Pflichtteil

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1
Aufgabe P1
Gegeben ist die in $ℝ$ definierte Funktion $f$ mit $f (x) = \frac{1}{4} x^{3} - 3 x$ .
1. Es gilt $f^{''} (2) \neq 0$ . Zeigen Sie, dass $2$ eine Extremstelle von $f$ ist. (2 BE)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremum
  Zeige, dass $2$ eine Extremstelle von $f$ ist
  Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist $f^{'} (x) = 0$ .
  Berechne $f^{'} (x)$ und zeige, dass $f^{'} (2) = 0$ ist.
  $f (x) = \frac{1}{4} x^{3} - 3 x$
  $f^{'} (x) = \frac{3}{4} x^{2} - 3 \Rightarrow f^{'} (2) = \frac{3}{4} \cdot 2^{2} - 3 = 0$
  Bekannt ist: Für die zweite Ableitungsfunktion von $f$ gilt $f^{''} (2) \neq 0$ .
  Damit ist $2$ eine Extremstelle von $f$ .
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  Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist $f^{'} (x) = 0$ .
  Berechne $f^{'} (x)$ und zeige, dass $f^{'} (2) = 0$ ist.
2. Einer der abgebildeten Graphen I und II ist der Graph einer Stammfunktion von $f$ . Geben Sie diesen Graphen an und begründen Sie Ihre Angabe. (3 BE)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stammfunktion
  Gib diesen Graphen an und begründe Deine Angabe
  Graph II ist der gesuchte Graph von $G_{F}$ .
  Wenn $G_{f}$ an der Stelle $x = 2$ ein Extremum hat, dann hat nach der NEW-Regel $G_{F}$ an der Stelle $x = 2$ einen Wendepunkt. Dies gilt für den Graphen II.
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  Wenn $G_{f}$ an der Stelle $x = 2$ ein Extremum hat, dann hat nach der NEW-Regel $G_{F}$ an der Stelle $x = 2$ einen Wendepunkt.
  Welcher der beiden Graphen hat an der Stelle $x = 2$ einen Wendepunkt?
2
Aufgabe P2
Die Abbildung zeigt den Graphen der in $ℝ$ definierten Funktion $f$ mit $f (x) = 3 \cdot c o s (x)$ .
1. Geben Sie den Wert des Integrals $\int_{0}^{π} f (x) d x$ an. (1 BE)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integrale
  Gib den Wert des Integrals $\int_{0}^{π} f (x) d x$ an
  Beachte: $f (x)$ ist in $[0; π]$ punktsymmetrisch zu $(\frac{π}{2} | 0)$ .
  Es gilt dann: $\int_{0}^{\frac{π}{2}} f (x) d x = - \int_{\frac{π}{2}}^{π} f (x) d x \Rightarrow \int_{0}^{π} f (x) d x = 0$
  Der Wert des Integrals $\int_{0}^{π} f (x) d x$ ist null.
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  Beachte: $f (x)$ ist in $[0; π]$ punktsymmetrisch zu $(\frac{π}{2} | 0)$ .
2. Die in $ℝ$ definierte Funktion $g$ ist gegeben durch $g (x) = a \cdot f (x) + b \cdot x$ mit den reellen Zahlen $a$ und $b$ . Die Punkte $(0 | - 3)$ und $(\frac{π}{2} | \frac{3}{4} π)$ liegen auf dem Graphen von $g$ . Ermitteln Sie $a$ und $b$ . (4 BE)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Transformationen
  Ermittle $a$ und $b$
