Es gibt eine Koordinatenebene, zu der alle Ebenen der Schar senkrecht stehen. Gib diese an

Gegeben: ${𝐸}_{𝑘}:𝑘𝑥+(2-𝑘)\cdot 𝑦=𝑘$$\Rightarrow {\overrightarrow{n}}_{E_k}=\left(\begin{array}{c}k\\ 2-k\\ 0\end{array}\right)$

Der Normalenvektor der $xy$-Ebene ist ${\overrightarrow{n}}_{xy}=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$:

$\Rightarrow {\overrightarrow{n}}_{xy}\circ {\overrightarrow{n}}_{E_k}=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}k\\ 2-k\\ 0\end{array}\right)=0$

Alle Ebenen der Schar stehen senkrecht auf der $xy$-Ebene.

Zeige, dass jeweils zwei verschiedene Ebenen der Schar nicht parallel zueinander sind

${𝐸}_a:a𝑥+(2-a)\cdot 𝑦=a$ und ${𝐸}_b:b𝑥+(2-b)\cdot 𝑦=b$ mit $a\ne b$.

Bei Parallelität gilt: ${\overrightarrow{n}}_a=r\cdot {\overrightarrow{n}}_b\Rightarrow \left(\begin{array}{c}a\\ 2-a\\ 0\end{array}\right)=r\cdot \left(\begin{array}{c}b\\ 2-b\\ 0\end{array}\right)$.

Aus Gleichung $(\mathrm{I})$ folgt $a=r\cdot b$ und aus Gleichung $(\mathrm{I}\mathrm{I})$ folgt $2-a=2r-rb$.

Mit $a=r\cdot b$ folgt in Gleichung $(\mathrm{I}\mathrm{I})$ $2-a=2r-a\Rightarrow r=1$.

Wegen $a\ne b$ ist aber $r=1$ nicht möglich (z.B. Widerspruch in Gleichung $(\mathrm{I})$).

Jeweils zwei verschiedene Ebenen der Schar sind nicht parallel zueinander.