Aufgabenteil a.)

Berechne die Koordinaten des Schnittpunkts ${\mathrm{Q}}_1$ der beiden Parabeln ${\mathrm{p}}_1$ und ${\mathrm{p}}_2$.

Aufstellen der Funktionsgleichung der Parabel ${\mathrm{p}}_2$:

Die Scheitelform einer quadratischen Funktion lautet:

$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=(\mathrm{x}-{\mathrm{x}}_{\mathrm{s}}{)}^2+{\mathrm{y}}_{\mathrm{s}}$

Einsetzen des der Koordinaten des Scheitels ${\mathrm{S}}_2$ in die Scheitelform.

${\mathrm{p}}_2:\mathrm{y}=(\mathrm{x}-1{)}^2-7$ausmultipliziert:${\mathrm{p}}_2:\mathrm{y}={\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}-6$

Da es sich um eine nach oben geöffnete Normalparabel handelt,

ist der Öffnungsfaktor$\mathrm{a}=1$.

Gleichsetzen der Funktionsgleichungen ${\mathrm{p}}_1$und ${\mathrm{p}}_2$.

${\mathrm{x}}^2-8\mathrm{x}+12={\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}-6$

Einsetzen von $\mathrm{x}=3$ in die Funktionsgleichung ${\mathrm{p}}_1$ und berechnen von $\text{y}$.

$\text{y}=3^2-8\cdot 3+12$

$\text{y=9-24+12}$

$\text{y}=-3$

Koordinaten des Schnittpunktes:

$\underline{\underline{{\mathrm{Q}}_1(3|-3)}}$

Berechnen der Koordinaten von ${\mathrm{N}}_1$ und ${\mathrm{N}}_2$.

${\mathrm{x}}^2-8\mathrm{x}+12=0$

Lösen der quadratischen Gleichung.

Die Lösungen einer quadratischen Gleichung $\mathrm{a}{\mathrm{x}}^2+\mathrm{b}\mathrm{x}+\mathrm{c}=0$

mit der Mitternachtsformel, lauten:

${\mathrm{x}}_{\mathrm{1,2}}={\displaystyle \frac{-\mathrm{b}\pm \sqrt{{\mathrm{b}}^2-4\mathrm{a}\mathrm{c}}}{2\mathrm{a}}}$

${\mathrm{x}}_{\mathrm{1,2}}={\displaystyle \frac{8\pm \sqrt{8^2-4\cdot 1\cdot 12}}{2\cdot 1}}$

${\mathrm{x}}_{\mathrm{1,2}}={\displaystyle \frac{8\pm \sqrt{64-48}}{2\cdot 1}}$

${\mathrm{x}}_{\mathrm{1,2}}={\displaystyle \frac{8\pm \sqrt{16}}{2\cdot 1}}$

${\mathrm{x}}_1={\displaystyle \frac{8-4}{2}}\Rightarrow {\mathrm{x}}_1=2$

${\mathrm{x}}_2={\displaystyle \frac{8+4}{2}}\Rightarrow {\mathrm{x}}_2=6$

Koordinaten der Nullstellen:

$\underline{\underline{{\mathrm{N}}_1(2|0)}}$

$\underline{\underline{{\mathrm{N}}_2(6|0)}}$

Berechnen des Flächeninhalts des Dreiecks ${\mathrm{N}}_1{\mathrm{Q}}_1{\mathrm{N}}_2$.

Die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Dreiecks lautet:

${\mathrm{A}}_{\mathrm{D}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}}={\displaystyle \frac{\mathrm{g}\cdot \mathrm{h}}{2}}$

Einsetzen der bekannten Werte: (siehe Bild 1)

${\mathrm{A}}_{\mathrm{D}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}}={\displaystyle \frac{4\cdot 3}{2}}$

$\underline{\underline{{\mathrm{A}}_{\mathrm{D}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}}=6\mathrm{F}\mathrm{E}}}$

Der Flächeninhalt des Dreiecks ${\mathrm{N}}_1{\mathrm{Q}}_1{\mathrm{N}}_2$ beträgt:$6\mathrm{F}\mathrm{E}$.

Berechnen des Flächeninhalts des Dreiecks${\mathrm{N}}_1{\mathrm{Q}}_2{\mathrm{N}}_2$.

Das Dreieck ${\mathrm{N}}_1{\mathrm{Q}}_2{\mathrm{N}}_2$hat den größten Flächeninhalt bei: ${\mathrm{Q}}_2(1|-7)$

Die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Dreiecks lautet:

${\mathrm{A}}_{\mathrm{D}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}}={\displaystyle \frac{\mathrm{g}\cdot \mathrm{h}}{2}}$

Einsetzen der bekannten Werte: (siehe Bild 2)

${\mathrm{A}}_{\mathrm{D}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}}={\displaystyle \frac{4\cdot 7}{2}}$

$\underline{\underline{{\mathrm{A}}_{\mathrm{D}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}}=14\mathrm{F}\mathrm{E}}}$

Der Flächeninhalt des Dreiecks ${\mathrm{N}}_1{\mathrm{Q}}_2{\mathrm{N}}_2$ beträgt:$14\mathrm{F}\mathrm{E}$.

