Stochastik Teil B, Aufgabengruppe 2

Unter den Touristen eines Naturparks nutzen erfahrungsgemäß $15 %$ das Fahrrad für Ausflüge vor Ort. Im Folgenden werden diese Touristen als Radausflügler bezeichnet. Es soll davon ausgegangen werden, dass in einer zufälligen Auswahl von Touristen des Naturparks die Anzahl der Radausflügler binomialverteilt ist.

Für eine Stichprobe werden $50$ Touristen des Naturparks zufällig ausgewählt.

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich in der Stichprobe
genau fünf Radausflügler befinden. (1 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
Bestimme die Wahrscheinl $i$ chkeit dafür, dass sich in der Stichprobe genau fünf Radausflügler befinden
Es ist $n = 50$ und $p = 0,15$ .
Berechne $P (X = 5) = B (50; 0,15; 5) \approx 0,1072$
oder $P (X = 5) = (\binom{50}{5}) \cdot {0,15}^{5} \cdot {0,85}^{45} \approx 0,1072$
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich in der Stichprobe genau fünf Radausflügler befinden, beträgt rund $0,1072$ .
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Berechne $P (X = 5)$ .
Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Anzahl der Radausflügler in der Stichprobe um mindestens $10 %$ größer ist als der Erwartungswert für diese Anzahl. (3 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Erwartungswert
Ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Anzahl der Radausflügler in der Stichprobe um mindestens $10 %$ größer ist als der Erwartungswert für diese Anzahl
$μ = n \cdot p = 50 \cdot 0,15 = 7,5$
$10 %$ von $7,5 = 0,75 \Rightarrow μ + 0,75 = 8,25$ , runde nach oben $\Rightarrow 9$ .
$\Rightarrow P (X \geq 9) = 1 - P (X \leq 8) = 1 - F (50; 0,15; 8) \approx 1 - 0,6681 = 0,3319$
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Anzahl der Radausflügler in der Stichprobe um mindestens $10 %$ größer ist als der Erwartungswert für diese Anzahl, beträgt rund $0,3319$ .
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Berechne $μ = n \cdot p$ und addiere zu $μ$ $10 %$ von $μ$ . Runde nach oben $\Rightarrow x_{1}$ .
Berechne $P (X \geq x_{1}) = 1 - P (X \leq x_{1} - 1)$ .

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Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich in der Stichprobe genau fünf Radausflügler befinden

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Ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Anzahl der Radausflügler in der Stichprobe um mindestens 10% größer ist als der Erwartungswert für diese Anzahl

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Bestimme die Wahrscheinl $i$ chkeit dafür, dass sich in der Stichprobe genau fünf Radausflügler befinden

Ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Anzahl der Radausflügler in der Stichprobe um mindestens $10 %$ größer ist als der Erwartungswert für diese Anzahl