  Gegeben sind $f (x) = 3 \cdot c o s (x)$ und $g (x) = a \cdot f (x) + b \cdot x$ .
  $\Rightarrow g (x) = a \cdot 3 \cdot c o s (x) + b \cdot x$
  Setze $(0 | - 3)$ in $g (x)$ ein:
  $- 3 = a \cdot 3 \cdot c o s (0) + b \cdot 0 \Rightarrow - 3 = 3 a \Rightarrow a = - 1$
  Setze $(\frac{π}{2} | \frac{3}{4} π)$ und $a = - 1$ in $g (x)$ ein:
  $\frac{3}{4} π = - 1 \cdot 3 \cdot c o s (\frac{π}{2}) + b \cdot \frac{π}{2} \Rightarrow \frac{3}{4} π = b \cdot \frac{π}{2} \Rightarrow b = \frac{3}{2} = 1,5$
  Ergebnis: $a = - 1$ und $b = 1,5$ .
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  Es ist $g (x) = a \cdot 3 \cdot c o s (x) + b \cdot x$ .
  Setze $(0 | - 3)$ in $g (x)$ ein $\Rightarrow a$ .
  Setze $(\frac{π}{2} | \frac{3}{4} π)$ und $a$ in $g (x)$ ein $\Rightarrow b$
3
Aufgabe P3
Betrachtet wird die binomialverteilte Zufallsgröße $𝑋_{1}$ mit den Parametern $𝑛_{1}$ und $𝑝_{1}$ .
Abbildung 1 zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $𝑋_{1}$ .
Abbildung 1
1. Entscheiden Sie, ob die folgende Aussage richtig ist, und begründen Sie Ihre Entscheidung:
  $\sum_{k = 16}^{20} P (X_{1} = k) > 0,5$
  [2 BE]
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
  Entscheide, ob die folgende Aussage richtig ist, und begründe Deine Entscheidung: $\sum_{k = 16}^{20} P (X_{1} = k) > 0,5$
  Die Aussage ist falsch.
  Der Abbildung 1 kann man entnehmen, dass jeder der fünf zu betrachtenden Werte der Wahrscheinlichkeitsverteilung von $𝑋_{1}$ kleiner als $0,1$ ist.
  Die Summe dieser $5$ Werte muss dann kleiner als $0,5$ sein.
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  Entnimm der Abbildung die Werte von $P (X = 16)$ bis $P (X = 20)$ .
  Wie groß kann diese Summe höchsten sein?
2. Betrachtet wird zudem die binomialverteilte Zufallsgröße $𝑋_{2}$ mit den Parametern $𝑛_{2}$ und $𝑝_{2}$ .
  Abbildung 2 zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $𝑋_{2}$ .
  Abbildung 2
  Die Erwartungswerte von $𝑋_{1}$ und $𝑋_{2}$ sind ganzzahlig und es gilt $𝑛_{1} = 𝑛_{2}$ .
  Weisen Sie unter Verwendung der Abbildungen 1 und 2 nach, dass $𝑝_{2} = 4 \cdot 𝑝_{1}$ gilt.
  [3 BE]
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
  Weise unter Verwendung der Abbildungen 1 und 2 nach, dass $𝑝_{2} = 4 \cdot 𝑝_{1}$ gilt
  Bei der Binomialverteilung ist der Erwartungswert $E (X)$ der Wert mit der größten Wahrscheinlichkeit.
  In der 1. Abbildung ist der Erwartungswert $E (X_{1}) = 14 = n_{1} \cdot p_{1}$ .
  In der 2. Abbildung ist der Erwartungswert $E (X_{2}) = 56 = n_{2} \cdot p_{2}$ .
  $\Rightarrow n_{2} \cdot p_{2} = 56 = 4 \cdot 14 = 4 \cdot n_{1} \cdot p_{1}$
  Nach Aufgabenstellung gilt $𝑛_{1} = 𝑛_{2}$ $\Rightarrow p_{2} = 4 \cdot p_{1}$ .
