Pflichtteil - lernen mit Serlo!

Aufgabe Q5

Für jede reelle Zahl $𝑘$ wird die Gerade $𝑔_{𝑘} : \vec{x} = (\begin{array}{c} 5 - 6 k \\ 3 k \\ 4 - 9 k \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 3 \end{array})$ mit $r \in ℝ$ betrachtet.

Zeigen Sie, dass für keinen Wert von $𝑘$ der Punkt $(0 | 0 | 0)$ auf $𝑔_{𝑘}$ liegt. [2 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von Punkten, Geraden und Ebenen
Zeige, dass für keinen Wert von $𝑘$ der Punkt $(0 | 0 | 0)$ auf $𝑔_{𝑘}$ liegt
Es gilt: $(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 5 - 6 k \\ 3 k \\ 4 - 9 k \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 3 \end{array})$
Aus Gleichung $(I I)$ folgt: $3 k - r = 0 \Rightarrow r = 3 k$
$r = 3 k$ eingesetzt in Gleichung $(I)$ folgt: $0 = 5 - 6 k + 3 k \cdot (- 2) \Rightarrow 0 = 5$ , dies ist ein Widerspruch.
Also liegt für keinen Wert von $𝑘$ der Punkt $(0 | 0 | 0)$ auf $𝑔_{𝑘}$ .
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Zeige, dass die Gleichung $(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 5 - 6 k \\ 3 k \\ 4 - 9 k \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 3 \end{array})$ keine Lösung hat.
Beurteilen Sie die folgende Aussage:
Alle Geraden $𝑔_{𝑘}$ sind identisch. [3 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geraden
Beurteile die folgende Aussage: Alle Geraden $𝑔_{𝑘}$ sind identisch
Es ist:
$𝑔_{𝑘} : \vec{x} = (\begin{array}{c} 5 - 6 k \\ 3 k \\ 4 - 9 k \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} 5 \\ 0 \\ 4 \end{array}) - 3 k \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 3 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} 5 \\ 0 \\ 4 \end{array}) + (r - 3 k) \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 3 \end{array})$
$\Rightarrow 𝑔_{𝑘} : \vec{x} = (\begin{array}{c} 5 \\ 0 \\ 4 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 3 \end{array})$ mit $s = r - 3 k$ .
Die Aussage ist also wahr, da in der Gleichung von $g_{k}$ kein $k$ auftritt.
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Schreibe den Vektor $(\begin{array}{c} 5 - 6 k \\ 3 k \\ 4 - 9 k \end{array})$ als Differenz von zwei Vektoren und fasse zusammen.
Achte dabei auf den Richtungsvektor $(\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 3 \end{array})$ .

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Aufgabe Q5

Zeige, dass für keinen Wert von 𝑘 der Punkt (0|0|0) auf 𝑔𝑘 liegt

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Beurteile die folgende Aussage: Alle Geraden 𝑔𝑘 sind identisch

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Zeige, dass für keinen Wert von $𝑘$ der Punkt $(0 | 0 | 0)$ auf $𝑔_{𝑘}$ liegt

Beurteile die folgende Aussage: Alle Geraden $𝑔_{𝑘}$ sind identisch