Zur Erinnerung:

${\sum }_{k=0}^n{x}^k=\frac{x^{n+1}-1}{x-1}\backslash sum\_\{k=0\}^n\; x^k\; =\; \backslash frac\{x^\{n+1\}-1\}\{x-1\}$.

Nun zeigen wir zuerst, dass $(f_n)(f\_n)$ (streng) monoton steigt: Da x positiv ist, ist $x^{n+1}x^\{n+1\}$ auch positiv, weswegen direkt $f_{n+1}=f_n+x^{n+1}>f_{n}f\_\{n+1\}\; =\; f\_n\; +\; x^\{n+1\}\; >\; f\_n$ folgt, und somit strenge Monotonie gilt. Um die Beschränktheit zu zeigen, können wir einfach eine obere und eine untere Schranke angeben und zeigen, dass kein $f_{n}f\_n$ für alle $n\in {\mathbb{N}}_{\mathbb{0}}n\backslash in\backslash mathbb\{N\_0\}$ diese unter- bzw. überschreitet. Da $f_{n}f\_n$ streng monoton steigt, können wir $f_0=\frac{x-1}{x-1}=1f\_0=\backslash frac\{x-1\}\{x-1\}=1$ als untere Schranke nehmen. Die Obergrenze ist etwas schwieriger, auch da sie von $xx$ abhängt. Wir kürzen zuerst einmal ein Minus aus unserer Formel:

$f_n=\frac{x^{n+1}-1}{x-1}=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}f\_n\; =\; \backslash frac\{x^\{n+1\}-1\}\{x-1\}\; =\; \backslash frac\{1-x^\{n+1\}\}\{1-x\}$.

Da nach Voraussetzungen gilt, ist $1-x1-x$ positiv und $-x^{n+1}-x^\{n+1\}$ immer negativ. Somit folgt: , also ist $\frac{1}{1-x}\backslash frac\{1\}\{1-x\}$ eine obere Schranke. Somit ist $(f_n)(f\_n)$ (streng) monoton und beschränkt und daher konvergent. Der Grenzwert ist $\frac{1}{1-x}\backslash frac\{1\}\{1-x\}$ und entspricht somit unserer oberen Schranke.