Weinkenner sind davon überzeugt, dass je nach Weinsorte die passende Weintemperatur wichtig für den Genuss des Weins ist. So soll zum Beispiel Rotwein bei Raumtemperatur genossen werden. Mit einem Wein-Thermometer wird in einem Raum die Temperatur des Weins gemessen, die niedriger als die Raumtemperatur ist. In dieser Aufgabe zeigt das Wein-Thermometer unmittelbar vor dem Eintauchen in den Wein die Raumtemperatur von ${20}^{°}C$ an. Nach dem Eintauchen in den Wein wird es erst allmählich die Weintemperatur $T_W$ anzeigen. Sowohl die Raumtemperatur als auch die Weintemperatur sind während der Messung als konstant zu betrachten.

Die vom Wein-Thermometer in der Einheit ${}^{°}C$ angezeigte Temperatur $T(t)$ in Abhängigkeit von der Zeit $t$ (gemessen in Sekunden ab dem Zeitpunkt $t=0$ des Eintauchens) lässt sich durch die Differenzialgleichung $\dot{T}=-\lambda \cdot (T-T_W)$ beschreiben, wobei $\lambda >0$ ein reeller Parameter ist. Auf das Mitführen der Einheiten wird im Folgenden verzichtet.

Zeigen Sie, dass die Funktion $T_D:t\mapsto D\cdot e^{-\lambda \cdot t}+T_W$ für jeden Wert von $D\in ℝ$ eine Lösung der obigen Differenzialgleichung ist, und begründen Sie, warum in der vorliegenden Situation $D=20-T_W$ gelten muss. (4 BE)