8. Abbildungen

Eine Abbildung oder Funktion f:ABf:A \to B ist eine Relation, bei der es für jedes aAa\in A genau ein bBb\in B gibt, das mit aa in Relation steht. Wir schreiben dann aba\mapsto b oder b=f(a)b = f(a).

Beispiel

Wir können z.B. aus der Tier-Relation aus Kapitel 6 durch Entfernen von Paaren (bzw. Pfeilen) eine Abbildung machen:

Definitionsbereich und Wertevorrat

Für eine Funktion f:ABf:A\to B heißt AA der Definitionsbereich und BB der Wertevorrat von ff. Daher gehören beide zur Funktion!

Daher sind f(x)=xf(x) = x mit A=[0,1],B=RA = \lbrack 0{,}1\rbrack, B = \mathbb{R} oder A=[0,1]=BA = \lbrack 0{,}1\rbrack = B oder A=R=BA = \mathbb{R} = B drei verschiedene Abbildungen f1,f2,f3f_1,f_2,f_3!

Bildmenge und Urbildmenge

Der Wertevorrat muss nicht ausgeschöpft werden, daher noch ein weiterer Begriff:

Für AAA'\subseteq A heißt

die Bildmenge (auch: das Bild) von AA' (unter ff). Für A=AA'=A sind daher f(A)Bf(A) \subseteq B genau die Elemente, die als Bild von ff auftreten.

Zu einem bBb\in B ist

die Urbildmenge (auch: das Urbild) von bb. Vorsicht: bb ist ein Element, f1(b)Af^{-1}(b)\subseteq A ist eine Menge mit eventuell mehreren oder keinen Elementen.

Die Definition läßt sich leicht auf beliebige Teilmengen BBB'\subseteq B verallgemeinern:

(Vereinigung aller einelementig definierten Urbilder).

Injektivität, Surjektivität und Bijektivität

Es folgen mathematisch anspruchsvolle Begriffe, die allerdings nicht so kompliziert sind, wie sie klingen. Es sei zu überlegen, was diese auf Deutsch heißen könnten (dabei dürften die Wendungen "höchstens/wenigstens/genau eins" hilfreich sein \ldots)

Eine Abbildung f:ABf:A\to B heißt

injektiv, wenn gilt:

d.h. jedes bb aus dem Wertevorrat hat höchstens ein Urbild.

surjektiv, wenn gilt:

d.h. jedes bb aus dem Wertevorrat hat mindestens ein Urbild.

bijektiv, wenn gilt:

d.h. jedes bb aus dem Wertevorrat hat genau ein Urbild.

Also bijektiv \Leftrightarrow injektiv und surjektiv \Leftrightarrow eindeutig.

Beispiele

  • Die Funktion f:N0N0, f(n)=n+1f: \mathbb{N}_0 \rightarrow \mathbb{N}_0,\ f(n) = n+1, ist nicht surjektiv. Wir können sie aber surjektiv machen durch Beschränkung des Wertevorrats auf den eigentlichen Bildbereich: Die Funktion g:N0N={1,2,}, g(n)=n+1g: \mathbb{N}_0 \rightarrow \mathbb{N}=\{1{,}2,\ldots\},\ g(n) = n+1, ist surjektiv. Das funktioniert immer: Ist ff nicht surjektiv, beschränke den Wertevorrat auf den Bildbereich \rightarrow surjektiv.

  • Die Funktion f:N0N0, f(n)=n1f: \mathbb{N}_0 \rightarrow \mathbb{N}_0,\ f(n) = |n-1|, ist nicht injektiv. Wir können sie aber injektiv machen durch Beschränkung des Definitionsbereichs: Die Funktion g:N={1,2,}N0, g(n)=n1g: \mathbb{N}=\{1{,}2,\ldots\}\rightarrow \mathbb{N}_0,\ g(n) = |n-1|, ist injektiv. Das funktioniert immer: Ist ff nicht injektiv, beschränke den Definitionsbereich, um Mehrfachwerte zu vermeiden \rightarrow injektiv.

Aus jeder Abbildung lässt sich durch Beschränkung des Wertevorrats und des Definitionsbereichs eine bijektive Abbildung gewinnen.

Sätze

  • UB: f(f1(U))U\forall U \subseteq B:\ f(f^{-1}(U)) \subseteq U. Das Bild vom Urbild von UU ist in UU. f1(U)f^{-1}(U), das Urbild von UU, sind alle Punkte, die nach UU abgebildet werden. Daher gilt: f(f1(U))Uf(f^{-1}(U))\subseteq U.

  • VA: f1(f(V))V\forall V \subseteq A:\ f^{-1}(f(V))\supseteq V. Das Urbild vom Bild von VV enthält VV. Das Urbild von f(V)f(V) enthält laut Definition alle Punkte, die nach f(V)f(V) abgebildet werden, also insbesondere VV selbst.

  • Ist eine Abbildung bijektiv, so existiert eine Umkehrabbildung:

Abzählbarkeit

Eine Menge ist abzählbar genau dann, wenn eine Bijektion existiert zwischen MM und N\mathbb{N}. Bijektion ist quasi Nummerierung von MM.

Beispiel

Q\mathbb{Q}, die Menge der rationalen Zahlen, ist abzählbar. R\mathbb{R} dagegen ist nicht abzählbar.

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