Aufgaben zum Thema Folgen

Gegeben ist uns:

Bestimmen wir nun unsere Folge (mit $f_0=0$)

Berechnen wir nun für $n\in\{1{,}2,3\}$ die Partialsummen von $(f_n)$:

Man kann erkennen, dass die Folge $1$ nicht zu überschreiten scheint. In der Tat ist dies der Fall; um dies zu zeigen formen wir zuerst die Folge mithilfe der Formel für die unendliche geometrische Reihe um (Anmerkung: Die Formel für die unendliche geometrische Reihe bezieht auch $\frac{1}{10^0}=1$ mit ein, daher müssen wir eine $1$ von der Summe abziehen; wir beginnen mit unserer Reihe ja bei $1$):

Da $(f_n)$ monoton steigt ($f_n=s_n+f_{n-1}>f_{n-1}$, da $s_n>0$ für $n\in\mathbb{N}$), gilt:

Zur Erinnerung:

$\sum_{k=0}^n x^k = \frac{x^{n+1}-1}{x-1}$.

Nun zeigen wir zuerst, dass $(f_n)$ (streng) monoton steigt: Da x positiv ist, ist $x^{n+1}$ auch positiv, weswegen direkt $f_{n+1} = f_n + x^{n+1} > f_n$ folgt, und somit strenge Monotonie gilt. Um die Beschränktheit zu zeigen, können wir einfach eine obere und eine untere Schranke angeben und zeigen, dass kein $f_n$ für alle $n\in\mathbb{N_0}$ diese unter- bzw. überschreitet. Da $f_n$ streng monoton steigt, können wir $f_0=\frac{x-1}{x-1}=1$ als untere Schranke nehmen. Die Obergrenze ist etwas schwieriger, auch da sie von $x$ abhängt. Wir kürzen zuerst einmal ein Minus aus unserer Formel:

$f_n = \frac{x^{n+1}-1}{x-1} = \frac{1-x^{n+1}}{1-x}$.

Da $0 < x < 1$ nach Voraussetzungen gilt, ist $1-x$ positiv und $-x^{n+1}$ immer negativ. Somit folgt: $f_n = \frac{1-x^{n+1}}{1-x} < \frac{1}{1-x}$, also ist $\frac{1}{1-x}$ eine obere Schranke. Somit ist $(f_n)$ (streng) monoton und beschränkt und daher konvergent. Der Grenzwert ist $\frac{1}{1-x}$ und entspricht somit unserer oberen Schranke.

Mathematiker-Weg

Betrachten wir mal, was passiert, sobald Herrchen und Hund loslaufen und versuchen, eine Rekursion zu ermitteln. Sei $s_0=s$ der Start einer entsprechenden Reihe (die später zum Einsatz kommt).

• Herrchen und Hund sind am selben Punkt

• Während der Hund die Strecke $s_0$ läuft und bei der Kneipe ankommt, läuft sein Herrchen $\frac{s_0}{2}$

• Anschließend kommt der Hund zurück: Da er doppelt so schnell wie sein Herrchen läuft, legt er entsprechend währenddessen auch die doppelte Strecke zurück:

• Nun sind Herrchen und Hund wieder an einem Punkt, das Herrchen hat dabei folgende Strecke zurückgelegt:

• Da beide nun wieder an einem Punkt sind, können wir die Schleife nun von neuem mit $s_1$ beginnen lassen:

Dieser Prozess lässt sich analog für $s_n$ und $s_{n+1}$ durchführen. Wir halten also fest:Denn der Hund läuft immer $\frac{4}{3}\cdot s_n$. Daher können wir folgende Folge definieren:Die zurück gelegte Strecke des Hundes $s_{Hund}$ entspricht dem Grenzwert dieser Folge (die Folge konvergiert nebenbei, da sie, bis auf einem konstanten Faktor, der unendlichen geometrischen Reihe entspricht; diese konvergiert bereits):Damit ist der zurückgelegte Weg des Hundes doppelt so lang wie der des Herrchens.

Physiker-Weg

Nun ja, wir können sagen: Solange der Mann läuft, läuft auch der Hund. Die Zeit, die der Mann läuft, bezeichnen wir mit $t$. Also gilt nach den Bewegungsgleichungen: Setzen wir erstere in zweitere Gleichung:Damit läuft der Hund eine doppelt so lange Strecke wie sein Herrchen.