Weise nach, dass $f_{1}f\_\{1\}$ genau eine Nullstelle hat

Gegeben ist $f_a(x)=x\cdot {\mathrm{e}}^{-\frac{1}{2}\cdot a\cdot x^2+\frac{1}{2}}f\_\{a\}(x)=x\; \backslash cdot\; \backslash mathrm\{e\}^\{-\backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash cdot\; a\; \backslash cdot\; x^\{2\}+\backslash frac\{1\}\{2\}\}$.

Dann ist $f_1(x)=x\cdot {\mathrm{e}}^{-\frac{1}{2}\cdot 1\cdot x^2+\frac{1}{2}}f\_\{1\}(x)=x\; \backslash cdot\; \backslash mathrm\{e\}^\{-\backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash cdot\; 1\; \backslash cdot\; x^\{2\}+\backslash frac\{1\}\{2\}\}$

Ein Produkt ist null, wenn einer der Faktoren null ist (Satz vom Nullprodukt).

$f(x)=0\Rightarrow 0=x\cdot \underset{\mathrm{\ne }0}{\underbrace{e^{-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{2}}}}\Rightarrow x=0f(x)=0\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;0=x\backslash cdot\; \backslash underbrace\{e^\{-\backslash frac\{1\}\{2\}x^2+\backslash frac\{1\}\{2\}\}\}\_\{\backslash neq0\}\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;x=0$

Somit hat $f_{1}f\_1$ nur eine Nullstelle.

Gib den Grenzwert von $f_{1}f\_\{1\}$ für $x\to \mathrm{\infty }x\; \backslash rightarrow\; \backslash infty$ an

${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\underset{\to \mathrm{\infty }}{\underbrace{x}}\cdot \underset{\to 0^{+}}{\underbrace{e^{-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{2}}}})=0^{+}}\backslash displaystyle\backslash lim\_\{x\backslash rightarrow\backslash infty\}\backslash left(\backslash underbrace\{x\}\_\{\backslash rightarrow\backslash infty\}\backslash cdot\backslash underbrace\{e^\{-\backslash frac\{1\}\{2\}x^2+\backslash frac\{1\}\{2\}\}\}\_\{\backslash rightarrow\; 0^+\}\; \backslash right)=0^+$

Der Exponent der $ee$-Funktion hat den Grenzwert $-\mathrm{\infty }-\backslash infty$. Die $ee$-Funktion geht dort stärker gegen $00$, als $x\to \mathrm{\infty }x\backslash rightarrow\backslash infty$ geht.

Zeichne die Koordinatenachsen mit der passenden Skalierung in die Abbildung ein

Der Graph von $f_{1}f\_1$ ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung und es gilt nach a) ${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{f}_1(x)=0}\backslash displaystyle\backslash lim\_\{x\backslash rightarrow\; \backslash infty\}\; f\_1(x)=0$. Damit sind die beiden Achsen festgelegt.

Weiterhin sind $f_1(1)=1f\_1(1)=1$ und $f_1(-1)=-1f\_1(-1)=-1$. Damit kann eine Skalierung vorgenommen werden.

Interpretiere den Sachverhalt geometrisch

Das Integral ${\displaystyle {\int }_0^{2022}f(x)\mathrm{d}x}\backslash displaystyle\backslash int\_\{0\}^\{2022\}f(x)\; \backslash ;\backslash mathrm\{d\}x$ berechnet den Flächeninhalt zwischen $f(x)f(x)$ und der $xx$-Achse im Bereich von $00$ bis $20222022$ (siehe Abbildung $11$ mit Koordinatenachsen).

Entsprechend wird mit $F_1(u)-F_1(0)F\_1(u)-F\_1(0)$ ebenfalls der Flächeninhalt zwischen $f(x)f(x)$ und der $xx$-Achse im Bereich von $00$ bis $uu$ berechnet. Ist $u>2022u>2022$, dann unterscheiden sich die beiden Flächeninhalte nicht mehr wesentlich voneinander. Sie sind ungefähr gleich groß.