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  Lies in beiden Abbildungen den Erwartungswert $E (X) = n \cdot p$ ab und vergleiche.
4
Aufgabe P4
Die Abbildung zeigt einen Würfel $A B C D E F G H$ der Kantenlänge $4$ in einem Koordinatensystem. Drei Seitenflächen dieses Würfels liegen in Koordinatenebenen.
Die Ebene $K$ enthält die Punkte
$A (0 | 0 | 0)$ , $B (4 | 0 | 0)$ und den Mittelpunkt der Kante $F G$ .
1. Die Ebene $K$ teilt den Würfel in zwei Teilkörper. Berechnen Sie das Volumen des kleineren Teilkörpers. (2 BE)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prisma
  Würfelseite
  Betrachte die Seite $A D H E$ des Würfels. Die Ebene $K$ verläuft durch die Punkte $M_{2}$ und $A$ . Der Flächeninhalt des Dreiecks $A M_{2} E$ ist $\frac{1}{4}$ des Flächeninhalts der Würfelseite.
  Also ist auch das Volumen des kleineren Teilkörpers $\frac{1}{4}$ des Würfelvolumens.
  $V_{klein} = \frac{1}{4} \cdot 4^{3} = 16$
  Das Volumen des kleineren Teilkörpers beträgt $16 VE$ .
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  Halbiere den Würfel durch den Mittelpunkt der Kante $[F G]$ . Dann teilt die Ebene $K$ die linke Würfelhälfte in zwei gleich Teile. Ein Teil davon ist der kleinere Teilkörper.
  Berechne sein Volumen.
2. Eine zweite Ebene $L$ enthält die Punkte $E$ und $F$ sowie den Mittelpunkt der Kante $B C$ .
  Zeichnen Sie die Schnittfigur dieser Ebene mit dem Würfel in die Abbildung
  ein und geben Sie eine Gleichung der Schnittgeraden der Ebenen $K$ und $L$ an. (3 BE)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehungen von zwei Ebenen
  Zeichne die Schnittfigur dieser Ebene mit dem Würfel in die Abbildung ein und gib eine Gleichung der Schnittgeraden der Ebenen $K$ und $L$ an
  Ebene $L$
  Die Abbildung in Aufgabe a) zeigt den Punkt $S (0 | 1 | 2)$ .
  $S$ liegt auf der Schnittgeraden der beiden Ebenen $K$ und $L$ .
  Die Schnittgerade verläuft parallel zu x-Achse.
  Dann lautet die Schnittgeradengleichung:
  $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 2 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array})$ mit $r \in ℝ$ .
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  Teil 1
  Zeichne, wie angegeben, die Ebene $L$ ein.
  Teil 2
  Ein Punkt, der auf der Schnittgeraden der beiden Ebenen liegt, ist $(0 | 1 | 2)$ .
  Die Schnittgerade verläuft parallel zur x-Achse.
5
Aufgabe Q1
Gegeben sind die in $ℝ_{0}^{+}$ definierten Funktionen $f$ und $g$ , wobei $g$ die Umkehrfunktion von $f$ ist.
Die Abbildung zeigt die Graphen $G_{f}$ von $f$ und $G_{g}$ von $g$ . $G_{f}$ und $G_{g}$ schneiden sich nur im Koordinatenursprung und im Punkt $(x_{S} | f (x_{S}))$ .
Beurteilen Sie die folgende Aussage:
$\int_{0}^{x_{S}} (g (x) - f (x)) d x = 2 \cdot \int_{0}^{x_{S}} (x - f (x)) d x$
