Das LGS lässt sich als Matrix aufschreiben und mit dem Gauß-Jordan-Algorithmus vereinfachen.

$\left(\begin{array}{rrr}1& 2& 1\\ 1& 4& 3\\ -2& -3& -1\end{array}|\begin{array}{r}2\\ 4\\ a\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{rrr}1& 2& 1\\ 0& 2& 2\\ 0& 1& 1\end{array}|\begin{array}{r}2\\ 2\\ a+4\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{rrr}1& 2& 1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 0\end{array}|\begin{array}{r}2\\ a+4\\ 2-2(a+4)\end{array}\right)$

Da die letzte Zeile keine Koeffizienten mehr enthält, gilt $0=2-2(a+4)$ bzw. $a=-3$. Das Gleichungssystem ist also unterdefefiniert und wir können $x_3$ beliebig wählen, z. B. $x_3=z$. Wir fügen diese Gleichung noch als eine neue Zeile ein und setzen $a=-3$.

$\left(\begin{array}{rrr}1& 2& 1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}|\begin{array}{r}2\\ -3+4\\ z\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{rrr}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}|\begin{array}{r}z\\ 1-z\\ z\end{array}\right)$

Das heißt, es gilt $a=-3$ sowie $x_1=z$, $x_2=1-z$ und $x_3=z$ mit $z\in ℝ$.