Zeige: für 0<x<1 ist die geometrische Reihe
beschränkt und monoton, mithin konvergent. Was ist der Grenzwert der Reihe?(Tipp: die Summe kennen wir schon …)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Folgen
Zur Erinnerung:
∑k=0nxk=x−1xn+1−1.
Nun zeigen wir zuerst, dass (fn) (streng) monoton steigt: Da x positiv ist, ist xn+1 auch positiv, weswegen direkt fn+1=fn+xn+1>fn folgt, und somit strenge Monotonie gilt. Um die Beschränktheit zu zeigen, können wir einfach eine obere und eine untere Schranke angeben und zeigen, dass kein fn für alle n∈N0 diese unter- bzw. überschreitet. Da fn streng monoton steigt, können wir f0=x−1x−1=1 als untere Schranke nehmen. Die Obergrenze ist etwas schwieriger, auch da sie von x abhängt. Wir kürzen zuerst einmal ein Minus aus unserer Formel:
fn=x−1xn+1−1=1−x1−xn+1.
Da 0<x<1 nach Voraussetzungen gilt, ist 1−x positiv und −xn+1 immer negativ. Somit folgt: fn=1−x1−xn+1<1−x1, also ist 1−x1 eine obere Schranke. Somit ist (fn) (streng) monoton und beschränkt und daher konvergent. Der Grenzwert ist 1−x1 und entspricht somit unserer oberen Schranke.