(5 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integrale
Beurteile die folgende Aussage: $\int_{0}^{x_{S}} (g (x) - f (x)) d x = 2 \cdot \int_{0}^{x_{S}} (x - f (x)) d x$
Betrachte die Skizze:
Die zwischen den beiden Graphen $G_{g}$ und $G_{f}$ eingeschlossene Fläche ist symmetrisch zur Winkelhalbierenden $y = x$ .
Die $grün$ markierte Fläche ist das Integral $\int_{0}^{x_{S}} (x - f (x)) d x$ .
Der gesuchte Flächeninhalt ist doppelt so groß wie die $grün$ markierte Fläche.
Daher ist $\int_{0}^{x_{S}} (g (x) - f (x)) d x = 2 \cdot \int_{0}^{x_{S}} (x - f (x)) d x$
Die Aussage ist also wahr.
6
Aufgabe Q2
Betrachtet werden die in $ℝ$ definierten, differenzierbaren Funktionen $𝑓$ und $𝑔$ . Für $x \in ℝ$ gilt
$𝑔 (𝑥) = 𝑓 (𝑥) \cdot 𝑒^{𝑥}$ .
1. Weisen Sie nach, dass die folgende Aussage wahr ist.
  Wenn der Graph von $𝑔$ im Punkt $(𝑎 | g (𝑎))$ mit $𝑎 \in ℝ$ eine waagerechte Tangente
  besitzt, dann gilt $𝑓 ′ (𝑎) = - 𝑓 (𝑎)$ . [3 BE]
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremum
  Weise nach, dass die folgende Aussage wahr ist. Wenn der Graph von $𝑔$ im Punkt $(𝑎 | g (𝑎))$ mit $𝑎 \in ℝ$ eine waagerechte Tangente besitzt, dann gilt $𝑓 ′ (𝑎) = - 𝑓 (𝑎)$
  Gegeben ist $𝑔 (𝑥) = 𝑓 (𝑥) \cdot 𝑒^{𝑥}$ .
  Berechne die 1. Ableitung mithilfe der Produktregel:
  $g^{'} (x) = f^{'} (x) \cdot e^{x} + f (x) \cdot e^{x}$
  Bei einer waagrechten Tangente im Punkt $(𝑎 | g (𝑎))$ ist $g^{'} (a) = 0$ .
  $\Rightarrow g^{'} (a) = f^{'} (a) \cdot e^{a} + f (a) \cdot e^{a} = 0 \Rightarrow (f^{'} (a) + f (a)) \cdot e^{a} = 0$
  $e^{a} \neq 0 \Rightarrow f^{'} (a) + f (a) = 0 \Rightarrow f^{'} (a) = - f (a)$
  Die Aussage ist also wahr.
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  Gegeben ist $𝑔 (𝑥) = 𝑓 (𝑥) \cdot 𝑒^{𝑥}$ .
  Berechne die 1. Ableitung mithilfe der Produktregel.
  Bei einer waagrechten Tangente im Punkt $(𝑎 | g (𝑎))$ ist $g^{'} (a) = 0$ .
2. Die Abbildung stellt den Graphen von $𝑓$ dar.
  Zeigen Sie mithilfe der Abbildung, dass der Graph von $𝑔$ im Punkt $(1 | 𝑔 (1))$ keine waagerechte Tangente besitzt.
  [2 BE]
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente an Graph
  Zeige mithilfe der Abbildung, dass der Graph von $𝑔$ im Punkt $(1 | 𝑔 (1))$ keine waagerechte Tangente besitzt
  Die Aussage aus Aufgabe a) besagt, besitzt $g$ im Punkt $(1 | g (1))$ eine waagrechte Tangente, dann gilt $f^{'} (1) = - f (1)$ .
  Nach der Abbildung gilt aber $𝑓 (1) = - 2 < 0$ und $𝑓 ′ (1) \approx - 1 < 0$ , d.h. ein Widerspruch zu der obigen Aussage.
  Der Graph von $𝑔$ besitzt im Punkt $(1 | 𝑔 (1))$ keine waagerechte Tangente.
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  Die Aussage aus Aufgabe a) besagt, besitzt $g$ im Punkt $(1 | g (1))$ eine waagrechte Tangente, dann gilt $f^{'} (1) = - f (1)$ .
