5. Mengen - lernen mit Serlo!

Eine Menge ist eine Zusammenfassung von wohlbestimmten und wohlunterschiedenen Objekten zu einem Ganzen (G. Cantor, 1895).

Durch Mengenbildung machst du aus mehreren Objekten ein neues Objekt, die Menge.

Die Objekte einer Menge $A$ heißen Elemente von $A$ . Du schreibst $x \in A$ , wenn das Objekt $x$ ein Element der Menge $A$ ist.

Notation von Mengen

Im einfachsten Fall enthält die Menge nur endlich viele Elemente. Du schreibst

\displaystyle A = \{1, 2, 3\}

wenn beispielsweise die Menge $A$ aus den Elementen $1$ , $2$ und $3$ besteht. Du zählst also die Elemente der Menge einfach auf.

Wenn es viele Elemente sind, kürzt du die Aufzählung durch Punkte ab:

\displaystyle B = \{1, 2, 3, \ldots,1000\}

Dies musst du insbesondere bei unendlichen Mengen so machen:

\displaystyle \mathbb{N} = \{1, 2, 3, 4, \ldots \}

Zahlenmengen

In der Mathematik spielen die folgenden Zahlenmengen eine Hauptrolle:

$\N \quad$ Menge der natürlichen Zahlen
$\N_0 \quad$ Menge der natürlichen Zahlen einschließlich der 0
$\Z \quad$ Menge der ganzen Zahlen
$\mathbb Q \quad$ Menge der rationalen Zahlen
$\R \quad$ Menge der reellen Zahlen
$\mathbb C \quad$ Menge der komplexen Zahlen

Mengen definieren

Die obige Menge $B$ schreibst du exakter so:

\displaystyle B = \{ n ~|~ n \in \N ~\wedge~ n\leq 1000\}

Der senkrechte Strich liest sich als "mit der Eigenschaft dass". $B$ ist die Menge aller $n$ mit der Eigenschaft, dass $n$ Element der natürlichen Zahlen ist und dass $n$ kleiner oder gleich $1000$ ist.

Weitere Beispiele sind

Menge der Zweierpotenzen: $C = \{x ~|~ \exists\, k \in \N_0 : x=2^k\}$
Menge der ungeraden ganzen Zahlen: $U = \{ x ~|~ \exists\,k \in \Z : x = 2\cdot k + 1\}$

Etwas weniger umständlich schreibst du diese Mengen in Kurzschreibweise:

$B ~=~ \{n \in \N ~|~ n\le 1000\}$
$C ~=~ \{2^k ~|~ k \in \N_0\}$
$U ~=~ \{ 2\cdot k+1 ~|~ k \in \Z\}$

Die leere Menge

Mengen können wenige oder viele, sogar unendlich viele Elemente enthalten - oder aber auch gar kein Element. Diese Menge wird als die leere Menge bezeichnet. Die leere Menge ist eine Menge, die kein Element enthält. Die leere Menge wird mit dem Zeichen $\emptyset$ bezeichnet, oder einfach mit leeren Mengenklammern ${}$ .

Mächtigkeit von Mengen

Die Mächtigkeit einer Menge $A$ wird mit $∣ A ∣$ bezeichnet. Bei endlichen Mengen ist die Mächtigkeit der Menge gleich der Anzahl ihrer Elemente. Insbesondere ist also $|\emptyset|=0$ .

Gleichheit von Mengen

Zwei Mengen sind gleich, wenn sie genau dieselben Elemente enthalten:

\displaystyle A = B ~\Leftrightarrow ~ \forall\, x: (x\in A \Leftrightarrow x \in B)

Damit sind zum Beispiel die Mengen $\{1, 2, 3\}$ und $\{3, 2, 1\}$ gleich. Es kommt bei Mengen nicht auf die Reihenfolge der Elemente an.

Beziehungen zwischen Mengen

Im Folgenden sind $A$ und $B$ Mengen.

