Teil 2: mit Hilfsmitteln – Analysis I

Berechne die Nullstelle von $f$

Es gilt: $\arctan (0)=0\Rightarrow 1-{\displaystyle \frac{2}{5x}}=0\Rightarrow 1={\displaystyle \frac{2}{5x}}\Rightarrow 5x=2\Rightarrow x={\displaystyle \frac{2}{5}}$

Die Nullstelle von $f$ ist $x={\displaystyle \frac{2}{5}}$.

Bestimme das Verhalten der Funktionswerte von $f$ an den Rändern der Definitionsmenge $D_f=ℝ\backslash \{0\}$

Wie verhält sich $f$, wenn $x$ gegen null geht?

Betrachte den Term ${\displaystyle \frac{2}{5x}}$:

Für $x\to 0^{+}$ strebt ${\displaystyle \frac{2}{5x}}$ gegen $+\infty$. Dann strebt $1-{\displaystyle \frac{2}{5x}}$ gegen $-\infty$.

Der Grenzwert von $\arctan (y)$:

$${\displaystyle \underset{y\to -\infty }{\lim }\arctan (y)=-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}}$$

Bei Annäherung an 0 von rechts geht $f$ gegen $-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$.

Für $x\to 0^{-}$ strebt ${\displaystyle \frac{2}{5x}}$ gegen $-\infty$. Dann strebt $1-{\displaystyle \frac{2}{5x}}$ gegen $+\infty$.

Der Grenzwert von $\arctan (y)$:

$${\displaystyle \underset{y\to +\infty }{\lim }\arctan (y)={\displaystyle \frac{\pi }{2}}}$$

Bei Annäherung an 0 von links geht $f$ gegen ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$.

Gib die Gleichung der Asymptote von $G_f$ an

Es ist: $${\displaystyle \underset{y\to \pm \infty }{\lim }\arctan (1-\underset{\to 0}{\underbrace{{\displaystyle \frac{2}{5x}}}})=\arctan (1)={\displaystyle \frac{\pi }{4}}\Rightarrow y_A={\displaystyle \frac{\pi }{4}}}$$

Die Gleichung der Asymptote von $G_f$ ist $y_A={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$.

Ermittle das Steigungsverhalten von $G_f$

Berechne die 1. Ableitung von $f$:

Setze $z=1-{\displaystyle \frac{2}{5x}}=1-{\displaystyle \frac{2}{5}}\cdot x^{-1}$ dann ist $z^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{2}{5}}\cdot x^{-2}={\displaystyle \frac{2}{5x^2}}$

Die Ableitung von $\arctan (x)$ ist ${(\arctan (x))}^{\prime }={\displaystyle \frac{1}{1+x^2}}$

Beachte beim Ableitung die Kettenregel.

$f(z)=\arctan (z)$

$f^{\prime }(z)={\displaystyle \frac{1}{1+z^2}}\cdot z^{\prime }\Rightarrow f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{1}{1+{(1-{\displaystyle \frac{2}{5x}})}^2}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{5x^2}}$

Der Nenner $N(x)$ der 1. Ableitung ist die Gleichung einer nach oben geöffneten Parabel mit Scheitelpunkt $S(\mathrm{0,2}|\mathrm{0,2})$, d.h. für alle $x\in ℝ$ ist $N(x)>0$.

Damit ist auch $f^{\prime }(x)$ für alle $x\in ℝ$ größer null.

Steigungsverhalten:

Da die erste Ableitung überall positiv ist, ist die Funktion $f(x)$ streng monoton steigend. Das bedeutet, dass der Graph von $f(x)$ stets ansteigt, ohne irgendwo abzufallen.

Ergänzung:

Gib die Wertemenge von $f$ an

Nach Aufgabe a) gilt:

Bei Annäherung an 0 von links geht $f$ gegen ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$.

Bei Annäherung an 0 von rechts geht $f$ gegen $-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$.

Das Argument der Arkustangensfunktion ist $y=1-{\displaystyle \frac{2}{5x}}$.

Wenn $x\to \infty$, dann geht ${\displaystyle \frac{2}{5x}}\to 0$, also geht $y\to 1-0=1$.

Wenn $x\to -\infty$, dann geht ${\displaystyle \frac{2}{5x}}\to 0$, also geht $y\to 1-0=1$.

Wenn $y\to 1$, dann geht $\arctan (y)\to \arctan (1)=\frac{\pi }{4}$.

Die Wertemenge von $f(x)$ ist $W=]-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{4}[\cup ]\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2}[$.

Bestimme die Koordinaten des Wendepunkts von $G_f$

Es ist $f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{1}{5x^2-2x+\mathrm{0,4}}}$.

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist $f^{\prime \prime }(x)=0$.

Berechne $f^{\prime \prime }(x)$ mit der Quotientenregel:

Löse $f^{\prime \prime }(x)=0$:

$\Rightarrow 0=-10x+2\Rightarrow x={\displaystyle \frac{2}{10}}=\mathrm{0,2}$

Überprüfe, ob ein Vorzeichenwechsel von $f^{\prime \prime }(x)$ an der Stelle $\mathrm{0,2}$ vorliegt?

$f^{\prime \prime }(\mathrm{0,1})={\displaystyle \frac{-10\cdot \mathrm{0,1}+2}{(5\cdot {\mathrm{0,1}}^2-2\cdot \mathrm{0,1}+\mathrm{0,4}{)}^2}}=4>0$

$f^{\prime \prime }(\mathrm{0,3})={\displaystyle \frac{-10\cdot \mathrm{0,3}+2}{(5\cdot {\mathrm{0,3}}^2-2\cdot \mathrm{0,3}+\mathrm{0,4}{)}^2}}=-4<0$

Damit wechselt $f^{\prime \prime }(x)$ an der Stelle $x=\mathrm{0,2}$ das Vorzeichen und es liegt ein Wendepunkt vor.

Berechne den Funktionswert:

$f(\mathrm{0,2})=\arctan (1-{\displaystyle \frac{2}{5\cdot \mathrm{0,2}}})=\arctan (1-2)=\arctan (-1)=-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}\Rightarrow WP(\mathrm{0,2}|-\frac{\pi }{4})$

Die Koordinaten des Wendepunkts von $G_f$ sind $WP(\mathrm{0,2}|-\frac{\pi }{4})$.

Zeige, dass der Graph der Funktion $u$ streng monoton fallend ist

Gegeben ist $u(x)={\displaystyle \frac{2\ln (x)}{\ln (x)-1}}$.

Berechne die 1. Ableitung von $u(x)$ mithilfe der Quotientenregel.

$u^{\prime }(x)=-{\displaystyle \frac{2}{x\cdot (\ln (x)-1{)}^2}}$

Der Term ${\displaystyle \frac{2}{x\cdot (\ln (x)-1{)}^2}}$ ist größer null, da der Zähler größer null ist und das Produkt im Nenner auch größer null ist (für $x\in D_u$). Damit gilt für alle $x\in D_u$ $u^{\prime }(x)<0$, d.h., dass die Funktion für $x\in ]e;+\infty [$ streng monoton fallend ist.

Ermittle einen Term der Umkehrfunktion von $u$

Gegeben ist $y={\displaystyle \frac{2\ln (x)}{\ln (x)-1}}$.

Vertausche $x$ mit $y$ und löse nach $y$ auf.

Der Term der Umkehrfunktion von $u$ ist $u^{-1}(x)=e^{\frac{x}{x-2}}$.