  Bestimme aus der Abbildung die Werte von $f^{'} (1)$ und von $f (1)$ und vergleiche.
7
Aufgabe Q3
Die Zufallsgröße $𝑋$ ist binomialverteilt mit den Parametern $𝑛$ und $𝑝$ , mit $𝑝 < 1$ .
Es ist bekannt, dass $𝑃 (𝑋 = 1)$ vierzehnmal so groß ist wie $𝑃 (𝑋 = 0)$ und dass der
Erwartungswert von $𝑋$ gleich $10$ ist.
Berechnen Sie die Werte von $𝑝$ und $𝑛$ . [5 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
Berechne die Werte von $𝑝$ und $𝑛$
Es gilt: $𝑃 (𝑋 = 1)$ ist vierzehnmal so groß wie $𝑃 (𝑋 = 0)$ $\Rightarrow 𝑃 (𝑋 = 1) = 14 \cdot 𝑃 (𝑋 = 0)$ und
$B (n, p, k) = (\binom{n}{k}) \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k}$
$\Rightarrow B (n, p, 1) = (\binom{n}{1}) \cdot p^{1} \cdot (1 - p)^{n - 1}$ und $B (n, p, 0) = (\binom{n}{0}) \cdot p^{0} \cdot (1 - p)^{n - 0} \Rightarrow B (n, p, 0) = (1 - p)^{n}$
$\Rightarrow 𝑃 (𝑋 = 1) = n \cdot p \cdot (1 - p)^{n - 1} = 14 \cdot 𝑃 (𝑋 = 0) = 14 \cdot (1 - p)^{n}$
Der Erwartungswert von $𝑋$ ist gleich $10$ $\Rightarrow E (X) = n \cdot p = 10$
Damit erhältst Du: $10 \cdot (1 - p)^{n - 1} = 14 \cdot (1 - p)^{n} \Rightarrow 10 = 14 \cdot (1 - p)$
$\Rightarrow \frac{5}{7} = 1 - p \Rightarrow p = 1 - \frac{5}{7} = \frac{2}{7}$
Weiterhin folgt nun:
$n \cdot p = 10 \Rightarrow n = \frac{10}{p} = \frac{10}{\frac{2}{7}} = \frac{10 \cdot 7}{2} = 35$
Die gesuchten Werte sind $n = 35$ und $p = \frac{2}{7}$ .
Es gilt: $𝑃 (𝑋 = 1)$ ist vierzehnmal so groß wie $𝑃 (𝑋 = 0)$ $\Rightarrow 𝑃 (𝑋 = 1) = 14 \cdot 𝑃 (𝑋 = 0)$ und $B (n, p, k) = (\binom{n}{k}) \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k}$ .
Erstelle eine Gleichung mit $B (n, p, 1)$ und $B (n, p, 0)$ . Beachte dabei, dass der Erwartungswert von $𝑋$ gleich $10$ ist $\Rightarrow E (X) = n \cdot p = 10$ .
Löse die erhaltene Gleichung nach $p$ auf. Berechne danach $n$ .
8
Aufgabe Q4
Betrachtet wird ein Würfel, dessen Seiten mit den Zahlen von $1$ bis $6$ durchnummeriert sind.
1. Der Würfel wird zweimal geworfen. Die Zufallsgröße $X$ gibt das Produkt der
  dabei erzielten Zahlen an. Begründen Sie, dass $P (X = 10) = P (X = 15)$ gilt. (2 BE)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
  Begründe, dass $P (X = 10) = P (X = 15)$ gilt
  $X = 10 = 2 \cdot 5$ bzw. $X = 5 \cdot 2$
  $X = 15 = 3 \cdot 5$ bzw. $X = 5 \cdot 3$
  Es gibt keine anderen Möglichkeiten das Produkt $10$ bzw. $15$ aus zwei erzielten Zahlen darzustellen.
  Also ist $P (X = 10) = P (X = 15) = \frac{2}{36}$
  (Die Angabe der Wahrscheinlichkeit ist in der Aufgabenstellung nicht gefordert.)
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  Welche Zahlen ergeben als Produkt $10$ bzw. $15$ ?
  Wie viele Möglichkeiten gibt es jeweils für das Produkt $10$ bzw. $15$ bei 2-mal würfeln?
