Geometrie, Teil A, Aufgabengruppe 1

Zeige, dass der Würfel die Kantenlänge $3$ besitzt

Berechne $|\overrightarrow{AE}|$:

$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{OE}-\overrightarrow{OA}=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2\\ -1\\ 2\end{array}\right)\Rightarrow |\overrightarrow{AE}|=\sqrt{(-2{)}^2+(-1{)}^2+2^2}=\sqrt{9}=3$

Der Würfel besitzt die Kantenlänge $3$.

Bestimme die Koordinaten von $S$

Die Pyramide $ABCDS$ hat das Volumen $3$.

$V={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot G\cdot h={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot 3^2\cdot h=3\Rightarrow h=1$

$S$ liegt auf der Strecke $[AE]$ und es gilt $|\overrightarrow{AS}|=1$ (Länge von $h$).

Für den Einheitsvektor in Richtung $\overrightarrow{AE}$ gilt:

$\overrightarrow{n_{AE}^0}={\displaystyle \frac{1}{|\overrightarrow{AE}|}}\cdot \overrightarrow{AE}={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ -1\\ 2\end{array}\right)$ mit $\left|\overrightarrow{n_{AE}^0}\right|=1$

Dann ist ${\overrightarrow{x}}_S=\overrightarrow{OA}+1\cdot \overrightarrow{n_{AE}^0}=\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ -1\end{array}\right)+{\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ -1\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{7}{3}\\ \frac{5}{3}\\ -\frac{1}{3}\end{array}\right)$ und $S$ hat die Koordinaten

$S\left(\frac{7}{3}\right|\frac{5}{3}|-\frac{1}{3})$.