⋅ P Z → \displaystyle \overrightarrow{OP'}=\overrightarrow{OP}+2\cdot\overrightarrow{PZ} O P ′ = OP + 2 ⋅ PZ
Vorgehen Formel für den Ortsvektor zum gespiegelten Punkt Betrachte die obige Zeichnung. Vom Ursprung O O O O P → \overrightarrow{OP} OP P P P P P P P Z → \overrightarrow{PZ} PZ Z Z Z Z Z Z P Z → \overrightarrow{PZ} PZ P ′ P' P ′
O P ′ → = O P → + P Z → + P Z → = O P → + 2 ⋅ P Z → \displaystyle \overrightarrow{OP'}=\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{PZ}+\overrightarrow{PZ}=\overrightarrow{OP}+2\cdot\overrightarrow{PZ} O P ′ = OP + PZ + PZ = OP + 2 ⋅ PZ Beispiel Spiegele den Punkt P ( 1 ∣ 2 ∣ − 3 ) P(1|2|-3) P ( 1∣2∣ − 3 ) Z ( 3 ∣ 1 ∣ 2 ) Z(3|1|2) Z ( 3∣1∣2 )
O P → = ( 1 2 − 3 ) \displaystyle \overrightarrow{OP}=\begin{pmatrix}1\\2\\-3\end{pmatrix} OP = 1 2 − 3 und
O Z → = ( 3 1 2 ) \displaystyle \overrightarrow{OZ}=\begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix} OZ = 3 1 2 Berechne den Vektor:
P Z → = O Z → − O P → = ( 3 1 2 ) − ( 1 2 − 3 ) = ( 2 − 1 5 ) \displaystyle \overrightarrow{PZ}=\overrightarrow{OZ}-\overrightarrow{OP}=\begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\2\\-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\-1\\5\end{pmatrix} PZ = OZ − OP = 3 1 2 − 1 2 − 3 = 2 − 1 5 .
Setze die Vektoren in O P ′ → = O P → + 2 ⋅ P Z → \overrightarrow{OP'}=\overrightarrow{OP}+2\cdot\overrightarrow{PZ} O P ′ = OP + 2 ⋅ PZ
O P ′ → = ( 1 2 − 3 ) + 2 ⋅ ( 2 − 1 5 ) = ( 5 0 7 ) \displaystyle \overrightarrow{OP'}=\begin{pmatrix}1\\2\\-3\end{pmatrix}+2\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\\5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\0\\7\end{pmatrix} O P ′ = 1 2 − 3 + 2 ⋅ 2 − 1 5 = 5 0 7 Der gespiegelte Punkt P ′ P' P ′ P ′ ( 5 ∣ 0 ∣ 7 ) P'(5|0|7) P ′ ( 5∣0∣7 )
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