2. Nun wird der Würfel n-mal geworfen, wobei $n$ größer als $2$ ist. Ermitteln Sie
  einen Term, mit dem man die Wahrscheinlichkeit für das folgende Ereignis
  berechnen kann: „Das Produkt der $n$ erzielten Zahlen ist $2, 3$ oder $5$ .“ (3 BE)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
  Ermittle einen Term, mit dem man die Wahrscheinlichkeit für das folgende Ereignis berechnen kann: „Das Produkt der $n$ erzielten Zahlen ist $2, 3$ oder $5$ .“
  Das Produkt ist genau dann gleich $2, 3$ oder $5$ , wenn eine der $n$ erzielten Zahlen $2, 3$ bzw. $5$ ist und sonst nur die Zahl Eins gewürfelt wird.
  Ein Term für die beschriebene Wahrscheinlichkeit ist: $3 \cdot n \cdot \frac{1}{6} \cdot {(\frac{1}{6})}^{n - 1}$
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  Das Produkt ist genau dann gleich $2, 3$ oder $5$ , wenn eine der $n$ erzielten Zahlen $2, 3$ bzw. $5$ ist und sonst nur die Zahl Eins gewürfelt wird.
9
Aufgabe Q5
Für jede reelle Zahl $𝑘$ wird die Gerade $𝑔_{𝑘} : \vec{x} = (\begin{array}{c} 5 - 6 k \\ 3 k \\ 4 - 9 k \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 3 \end{array})$ mit $r \in ℝ$ betrachtet.
1. Zeigen Sie, dass für keinen Wert von $𝑘$ der Punkt $(0 | 0 | 0)$ auf $𝑔_{𝑘}$ liegt. [2 BE]
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von Punkten, Geraden und Ebenen
  Zeige, dass für keinen Wert von $𝑘$ der Punkt $(0 | 0 | 0)$ auf $𝑔_{𝑘}$ liegt
  Es gilt: $(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 5 - 6 k \\ 3 k \\ 4 - 9 k \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 3 \end{array})$
  Aus Gleichung $(I I)$ folgt: $3 k - r = 0 \Rightarrow r = 3 k$
  $r = 3 k$ eingesetzt in Gleichung $(I)$ folgt: $0 = 5 - 6 k + 3 k \cdot (- 2) \Rightarrow 0 = 5$ , dies ist ein Widerspruch.
  Also liegt für keinen Wert von $𝑘$ der Punkt $(0 | 0 | 0)$ auf $𝑔_{𝑘}$ .
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  Zeige, dass die Gleichung $(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 5 - 6 k \\ 3 k \\ 4 - 9 k \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 3 \end{array})$ keine Lösung hat.
2. Beurteilen Sie die folgende Aussage:
  Alle Geraden $𝑔_{𝑘}$ sind identisch. [3 BE]
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geraden
  Beurteile die folgende Aussage: Alle Geraden $𝑔_{𝑘}$ sind identisch
  Es ist:
  $𝑔_{𝑘} : \vec{x} = (\begin{array}{c} 5 - 6 k \\ 3 k \\ 4 - 9 k \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} 5 \\ 0 \\ 4 \end{array}) - 3 k \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 3 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} 5 \\ 0 \\ 4 \end{array}) + (r - 3 k) \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 3 \end{array})$