Die Menge $A$ heißt Teilmenge von $B$ , wenn alle Elemente von $A$ auch Elemente von $B$ sind:

\displaystyle A \subseteq B ~\Leftrightarrow ~ \forall\, x: (x\in A \Rightarrow x \in B)

Dabei können die Mengen auch gleich sein. Eine andere Sprechweise ist " $A$ ist enthalten in $B$ ". Zum Beispiel gilt

\displaystyle \{1, 3\} \subseteq \{1, 2, 3\}

Die Schnittmenge oder der Durchschnitt $A\cap B$ ist definiert durch

\displaystyle A\cap B ~=~ \{ x ~|~x\in A ~\land~ x\in B\}

Die Schnittmenge von $A$ und $B$ enthält also alle Elemente, die sowohl Elemente von $A$ als auch von $B$ sind. Beispielsweise gilt

\displaystyle \{1, 2, 3\} ~\cap~ \{1, 3, 5\} ~=~ \{1, 3\}

Es kann auch sein, dass die Mengen $A$ und $B$ gar keine gemeinsamen Elemente haben, dass also ihre Schnittmenge die leere Menge ist. Dann sagt man, dass $A$ und $B$ disjunkt sind.

Die Vereinigungsmenge $A\cup B$ ist definiert durch

\displaystyle A\cup B ~=~ \{ x ~|~x\in A ~\lor~ x\in B\}

Die Vereinigungsmenge von $A$ und $B$ enthält also alle Elemente, die Elemente von $A$ oder von $B$ (oder von beiden Mengen) sind. Beispielsweise gilt

\displaystyle \{1, 2, 3\} ~\cup~ \{1, 3, 5\} ~=~ \{1, 2, 3, 5\}

Die Differenz $A\setminus B$ ist definiert als

\displaystyle A \setminus B ~=~ \{ x ~|~x\in A ~\land~ x \not\in B\}

Die Differenz von $A$ und $B$ enthält also alle Elemente, die Elemente von $A$ , aber nicht von $B$ sind. Die Differenz wird auch gesprochen als " $A$ ohne $B$ ". Beispielsweise gilt

\displaystyle \{1, 2, 3\} \setminus \{1, 3, 5\} ~=~ \{2\}

Gesetzmäßigkeiten

Hier ein paar Dinge, die du leicht beweisen kannst, wenn du dir die Definitionen anschaust. Für alle Mengen $A$ und $B$ gilt:

$\empty \subseteq A$
$A = B ~\Leftrightarrow~ A \subseteq B ~\land~ B \subseteq A$
$A \subseteq B ~\Leftrightarrow ~ A \cap B = A ~\Leftrightarrow ~ A \cup B = B$
$A \cap A ~=~ A \cup A ~=~ A$
$A \cap \empty = \empty$
$A \cup \empty = A$

Außerdem gelten sowohl für $\cap$ als auch für $\cup$ das Kommutativgesetz, das Assoziativgesetz und das Distributivgesetz.

Kartesisches Produkt

Das kartesische Produkt $A\times B$ ist die Menge aller geordneten Paare mit einem Element aus $A$ und einem Element aus $B$ :

\displaystyle A\times B = \{(a,b)~|~ a\in A \land b\in B\}

Zum Beispiel ist das kartesische Produkt der Mengen $A = \{1, 2\}$ und $B = \{2, 3, 4\}$ gleich

\displaystyle A \times B ~=~ \{ (1{,}2), (1{,}3), (1{,}4), (2{,}2), (2{,}3), (2{,}4)\}

Das kartesische Produkt spielt eine große Rolle für Relationen und Funktionen.

Potenzmenge

Eine Menge kann auch andere Mengen als Elemente enthalten. Ein Beispiel ist die Potenzmenge $\mathcal P(A)$ einer Menge $A$ .

Die Potenzmenge von $A$ ist die Menge aller Teilmengen von $A$ :

\displaystyle \mathcal P(A) ~=~ \{T ~|~ T\subseteq A\}

Beispielsweise ist für $A=\{1{,}2\}$ die Potenzmenge gleich

\displaystyle \mathcal P(A) ~=~ \{\emptyset,\{1\},\{2\},\{1{,}2\}\}

Für die Mächtigkeit der Potenzmenge gilt:

\displaystyle |A|=n ~\Rightarrow~ |\mathcal P(A)|=2^n

Welches ist $\mathcal P(\empty)$ , die Potenzmenge der leeren Menge? Welche Mächtigkeit hat diese Potenzmenge?

Aufgaben

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