8. Abbildungen

Beispiel

Du kannst z.B. aus der Tier-Relation aus Kapitel 6 durch Entfernen von Paaren (bzw. Pfeilen) eine Abbildung machen:

Diese Tabelle ist die Wertetabelle der Abbildung.

Definitionsbereich und Wertevorrat

Für eine Funktion $f:A\to B$ heißt $A$ der Definitionsbereich und $B$ der Wertevorrat von $f$. Beide gehören zur Funktion!

Daher sind $f(x) = x$ mit $A = \lbrack 0{,}1\rbrack, B = \mathbb{R}$ und $f(x) = x$ mit $A = B = \lbrack 0{,}1\rbrack$ zwei verschiedene Abbildungen!

Bildmenge und Urbildmenge

Der Wertevorrat muss nicht ausgeschöpft werden. Die Menge der Elemente des Wertevorrats $B$, die tatsächlich als Bildelemente auftreten, heißt die Bildmenge (auch: das Bild) von $A$ (unter $f$):

Zu einem $b\in B$ ist

Injektivität, Surjektivität und Bijektivität

Es folgen drei Begriffe, die zum Glück nicht so kompliziert sind, wie sie klingen.

Eine Abbildung $f:A\to B$ heißt

Bijektiv bedeutet also injektiv und surjektiv. Bei einer bijektiven Abbildung $f$ ist die Umkehrung $f^{-1}$ ebenfalls eine Abbildung.

Der deutsche Begriff für injektiv lautet eineindeutig - die Abbildung $f$ ist eindeutig, und die Umkehrung $f^{-1}$ ist auch eindeutig. Der deutsche Begriff für surjektiv lautet auf - die Elemente des Definitionsbereichs $A$ werden auf den Wertevorrat $B$ abgebildet und nicht nur in den Wertevorrat. Und der deutsche Begriff für bijektiv lautet umkehrbar eindeutig.

Beispiele

• Die Funktion $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R},\ f(x) = x^2$ ist nicht injektiv. Denn beispielsweise werden sowohl $2$ als auch $-2$ werden auf $4$ abgebildet. Die $4$ hat also die Urbildmenge $\{-2, 2\}$.

• Die Funktion ist auch nicht surjektiv, denn die negativen Zahlen treten nicht als Bildelemente auf.

• Wenn du den Definitionsbereich und den Wertevorrat auf die positiven reellen Zahlen $\R^+$ einschränkst, erhältst du eine injektive und surjektive, also bijektive Abbildung $f : \R^+ \rightarrow \R^+$.

Abzählbarkeit

Eine Menge $M$ ist abzählbar genau dann, wenn es eine bijektive Abbildung zwischen $M$ und $\mathbb{N}$ gibt. Dadurch ergibt sich quasi ein Nummerierung der Elemente von $M$.

Beispiel

Die Menge der ganzen Zahlen $\Z$ ist abzählbar. Eine bijektive Abbildung $f:\Z \rightarrow \N$ ist gegeben durch

Die Zahlen $0, 1, 2,...$ werden also auf die geraden Zahlen $0{,}2,4,...$ abgebildet, die negativen Zahlen $-1, -2, -3, ...$ werden auf die ungeraden Zahlen $1, 3, 5, ...$ abgebildet.

Die Menge $\mathbb{Q}$ der rationalen Zahlen ist abzählbar. Die Menge der reellen Zahlen $\mathbb{R}$ ist dagegen nicht abzählbar. Du beweist diese beiden Tatsachen mit dem ersten bzw. mit dem zweiten cantorschen Diagonalverfahren.