  $\Rightarrow 𝑔_{𝑘} : \vec{x} = (\begin{array}{c} 5 \\ 0 \\ 4 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 3 \end{array})$ mit $s = r - 3 k$ .
  Die Aussage ist also wahr, da in der Gleichung von $g_{k}$ kein $k$ auftritt.
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  Schreibe den Vektor $(\begin{array}{c} 5 - 6 k \\ 3 k \\ 4 - 9 k \end{array})$ als Differenz von zwei Vektoren und fasse zusammen.
  Achte dabei auf den Richtungsvektor $(\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 3 \end{array})$ .
10
Aufgabe Q6
Gegeben ist die Schar der Ebenen $𝐸_{𝑘} : 𝑘 𝑥 + (2 - 𝑘) \cdot 𝑦 = 𝑘$ mit $𝑘 \in ℝ$ .
1. Es gibt eine Koordinatenebene, zu der alle Ebenen der Schar senkrecht stehen.
  Geben Sie diese an. [1 BE]
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehungen von zwei Ebenen
  Es gibt eine Koordinatenebene, zu der alle Ebenen der Schar senkrecht stehen. Gib diese an
  Gegeben: $𝐸_{𝑘} : 𝑘 𝑥 + (2 - 𝑘) \cdot 𝑦 = 𝑘$ $\Rightarrow {\vec{n}}_{E_{k}} = (\begin{array}{c} k \\ 2 - k \\ 0 \end{array})$
  Der Normalenvektor der $x y$ -Ebene ist ${\vec{n}}_{x y} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array})$ :
  $\Rightarrow {\vec{n}}_{x y} \circ {\vec{n}}_{E_{k}} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} k \\ 2 - k \\ 0 \end{array}) = 0$
  Alle Ebenen der Schar stehen senkrecht auf der $x y$ -Ebene.
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  Betrachte den Normalenvektor der Ebene $E_{k}$ . Finde einen dazu senkrechten Vektor.
  Das Skalarprodukt der beiden Vektoren muss gleich null sein.
2. Zeigen Sie, dass jeweils zwei verschiedene Ebenen der Schar nicht parallel zueinander sind. [4 BE]
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehungen von zwei Ebenen
  Zeige, dass jeweils zwei verschiedene Ebenen der Schar nicht parallel zueinander sind
  $𝐸_{a} : a 𝑥 + (2 - a) \cdot 𝑦 = a$ und $𝐸_{b} : b 𝑥 + (2 - b) \cdot 𝑦 = b$ mit $a \neq b$ .
  Bei Parallelität gilt: ${\vec{n}}_{a} = r \cdot {\vec{n}}_{b} \Rightarrow (\begin{array}{c} a \\ 2 - a \\ 0 \end{array}) = r \cdot (\begin{array}{c} b \\ 2 - b \\ 0 \end{array})$ .
  Aus Gleichung $(I)$ folgt $a = r \cdot b$ und aus Gleichung $(I I)$ folgt $2 - a = 2 r - r b$ .
  Mit $a = r \cdot b$ folgt in Gleichung $(I I)$ $2 - a = 2 r - a \Rightarrow r = 1$ .
  Wegen $a \neq b$ ist aber $r = 1$ nicht möglich (z.B. Widerspruch in Gleichung $(I)$ ).
  Jeweils zwei verschiedene Ebenen der Schar sind nicht parallel zueinander.
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  $𝐸_{a} : a 𝑥 + (2 - a) \cdot 𝑦 = a$ und $𝐸_{b} : b 𝑥 + (2 - b) \cdot 𝑦 = b$ mit $a \neq b$ .
  Bei Parallelität gilt: ${\vec{n}}_{a} = r \cdot {\vec{n}}_{b}$ . Zeige, dass es bei der Lösung dieser Gleichung einen Widerspruch gibt.

