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Teil 2: mit Hilfsmitteln – Analysis I

  1. 1

    Gegeben ist die Funktion f:xarctan(125x) mit der Definitionsmenge Df=\{0}.

    Der Graph von f in einem kartesischen Koordinatensystem wird mit Gf bezeichnet.

    1. Berechnen Sie die Nullstelle von f. Bestimmen Sie außerdem das Verhalten der

      Funktionswerte von f an den Rändern der Definitionsmenge und geben Sie die Gleichung der Asymptote von Gf an. (7 BE)

    2. Ermitteln Sie das Steigungsverhalten von Gf und geben Sie die Wertemenge von f an. [Mögliches Teilergebnis:f(x)=15x22x+0,4] (5 BE)

    3. Bestimmen Sie die Koordinaten des Wendepunkts von Gf. (5 BE)

  2. 2

    Gegeben ist die Funktion u:x2ln(x)ln(x)1 mit der Definitionsmenge Du=]e;+[.

    1. Zeigen Sie, dass der Graph der Funktion u streng monoton fallend ist. (4 BE)

    2. Die Funktion u ist umkehrbar (Nachweis nicht erforderlich). Ermitteln Sie einen Term der Umkehrfunktion von u. (3 BE)

  3. 3

    Weinkenner sind davon überzeugt, dass je nach Weinsorte die passende Weintemperatur wichtig für den Genuss des Weins ist. So soll zum Beispiel Rotwein bei Raumtemperatur genossen werden. Mit einem Wein-Thermometer wird in einem Raum die Temperatur des Weins gemessen, die niedriger als die Raumtemperatur ist. In dieser Aufgabe zeigt das Wein-Thermometer unmittelbar vor dem Eintauchen in den Wein die Raumtemperatur von 20°C an. Nach dem Eintauchen in den Wein wird es erst allmählich die Weintemperatur TW anzeigen. Sowohl die Raumtemperatur als auch die Weintemperatur sind während der Messung als konstant zu betrachten.

    Die vom Wein-Thermometer in der Einheit °C angezeigte Temperatur T(t) in Abhängigkeit von der Zeit t (gemessen in Sekunden ab dem Zeitpunkt t=0 des Eintauchens) lässt sich durch die Differenzialgleichung T˙=λ(TTW) beschreiben, wobei λ>0 ein reeller Parameter ist. Auf das Mitführen der Einheiten wird im Folgenden verzichtet.

    Zeigen Sie, dass die Funktion TD:tDeλt+TW für jeden Wert von D eine Lösung der obigen Differenzialgleichung ist, und begründen Sie, warum in der vorliegenden Situation D=20TW gelten muss. (4 BE)


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