Aufgabenteil b.)

Berechnen des Umfangs des Dreiecks $\text{ABC}$

Folgende Größen sind bekannt:

$\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}=\mathrm{12,4}\text{ cm}\overline{\mathrm{A}\mathrm{M}}=\mathrm{6,2}\text{ cm}\overline{\mathrm{M}\mathrm{C}}=2\cdot \overline{\mathrm{M}\mathrm{S}}\overline{\mathrm{A}\mathrm{C}}=\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}$

Berechnen von $\overline{\mathrm{M}\mathrm{S}}$:

Das Dreieck $\text{AMS}$ ist ein rechtwinkliges Dreieck, im rechtwinkligem Dreieck gilt:

${\displaystyle \frac{\mathrm{G}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{e}}{\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{e}}}=\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}(\mathrm{\alpha })$

Angewandt auf das Dreieck $\text{AMS}$:

${\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{M}\mathrm{S}}}{\overline{\mathrm{A}\mathrm{M}}}}=\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}(60°)\Rightarrow \overline{\mathrm{M}\mathrm{S}}=\overline{\mathrm{A}\mathrm{M}}\cdot \mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}60°$

$\overline{\mathrm{M}\mathrm{S}}=\mathrm{6,2}\cdot \mathrm{1,7321}$

$\overline{\mathrm{M}\mathrm{S}}=\mathrm{10,74}\text{ cm}$

Berechnen von $\overline{\mathrm{M}\mathrm{C}}$:

$\overline{\mathrm{M}\mathrm{C}}=2\cdot \overline{\mathrm{M}\mathrm{S}}\Rightarrow \overline{\mathrm{M}\mathrm{C}}=2\cdot \mathrm{10,74}$

$\underline{\overline{\mathrm{M}\mathrm{C}}=\mathrm{21,48}\text{ cm}}$

Berechnen von $\overline{\mathrm{A}\mathrm{C}}$:

Das Dreieck $\text{AMC}$ ist ein rechtwinkliges Dreieck, im rechtwinkligem Dreieck gilt der Satz des Pythagoras. Der Satz des Pythagoras lautet:

${\mathrm{c}}^2={\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2$

Angewandt auf das Dreieck $\text{AMC}$:

${\overline{(\mathrm{A}\mathrm{C})}}^2={\overline{(\mathrm{A}\mathrm{M})}}^2+{\overline{(\mathrm{M}\mathrm{C})}}^2\Rightarrow \overline{\mathrm{A}\mathrm{C}}=\sqrt{{\overline{(\mathrm{A}\mathrm{M})}}^2+{\overline{(\mathrm{M}\mathrm{C})}}^2}$

$\overline{\mathrm{A}\mathrm{C}}=\sqrt{{\mathrm{6,2}}^2+{\mathrm{21,48}}^2}$

$\overline{\mathrm{A}\mathrm{C}}=\sqrt{\mathrm{499,83}}$

$\underline{\overline{\mathrm{A}\mathrm{C}}=\mathrm{22,36}\text{ cm}}$

Umfang des Dreiecks $\text{ABC}$:

${\mathrm{U}}_{\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}}=\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}+\overline{\mathrm{A}\mathrm{C}}+\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}$

${\mathrm{U}}_{\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}}=\mathrm{12,4}+\mathrm{22,36}+\mathrm{22,36}$

$\underline{\underline{{\mathrm{U}}_{\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}}=\mathrm{57,12}\text{ cm}}}$

Der Umfang des Dreiecks $\text{ABC}$ beträgt:$\mathrm{57,12}\text{ cm}$.

Hinweis:

Wir haben die Zwischenergebnisse auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet und damit weitergerechnet, wenn Du mit den Werten rechnest, die der Rechner liefert, erhältst Du ein geringfügig abweichendes Ergebnis.

Überprüfung von Tom's Behauptung:

Formel zur Berechnung des Flächeninhalt des Sechsecks:

${\mathrm{A}}_{\mathrm{S}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}}=6\cdot {\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}\cdot \overline{\mathrm{M}\mathrm{S}}}{2}}$

${\mathrm{A}}_{\mathrm{S}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}}=3\cdot \overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}\cdot \overline{\mathrm{M}\mathrm{S}}$

Formel zur Berechnung des Flächeninhalt des Dreiecks:

${\mathrm{A}}_{\mathrm{D}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}}={\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}\cdot 2\cdot \overline{\mathrm{M}\mathrm{S}}}{2}}$

${\mathrm{A}}_{\mathrm{D}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}}=\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}\cdot \overline{\mathrm{M}\mathrm{S}}$

${\mathrm{A}}_{\mathrm{S}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}}=3\cdot {\mathrm{A}}_{\mathrm{D}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}}$, Tom's Behauptung ist richtig.