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

Pflichtteil

Aufgabe P1

Zeige, dass 2 eine Extremstelle von f ist

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Gib diesen Graphen an und begründe Deine Angabe

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Aufgabe P2

Gib den Wert des Integrals ∫0πf(x)dx an

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Ermittle a und b

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Aufgabe P3

Entscheide, ob die folgende Aussage richtig ist, und begründe Deine Entscheidung: ∑k=1620P(X1=k)>0,5

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Weise unter Verwendung der Abbildungen 1 und 2 nach, dass 𝑝2=4⋅𝑝1 gilt

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Aufgabe P4

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Zeichne die Schnittfigur dieser Ebene mit dem Würfel in die Abbildung ein und gib eine Gleichung der Schnittgeraden der Ebenen K und L an

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Aufgabe Q1

Beurteile die folgende Aussage: ∫0xS(g(x)−f(x))dx=2⋅∫0xS(x−f(x))dx

Aufgabe Q2

Weise nach, dass die folgende Aussage wahr ist. Wenn der Graph von 𝑔 im Punkt (𝑎|g(𝑎)) mit 𝑎∈ℝ eine waagerechte Tangente besitzt, dann gilt 𝑓′(𝑎)=−𝑓(𝑎)

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Zeige mithilfe der Abbildung, dass der Graph von 𝑔 im Punkt (1|𝑔(1)) keine waagerechte Tangente besitzt

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Aufgabe Q3

Berechne die Werte von 𝑝 und 𝑛

Aufgabe Q4

Begründe, dass P(X=10)=P(X=15) gilt

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Ermittle einen Term, mit dem man die Wahrscheinlichkeit für das folgende Ereignis berechnen kann: „Das Produkt der n erzielten Zahlen ist 2,3 oder 5.“

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Aufgabe Q5

Zeige, dass für keinen Wert von 𝑘 der Punkt (0|0|0) auf 𝑔𝑘 liegt

Hast du eine Frage oder Feedback?

Beurteile die folgende Aussage: Alle Geraden 𝑔𝑘 sind identisch

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Aufgabe Q6

Es gibt eine Koordinatenebene, zu der alle Ebenen der Schar senkrecht stehen. Gib diese an

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Zeige, dass jeweils zwei verschiedene Ebenen der Schar nicht parallel zueinander sind

Hast du eine Frage oder Feedback?

Zeige, dass $2$ eine Extremstelle von $f$ ist

Gib den Wert des Integrals $\int_{0}^{π} f (x) d x$ an

Ermittle $a$ und $b$

Entscheide, ob die folgende Aussage richtig ist, und begründe Deine Entscheidung: $\sum_{k = 16}^{20} P (X_{1} = k) > 0,5$

Weise unter Verwendung der Abbildungen 1 und 2 nach, dass $𝑝_{2} = 4 \cdot 𝑝_{1}$ gilt

Zeichne die Schnittfigur dieser Ebene mit dem Würfel in die Abbildung ein und gib eine Gleichung der Schnittgeraden der Ebenen $K$ und $L$ an

Beurteile die folgende Aussage: $\int_{0}^{x_{S}} (g (x) - f (x)) d x = 2 \cdot \int_{0}^{x_{S}} (x - f (x)) d x$

Weise nach, dass die folgende Aussage wahr ist. Wenn der Graph von $𝑔$ im Punkt $(𝑎 | g (𝑎))$ mit $𝑎 \in ℝ$ eine waagerechte Tangente besitzt, dann gilt $𝑓 ′ (𝑎) = - 𝑓 (𝑎)$

Zeige mithilfe der Abbildung, dass der Graph von $𝑔$ im Punkt $(1 | 𝑔 (1))$ keine waagerechte Tangente besitzt

Berechne die Werte von $𝑝$ und $𝑛$

Begründe, dass $P (X = 10) = P (X = 15)$ gilt

Ermittle einen Term, mit dem man die Wahrscheinlichkeit für das folgende Ereignis berechnen kann: „Das Produkt der $n$ erzielten Zahlen ist $2, 3$ oder $5$ .“

Zeige, dass für keinen Wert von $𝑘$ der Punkt $(0 | 0 | 0)$ auf $𝑔_{𝑘}$ liegt

Beurteile die folgende Aussage: Alle Geraden $𝑔_{𝑘}$ sind identisch